Часть 6

Многочлены и тригонометрические многочлены

[113/99%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 6.1

Все нули полиномов $T_{n}(x)$ и $U_{n}(x)$ — вещественные, отличны друг от друга и лежат внутри интервала $\left[-1,1\right]$ . Определить эти нули.

Задача 6.2

Доказать соотношения

\left.\begin{array}{l} T_{n+1}(x)=x T_{n}(x)-\left(1-x^{2}\right) U_{n-1}(x), \\ U_{n}(x)=x U_{n-1}(x)+T_{n}(x) \end{array}\right\} \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

Задача 6.3

Показать, что полиномы $T_{n}(x)$ и $U_{n}(x)$ удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

\begin{gathered} \left(1-x^{2}\right) T_{n}^{\prime \prime }(x)-x T_{n}^{\prime }(x)+n^{2} T_{n}(x)=0, \\ \left(1-x^{2}\right) U_{n}^{\prime \prime }(x)-3 x U_{n}^{\prime }(x)+n(n+2) U_{n}(x)=0 . \end{gathered}

Задача 6.4

Показать, что $T_{n}(x)$ и $U_{n}(x)$ удовлетворяют соотношениям ортогональности

\left.\begin{array}{l} \int _{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} T_{m}(x) T_{n}(x) d x=0, \\ \int _{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} U_{m}(x) U_{n}(x) d x=0 \end{array}\right\} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ; m \neq n) .

Вычислить эти интегралы при $m=n$ .

Задача 6.5

Показать, что

\begin{gathered} \frac{T_{n}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{(-1)^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}, \\ \sqrt{1-x^{2}} U_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n+1)} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n+\frac{1}{2}} . \end{gathered}

Задача 6.6

Показать, что если $f(x)$ имеет в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ непрерывную $n$ -ю производную, то

\int _{0}^{\pi } f(\cos \vartheta ) \cos n \vartheta d \vartheta =\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2 n-1)} \int _{0}^{\pi } f^{(n)}(\cos \vartheta ) \sin ^{2 n} \vartheta d \vartheta .

Примечание.

C. G. J. Jacobi, J. für Math., т. 15, стр. 3, 1836.

Задача 6.7

Показать, что при $n=1,2,3, \ldots$ , $-1 \leqslant x \leqslant 1$ , имеют место неравенства

\left|T_{n}(x)\right| \leqslant 1, \quad \left|U_{n}(x)\right| \leqslant n+1 .

В первом из них равенство достигается ровно в $n+1$ точке, а именно в $n-1$ нулях полинома $U_{n-1}(x)$ и, кроме того, на концах, т. е. для $x=-1$ и $x=1$ . Во втором равенство достигается только на концах.

6.2 · Общие задачи о тригонометрических многочленах[8/100%]

Задача 6.8

Всякий полином $n$ -го порядка по косинусам можно представить в виде $P(\cos \vartheta )$ , где $P(x)$ — полином $n$ -й степени. Обратное также верно.

Задача 6.9

Всякий полином $n$ -го порядка по синусам можно представить в виде $\sin \vartheta P(\cos \vartheta )$ , где $P(x)$ — полином $(n-1)$ -й степени. Обратное также верно.

Задача 6.10

Произведение двух тригонометрических полиномов $m$ -го и $n$ -го порядков есть тригонометрический полином $(m+n)$ -го порядка.

Задача 6.11

Всякий тригонометрический полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

имеющий лишь вещественные коэффициенты, можно представить в форме

g(\vartheta )=e^{-i n \vartheta } G\left(e^{i \vartheta }\right),

где $G(z)=u_{0}+u_{1} z+u_{2} z^{2}+\ldots +u_{2 n} z^{2 n}$ — некоторый полином $2 n$ -й степени, не изменяющийся, если, заменив $z$ на $z^{-1}$ , умножить его на $z^{2 n}$ и одновременно заменить все коэффициенты сопряженными:

G(z)=\overline{u}_{2 n}+\overline{u}_{2 n-1} z+\overline{u}_{2 n-2} z^{2}+\ldots +\overline{u}_{0} z^{2 n}=z^{2 n} \overline{G}\left(z^{-1}\right) .

Вычислить коэффициенты $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{2 n}$ .

Задача 6.12

Обратно, если $G(z)$ — полином $2 n$ -й степени, удовлетворяющий тождественно для всех значений $z$ соотношению

z^{2 n} \overline{G}\left(z^{-1}\right)=G(z),

то

e^{-i n \vartheta } G\left(e^{i \vartheta }\right)=g(\vartheta )

есть тригонометрический полином $n$ -го порядка от $\vartheta$ , имеющий лишь вещественные коэффициенты.

Задача 6.13

Пусть $G(z)$ — полином $2 n$ -й степени, удовлетворяющий условию

z^{2 n} \overline{G}\left(z^{-1}\right)=G(z) .

Как распределены его нули в комплексной плоскости?

Задача 6.14

Тригонометрический полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ \ldots & +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

где коэффициенты вещественные, причем $\lambda_{n}$ и $\mu_{n}$ не равны одновременно нулю, имеет ровно $2 n$ нулей, если рассматривать все комплексные значения $\vartheta$ и считать нули по их кратности ( $\vartheta$ и $\vartheta +2 \pi$ не рассматриваются как различные).

Задача 6.15

Определить все тригонометрические полиномы $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождественно при всех значениях $\alpha$ и $\beta$ соотношению

\sum _{\nu =0}^{n} g\left(\alpha -\frac{\nu \pi }{n+1}\right) g\left(\frac{\nu \pi }{n+1}-\beta \right)=g(\alpha -\beta ) .

6.3 · Некоторые специальные тригонометрические многочлены[13/100%]

Задача 6.16

\begin{aligned} & \frac{1}{2}+\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{\sin \frac{2 n+1}{2} \vartheta }{2 \sin \frac{\vartheta }{2}}, \\ & \cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\cos 3 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{\sin \frac{n}{2} \vartheta \cos \frac{n+1}{2} \vartheta }{\sin \frac{\vartheta }{2}}, \\ & \cos \vartheta +\cos 3 \vartheta +\cos 5 \vartheta +\ldots +\cos (2 n-1) \vartheta =\frac{\sin 2 n \vartheta }{2 \sin \vartheta }, \\ & \sin \vartheta +\sin 2 \vartheta +\sin 3 \vartheta +\ldots +\sin n \vartheta =\frac{\sin \frac{n}{2} \vartheta \sin \frac{n+1}{2} \vartheta }{\sin \frac{\vartheta }{2}} . \end{aligned}

Задача 6.17

\frac{\sin \vartheta }{\sin \vartheta }+\frac{\sin 3 \vartheta }{\sin \vartheta }+\frac{\sin 5 \vartheta }{\sin \vartheta }+\ldots +\frac{\sin (2 n-1) \vartheta }{\sin \vartheta }=\left(\frac{\sin n \vartheta }{\sin \vartheta }\right)^{2} .

Что отсюда вытекает при $\vartheta =0$ ?

Задача 6.18

\frac{n+1}{2}+n \cos \vartheta +(n-1) \cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin (n+1) \frac{\vartheta }{2}}{\sin \frac{\vartheta }{2}}\right)^{2} .

Задача 6.19

Определить нули тригонометрических полиномов

\begin{gathered} \frac{1}{2}+\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta , \\ \cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta , \\ \cos \vartheta +\cos 3 \vartheta +\cos 5 \vartheta +\ldots +\cos (2 n-1) \vartheta , \\ \sin \vartheta +\sin 2 \vartheta +\ldots +\sin n \vartheta , \\ \sin \vartheta +\sin 3 \vartheta +\ldots +\sin (2 n-1) \vartheta , \\ \frac{n+1}{2}+n \cos \vartheta +(n-1) \cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta . \end{gathered}

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Задача 6.20

Доказать тождество

\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{1}{2} \sin (n+1) \vartheta \operatorname {ctg} \frac{\vartheta }{2}-\cos ^{2} \frac{n+1}{2} \vartheta .

Задача 6.21

Показать, что сумма

\sin \vartheta +\sin 2 \vartheta +\ldots +\sin n \vartheta +\frac{\sin (n+1) \vartheta }{2}

неотрицательна при $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$ .

Задача 6.22

Средние арифметические отрезков ряда

\frac{1}{2}+\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta +\ldots

неотрицательны при всех значениях $\vartheta$ и с возрастанием $n$ равномерно стремятся к нулю во всяком интервале $\varepsilon \leqslant \vartheta \leqslant 2 \pi -\varepsilon$ $(\varepsilon >0)$ .

Примечание.

L. Fejér, Math. Ann., т. 58, стр. 53, 1903.

Задача 6.23

Тригонометрический полином

A(n, \vartheta )=\sin \vartheta +\frac{\sin 2 \vartheta }{2}+\frac{\sin 3 \vartheta }{3}+\ldots +\frac{\sin n \vartheta }{n}

в интервале $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$ имеет максимумы в точках

\frac{\pi }{n+1}, 3 \frac{\pi }{n+1}, 5 \frac{\pi }{n+1}, \ldots ,(2 q-1) \frac{\pi }{n+1} \quad \left(q=\left[\frac{n+1}{2}\right]\right)

(и только в них) и минимумы в точках

\frac{2 \pi }{n}, 2 \frac{2 \pi }{n}, 3 \frac{2 \pi }{n}, \ldots ,(q-1) \frac{2 \pi }{n}

(и только в них).

Примечание.

См. T. H. Gronwall, Math. Ann., т. 72, стр. 229—230, 1912.

Задача 6.24

Максимумы полинома $A(n, \vartheta )$ в интервале $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$ монотонно убывают, так что абсолютный максимум для всего интервала $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$ равен $A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right)$ . [20.]

Примечание.

Продолжение задачи 23. D. Jackson, Rend. Palermo, т. 32, стр. 257—258, 1911; T. H. Gronwall, l. c. 23, стр. 231; равенство $\operatorname {Max} A(n, \vartheta )=A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right)$ было найдено L. Fejér'ом, см. D. Jackson, l. c.

Задача 6.25

С возрастанием $n$ максимум $A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right)$ монотонно возрастает, причем

\lim _{n \rightarrow \infty } A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right)=\int _{0}^{\pi } \frac{\sin \vartheta }{\vartheta } d \vartheta =1,8519 \ldots

Примечание.

Продолжение задачи 23. L. Fejér; см. D. Jackson, l. c. 24, стр. 259; T. H. Gronwall, l. c. 23, стр. 233.

Задача 6.26

Тригонометрический полином

B(n, \vartheta )=\cos \vartheta +\frac{\cos 2 \vartheta }{2}+\frac{\cos 3 \vartheta }{3}+\ldots +\frac{\cos n \vartheta }{n}

в интервале $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$ имеет максимумы в точках

0, \frac{2 \pi }{n}, 2 \frac{2 \pi }{n}, \ldots , p \frac{2 \pi }{n} \quad \left(p=\left[\frac{n}{2}\right]\right)

(и только в них) и минимумы в точках

\frac{2 \pi }{n+1}, 2 \frac{2 \pi }{n+1}, 3 \frac{2 \pi }{n+1}, \ldots , q \frac{2 \pi }{n+1} \quad \left(q=\left[\frac{n+1}{2}\right]\right)

(и только в них).

Примечание.

W. H. Young, Proc. Lond. M. S. (2), т. 11, стр. 359, 1913.

Задача 6.27

Наименьшее значение полином $B(n, \vartheta )$ принимает при

\vartheta =\left[\frac{n+1}{2}\right] \frac{2 \pi }{n+1} .

[21.]

Примечание.

Продолжение задачи 26. W. H. Young, l. c. 26.

Задача 6.28

При всех значениях $n$ и $\vartheta$

B(n, \vartheta )=\cos \vartheta +\frac{\cos 2 \vartheta }{2}+\frac{\cos 3 \vartheta }{3}+\ldots +\frac{\cos n \vartheta }{n} \geqslant -1 .

Примечание.

W. H. Young, l. c. 26.

6.4 · Некоторые задачи о рядах Фурье[10/90%]

Задача 6.30

Каков будет ряд Фурье для тригонометрического полинома $f(\vartheta )$ $n$ -го порядка?

Задача 6.31

Пусть $n$ и $\nu$ — целые положительные числа. Показать, что

\frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi }\left(2 \cos \frac{\vartheta }{2}\right)^{n} \cos \left(\frac{n}{2}-\nu \right) \vartheta d \vartheta =\binom {n}{\nu } .

Задача 6.32

Пусть последовательность

a_{0}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \ldots , a_{n}, b_{n}, \ldots

обладает тем свойством, что «тригонометрический ряд»

\begin{aligned} a_{0}+2 a_{1} \cos \vartheta +2 b_{1} \sin \vartheta +2 a_{2} \cos 2 \vartheta & +2 b_{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ \ldots & +2 a_{n} \cos n \vartheta +2 b_{n} \sin n \vartheta +\ldots \end{aligned}

равномерно сходится при всех значениях $\vartheta$ и, таким образом, представляет некоторую непрерывную периодическую функцию $f(\vartheta )$ с периодом $2 \pi$ . Каков будет ряд Фурье для функции $f(\vartheta )$ ?

Задача 6.33

\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin 2 \pi n x}{n}= \begin{cases} x-\left[x\right] & \text{ для нецелых } x, \\ \frac{1}{2} & \text{ для целых } x . \end{cases}

Задача 6.34

\left|\sin \vartheta \right|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos 2 n \vartheta }{4 n^{2}-1}=\frac{8}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin ^{2} n \vartheta }{4 n^{2}-1} .

Задача 6.35

Числа

\rho _{m}=\frac{2}{\pi } \int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{\left|\sin m \vartheta \right|}{\sin \vartheta } d \vartheta \quad (m=1,2,3, \ldots )

(находящиеся в тесной связи с так называемыми константами Лебега ряда Фурье) монотонно возрастают вместе с возрастанием $m$ . А именно, их можно представить в виде

\rho _{m}=\frac{16}{\pi ^{2}} \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2 n m-1}}{4 n^{2}-1} .

Примечание.

G. Szegö, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 163, 1921.

Задача 6.36

Пусть функция $f(\vartheta )$ — периодическая с периодом $\pi$ и «четная», т. е. тождественно при всех значениях $\vartheta$ имеет место равенство $f(-\vartheta )=f(\vartheta )$ . Если в интервале $0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$ $f(\vartheta )$ выпукла сверху, то ее ряд Фурье имеет вид

c_{0}-c_{1} \cos 2 \vartheta -c_{2} \cos 4 \vartheta -\ldots -c_{n} \cos 2 n \vartheta -\ldots ,

где все коэффициенты $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}, \ldots$ неотрицательны.

Задача 6.37

Если функция $f(\vartheta )$ предыдущей задачи удовлетворяет еще условию $f(0)=0$ и, кроме того, для некоторого $p>0$ выражение $\vartheta^{-p} f(\vartheta )$ ограничено, то последовательность

\rho _{m}=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{f(m \vartheta )}{\sin \vartheta } d \vartheta \quad (m=1,2,3, \ldots )

монотонно возрастает вместе с $m$ . [Обобщение теоремы 35.]

Задача 6.38

Пусть $M_{n}$ — максимум функции

\Gamma (n, \vartheta )=\frac{\left|\sin \vartheta \right|}{1}+\frac{\left|\sin 2 \vartheta \right|}{2}+\frac{\left|\sin 3 \vartheta \right|}{3}+\ldots +\frac{\left|\sin n \vartheta \right|}{n}

по отношению ко всем значениям $\vartheta$ . Показать, что

\frac{2}{\pi } \sum _{\nu =1}^{n} \frac{1}{\nu }<M_{n}<\frac{2}{\pi } \sum _{\nu =1}^{n} \frac{1}{\nu }+\frac{2}{\pi } .

[34, 28.]

6.5 · Действительные неотрицательные тригонометрические многочлены[5/100%]

Задача 6.39

Пусть $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — произвольные комплексные числа $\left(x_{0} \neq 0, x_{n} \neq 0\right)$ и $\vartheta$ вещественно. Показать, что

\left|x_{0}+x_{1} z+x_{2} z^{2}+\ldots +x_{n} z^{n}\right|^{2} \quad \left(z=e^{i \vartheta }\right)

представляет неотрицательный тригонометрический полином в точности $n$ -го порядка. Вычислить его коэффициенты.

Задача 6.40

Всякий тригонометрический полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

принимающий лишь неотрицательные значения, может быть представлен в форме

g(\vartheta )=\left|h(z)\right|^{2} \quad \left(z=e^{i \vartheta }\right),

где $h(z)=x_{0}+x_{1} z+x_{2} z^{2}+\ldots +x_{n} z^{n}$ — некоторый полином $n$ -й степени и $\vartheta$ вещественно.

Примечание.

F. Riesz, см. L. Fejér, J. für Math., т. 146, стр. 53—82, 1916.

Задача 6.41

Всякий неотрицательный полином по косинусам может быть представлен в виде

g(\vartheta )=\left|h(z)\right|^{2} \quad \left(z=e^{i \vartheta }\right),

где $h(z)=x_{0}+x_{1} z+x_{2} z^{2}+\ldots +x_{n} z^{n}$ — полином с вещественными коэффициентами и $\vartheta$ вещественно.

Задача 6.42

Показать, что указанное в задаче 40 представление неотрицательного тригонометрического полинома возможно, вообще говоря, несколькими способами.

Задача 6.43

(1)(2)

Показать, что в задаче 40 среди всех полиномов $h(z)$ можно выбрать обладающий следующими свойствами:

(1)

при $\left|z\right|<1$ $h(z)$ отличен от нуля;

(2)

$h(0)$ — положительное вещественное число.

Предполагается, что $g(\vartheta ) \not\equiv 0$ .

6.6 · Действительные неотрицательные многочлены[6/100%]

Задача 6.44

Всякую целую рациональную функцию, имеющую для всех вещественных $x$ неотрицательные значения, можно представить в форме $\left[A(x)\right]^{2}+\left[B(x)\right]^{2}$ , где $A(x)$ и $B(x)$ — целые рациональные функции с вещественными коэффициентами.

Задача 6.45

Всякую целую рациональную функцию, неотрицательную для неотрицательных $x$ , можно представить в форме

\left[A(x)\right]^{2}+\left[B(x)\right]^{2}+x\left\{ \left[C(x)\right]^{2}+\left[D(x)\right]^{2}\right\} ,

где $A(x), B(x), C(x), D(x)$ — целые рациональные функции с вещественными коэффициентами.

Задача 6.46

Всякую целую рациональную функцию $n$ -й степени, имеющую в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ лишь неотрицательные значения, можно представить в форме

\left[A(x)\right]^{2}+\left(1-x^{2}\right)\left[B(x)\right]^{2},

где $A(x)$ и $B(x)$ — целые рациональные функции соответственно $n$ -й и $(n-1)$ -й степеней, имеющие вещественные коэффициенты. [41.]

Примечание.

M. Fekete.

Задача 6.47

Всякую целую рациональную функцию $n$ -й степени $P(x)$ , принимающую в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ лишь неотрицательные значения, можно представить в форме

\left[A(x)\right]^{2}+(1-x)\left[B(x)\right]^{2}+(1+x)\left[C(x)\right]^{2}+\left(1-x^{2}\right)\left[D(x)\right]^{2}

и притом так, чтобы все четыре слагаемых были самое большее $n$ -й степени.

Если $P(x)$ — степени $2 m$ , то можно выбрать такое представление, при котором $B(x)=C(x)=0$ , $A(x)$ — степени $m$ и $D(x)$ — степени $m-1$ .

Примечание.

F. Lukács.

Задача 6.48

Можно ли каждую целую рациональную функцию $n$ -й степени $P(x)$ , положительную в интервале $-1<x<1$ , представить в форме

P(x)=\sum A(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },

где $A \geqslant 0$ , $\alpha +\beta \leqslant n$ , $\alpha$ и $\beta$ — целые неотрицательные числа?

Примечание.

Ch. Hermite, задача, Interméd. des math., т. 1, стр. 65, 1894. Решение — J. Franel, E. Goursat, J. Sadier, там же, т. 1, стр. 251, 1894.

Задача 6.49

Каждая целая рациональная функция $P(x)$ , положительная в интервале $-1<x<1$ , может быть представлена в форме

P(x)=\sum A(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },

где $A \geqslant 0$ , $\alpha$ и $\beta$ — целые неотрицательные числа.

Примечание.

F. Hausdorff, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 98—99, 1921.

6.7 · Задачи на максимум-минимум для тригонометрических многочленов[12/100%]

Задача 6.50

Пусть

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

— неотрицательный тригонометрический полином $n$ -го порядка со свободным членом, равным единице, т. е.

\lambda _{0}=\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } g(\vartheta ) d \vartheta =1 .

Тогда

g(\vartheta ) \leqslant n+1 .

Равенство будет достигаться только при условии

\begin{aligned} & g(\vartheta )=\frac{1}{n+1}\left|1+z+z^{2}+\ldots +z^{n}\right|^{2}=1+2 \frac{n}{n+1} \cos \left(\vartheta -\vartheta _{0}\right)+ \\ & \quad +2 \frac{n-1}{n+1} \cos 2\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right)+\ldots +2 \frac{1}{n+1} \cos n\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right) \quad \left(z=e^{i\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right)}\right) \end{aligned}

и $\vartheta =\vartheta_{0}$ (или вообще $\vartheta =\vartheta_{0}+2 k \pi , k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ ).

Задача 6.51

Показать, что

\lambda _{n}^{2}+\mu _{n}^{2} \leqslant 1 .

Равенство достигается лишь когда

g(\vartheta )=1+\cos n\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right) .

Примечание.

Продолжение задачи 50. L. Fejér, l. c. 40, стр. 73.

Задача 6.52

Показать, что

\lambda _{1}^{2}+\mu _{1}^{2} \leqslant 4 \cos ^{2} \frac{\pi }{n+2} .

Примечание.

Продолжение задачи 50. L. Fejér, l. c. 40, стр. 79.

Задача 6.53

Среднее геометрическое [II 48] неотрицательного, не равного тождественно нулю полинома $g(\vartheta )$ есть

e^{\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \ln g(\vartheta ) d \vartheta }=\left|h(0)\right|^{2}=\left[h(0)\right]^{2},

где $g(\vartheta )=\left|h\left(e^{i \vartheta }\right)\right|^{2}$ — определенное в задаче 43 «нормальное представление» полинома $g(\vartheta )$ .

Задача 6.54

Пусть неотрицательный не равный тождественно нулю полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

имеет в качестве среднего геометрического единицу. Тогда

g(\vartheta ) \leqslant 4^{n} .

Равенство достигается только для полинома

g(\vartheta )=\left(2 \cos \frac{\vartheta -\vartheta _{0}}{2}\right)^{2 n}

и при условии $\vartheta =\vartheta_{0}$ (или вообще $\vartheta =\vartheta_{0}+2 k \pi , k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ ).

Задача 6.55

Среднее арифметическое полинома $g(\vartheta )$ удовлетворяет неравенству

\lambda _{0}=\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } g(\vartheta ) d \vartheta \leqslant \binom {2 n}{n} .

Когда достигается равенство?

Примечание.

Продолжение задачи 54.

Задача 6.56

Показать, что

\sqrt{\lambda _{\nu }^{2}+\mu _{\nu }^{2}} \leqslant 2\binom {2 n}{n+\nu } \quad (\nu =1,2,3, \ldots , n) .

Когда здесь будет достигаться равенство?

Примечание.

Продолжение задачи 54.

Задача 6.57

Тригонометрический полином без свободного члена

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех значений $\vartheta$ постоянный знак. Доказать это без применения интегрального исчисления.

Задача 6.58

Пусть через $-m$ и $M$ обозначены минимум и максимум тригонометрического полинома $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \quad m \geqslant 0, \quad M \geqslant 0 . \end{aligned}

[57.]

Показать, что

M \leqslant n m, \quad m \leqslant n M .

Примечание.

L. Fejér, l. c. 40, стр. 67—68; l. c. 50, второе доказательство, стр. 573—574.

Задача 6.59

Первая интегральная теорема о среднем значении может быть для тригонометрических полиномов уточнена следующим образом. Если $g(\vartheta )$ — тригонометрический полином $n$ -го порядка с минимумом $m$ и максимумом $M$ , то

m+\frac{M-m}{n+1} \leqslant \frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } g(\vartheta ) d \vartheta \leqslant M-\frac{M-m}{n+1} .

Примечание.

L. Fejér, l. c. 40, стр. 69.

Задача 6.60

Пусть $-m$ есть минимум, а $M$ — максимум тригонометрического полинома $n$ -го порядка

\begin{aligned} & g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta . \end{aligned}

Тогда либо $m$ , либо $M$ больше чем $\sqrt{\lambda_{n}^{2}+\mu_{n}^{2}}$ . Равенство

m=M=\sqrt{\lambda _{n}^{2}+\mu _{n}^{2}}

будет выполняться лишь для полиномов

g(\vartheta )=c \cos n\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right) .

Примечание.

L. Fejér, l. c. 40, стр. 80—81.

Задача 6.61

Сложим $n$ гармонических движений, периоды которых находятся в отношениях $1: \frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \ldots : \frac{1}{n}$ ; фазы произвольны. Показать, что максимальная элонгация результирующего движения будет самое меньшее равна среднему арифметическому амплитуд слагающих гармонических движений.

Вопрос сводится в обозначениях задачи 58 к доказательству неравенства

M \geqslant \frac{\sqrt{\lambda _{1}^{2}+\mu _{1}^{2}}+\sqrt{\lambda _{2}^{2}+\mu _{2}^{2}}+\ldots +\sqrt{\lambda _{n}^{2}+\mu _{n}^{2}}}{n} .

(Уточнение теоремы 50.)

Примечание.

O. Szász, Münch. Ber., 1917, стр. 307—320.

6.8 · Задачи на максимум-минимум для многочленов[5/100%]

Задача 6.62

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени со старшим коэффициентом 1. Показать, что максимум $\left|P(x)\right|$ в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ не может быть меньше чем $\frac{1}{2^{n-1}}$ . Если в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$

\left|P(x)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n-1}},

то $P(x)$ отличается от определенного во вводном тексте § 1 полинома $T_{n}(x)$ лишь постоянным множителем. [60.]

Примечание.

П. Л. Чебышев, Собр. соч., т. I, стр. 387—469, СПб, 1899; см. L. Fejér, l. c. 40, стр. 81—82.

Задача 6.63

Показать, что

\mu _{n}(\alpha , \beta )=2\left(\frac{\beta -\alpha }{4}\right)^{n}=2\left(\frac{l}{4}\right)^{n} .

Таким образом, для существования полиномов со старшим коэффициентом 1, произвольно малых равномерно во всем заданном интервале, необходимо и достаточно, чтобы длина $l$ этого интервала была меньше чем 4.

Задача 6.64

Пусть переменная $x$ изменяется в двух равных интервалах, получающихся путем удаления из интервала $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ интервала длины $d$ с центром $\frac{\alpha +\beta }{2}$ ; $d<\beta -\alpha =l$ . Пусть, далее, $\mu_{n}$ будет нижняя грань максимумов всех полиномов $n$ -й степени со старшим коэффициентом 1, взятых в этих двух интервалах. Тогда

\mu _{n}=2\left(\frac{l^{2}-d^{2}}{16}\right)^{\frac{n}{2}}

при $n$ четном и

d\left(\frac{l^{2}-d^{2}}{16}\right)^{\frac{n-1}{2}} \leqslant \mu _{n} \leqslant l\left(\frac{l^{2}-d^{2}}{16}\right)^{\frac{n-1}{2}}

при $n$ нечетном. [63.]

Задача 6.65

Рассмотрим совокупность полиномов $n$ -й степени

Q(z)=z^{n}+b_{1} z^{n-1}+b_{2} z^{n-2}+\ldots +b_{n},

где коэффициенты $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ — произвольные комплексные числа. Показать, что максимум $\left|Q(z)\right|$ на единичной окружности $\left|z\right|=1$ не может быть меньше единицы и равен единице лишь для $Q(z)=z^{n}$ .

Задача 6.66

Теоремам 63 и 65 можно дать следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в плоскости даны $n$ фиксированных точек $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ и переменная точка $P$ . Тогда функция

\overline{P P}_{1} \cdot \overline{P P}_{2} \ldots \overline{P P_{n}}

этой точки $P$ ( $\overline{P P_{\nu }}$ — расстояние между точками $P$ и $P_{\nu }$ ) имеет на каждом отрезке длины $l$ максимум не меньше чем $2\left(\frac{l}{4}\right)^{n}$ и на каждой окружности радиуса $r$ максимум не меньше чем $r^{n}$ . Единственный возможный предельный случай будет для отрезка, когда точки $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ распределены на заданном отрезке как нули полинома Чебышева $T_{n}(x)$ [1] в интервале $\left[-1,1\right]$ , а для окружности — когда все точки $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ совпадают с ее центром.

Доказать, что эта теорема верна и в том случае, когда точки $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ произвольно распределены в пространстве.

6.9 · Интерполяционная формула Лагранжа[10/100%]

Задача 6.67

Пусть полином $n$ -й степени

f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}

имеет отличные друг от друга нули $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ . Тогда

\sigma _{k}=\sum _{\nu =1}^{n} \frac{x_{\nu }^{k}}{f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)}= \begin{cases} 0, & \text{ если } 0 \leqslant k \leqslant n-2, \\ a_{0}^{-1}, & \text{ если } k=n-1 . \end{cases}

Далее при $k=n, n+1, \ldots , 2 n-2$ $\sigma_{k}$ не зависит от $a_{n}$ ; при $k=2 n-1$ оно выражается линейно через $a_{n}$ с коэффициентами $-a_{0}^{-2}$ .

Задача 6.68

\sum _{\nu =1}^{n} \frac{k x_{\nu }^{k-1} f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)-x_{\nu }^{k} f^{\prime \prime }\left(x_{\nu }\right)}{\left[f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)\right]^{3}}= \begin{cases} 0, & \text{ если } 0 \leqslant k \leqslant 2 n-2, \\ a_{0}^{-2}, & \text{ если } k=2 n-1 . \end{cases}

Примечание.

Продолжение задачи 67. I. Schur.

Задача 6.69

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ отличны от 0 и $-1$ . Доказать, что

\sum _{\nu =1}^{n} \frac{x_{\nu }^{n} f\left(x_{\nu }^{-1}\right)}{f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)\left(1+x_{\nu }\right)}=(-1)^{n-1}\left(1-x_{1} x_{2} \ldots x_{n}\right) .

Примечание.

Продолжение задачи 67.

Задача 6.70

Пусть $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — произвольные целые числа, $x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ . Показать, что каждый полином $n$ -й степени вида

x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots +a_{n}

принимает в точках $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ значения, из которых по крайней мере одно по абсолютной величине больше или равно $\frac{n!}{2^{n}}$ .

Задача 6.71

Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома $T_{n}(x)$ [1], т. е. числа

x_{\nu }=\cos (2 \nu -1) \frac{\pi }{2 n} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Тогда фундаментальные полиномы будут

f_{\nu }(x)=\frac{(-1)^{\nu -1} \sqrt{1-x_{\nu }^{2}}}{n} \frac{T_{n}(x)}{x-x_{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Таким образом, каждый полином $(n-1)$ -й степени $P(x)$ может быть представлен в форме

P(x)=\frac{1}{n} \sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu -1} \sqrt{1-x_{\nu }^{2}} P\left(x_{\nu }\right) \frac{T_{n}(x)}{x-x_{\nu }} .

Задача 6.72

Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома $U_{n}(x)$ [1], т. е. числа

x_{\nu }=\cos \nu \frac{\pi }{n+1} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Тогда фундаментальные полиномы будут

f_{\nu }(x)=(-1)^{\nu -1} \frac{1-x_{\nu }^{2}}{n+1} \frac{U_{n}(x)}{x-x_{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Таким образом, каждый полином $(n-1)$ -й степени $P(x)$ может быть представлен в форме

P(x)=\frac{1}{n+1} \sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu -1}\left(1-x_{\nu }^{2}\right) P\left(x_{\nu }\right) \frac{U_{n}(x)}{x-x_{\nu }} .

Задача 6.73

Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома $U_{n-1}(x)\left(x^{2}-1\right)$ , т. е. числа $x_{\nu }=\cos \nu \frac{\pi }{n}$ $(\nu =1,2, \ldots , n-1)$ , а также точки $x_{0}=1, x_{n}=-1$ . Тогда фундаментальные полиномы будут

\begin{aligned} & f_{\nu }(x)=\frac{(-1)^{\nu }}{n} \frac{U_{n-1}(x)\left(x^{2}-1\right)}{x-x_{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n-1), \\ & f_{0}(x)=\frac{1}{2 n} U_{n-1}(x)(x+1), \\ & f_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2 n} U_{n-1}(x)(x-1) . \end{aligned}

Таким образом, каждый полином $n$ -й степени $P(x)$ может быть представлен в форме

\begin{aligned} P(x)=\frac{1}{2 n} U_{n-1}(x)\left[P(1)(x+1)+ & (-1)^{n} P(-1)(x-1)\right]+ \\ & +\frac{1}{n} \sum _{\nu =1}^{n-1}(-1)^{\nu } P\left(x_{\nu }\right) \frac{U_{n-1}(x)\left(x^{2}-1\right)}{x-x_{\nu }} . \end{aligned}

Примечание.

См. I. Schur, Math. Zeitschr., т. 4, стр. 273—274, 1919.

Задача 6.74

Возьмем в качестве точек интерполирования корни $n$ -й степени из единицы $\varepsilon_{\nu }=e^{\frac{2 \pi i \nu }{n}}$ $(\nu =1,2, \ldots , n)$ . Тогда фундаментальные полиномы будут

f_{\nu }(x)=\frac{\varepsilon _{\nu }}{n} \frac{x^{n}-1}{x-\varepsilon _{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Таким образом, для любого полинома $P(x)$ степени $n-1$ имеет место разложение

P(x)=\frac{1}{n} \sum _{\nu =1}^{n} \varepsilon _{\nu } P\left(\varepsilon _{\nu }\right) \frac{x^{n}-1}{x-\varepsilon _{\nu }} .

Задача 6.75

Пусть полиномы $P(x)$ и $Q(x)$ оба $n$ -й степени и $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — произвольные $n+1$ отличных друг от друга или частично совпадающих вещественных или комплексных чисел. Показать, что из $n+1$ уравнения

\begin{aligned} P\left(x_{0}\right)=Q\left(x_{0}\right), P^{\prime }\left(x_{1}\right)=Q^{\prime }\left(x_{1}\right), P^{\prime \prime }\left(x_{2}\right)=Q^{\prime \prime }\left(x_{2}\right) & , \ldots \\ & \ldots , P^{(n)}\left(x_{n}\right)=Q^{(n)}\left(x_{n}\right) \end{aligned}

вытекает тождественно

P(x)=Q(x) .

Задача 6.76

Для любых $n+1$ чисел $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}$ возможно и притом единственным образом построить полином $P(x)$ степени $\leqslant n$ , удовлетворяющий условиям

P(0)=c_{0}, P^{\prime }(1)=c_{1}, P^{\prime \prime }(2)=c_{2}, \ldots , P^{(n)}(n)=c_{n}

[75]. Показать, что этот полином $P(x)$ может быть представлен в форме

P(x)=P(0) A_{0}(x)+P^{\prime }(1) A_{1}(x)+P^{\prime \prime }(2) A_{2}(x)+\ldots +P^{(n)}(n) A_{n}(x),

где

A_{0}(x), A_{1}(x), \ldots , A_{n}(x)

представляют собой численно вполне определенные, не зависящие от произвольно заданных значений

c_{0}=P(0), c_{1}=P^{\prime }(1), \ldots , c_{n}=P^{(n)}(n)

полиномы (в известном смысле «фундаментальные полиномы» этой, существенно отличной от лагранжевой, интерполяции).

Примечание.

G. H. Halphen, Oeuvres, т. 2, стр. 520, Paris, Gauthier-Villars, 1918.

6.10 · Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова[7/100%]

Задача 6.77

Для совокупности полиномов $(n-1)$ -й степени

P(x)=a_{0} x^{n-1}+a_{1} x^{n-2}+\ldots +a_{n-1},

удовлетворяющих в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ неравенству

\sqrt{1-x^{2}}\left|P(x)\right| \leqslant 1,

наибольшее значение, которое может принимать коэффициент $\left|a_{0}\right|$ , равно $2^{n-1}$ , т. е.

\left|a_{0}\right| \leqslant 2^{n-1} .

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $P(x)=\gamma U_{n-1}(x)$ , где $\left|\gamma \right|=1$ . [71.]

Задача 6.78

Получить из 73 новое доказательство теоремы 62.

Задача 6.79

Получить из 74 новое доказательство теоремы 65.

Задача 6.80

Рассмотрим все полиномы $(n-1)$ -й степени $P(x)$ , удовлетворяющие в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ неравенству

\sqrt{1-x^{2}}\left|P(x)\right| \leqslant 1 .

Показать, что в этом интервале

\left|P(x)\right| \leqslant n \quad (-1 \leqslant x \leqslant 1) .

Равенство достигается лишь для $P(x)=\gamma U_{n-1}(x)$ , где $\left|\gamma \right|=1$ , и при $x= \pm 1$ .

Задача 6.81

Доказать следующее обобщение второго неравенства задачи 7. Пусть

S(\vartheta )=\mu _{1} \sin \vartheta +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\mu _{3} \sin 3 \vartheta +\ldots +\mu _{n} \sin n \vartheta

— любой полином $n$ -го порядка по синусам с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий неравенству

\left|S(\vartheta )\right| \leqslant 1 .

Тогда

\left|\frac{S(\vartheta )}{\sin \vartheta }\right| \leqslant n .

Равенство достигается только для $S(\vartheta )= \pm \sin n \vartheta$ .

Примечание.

См. M. Riesz, Deutsche Math.-Ver., т. 23, стр. 354, 1914.

Задача 6.82

Пусть тригонометрический полином $n$ -го порядка с вещественными коэффициентами

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

удовлетворяет при всех вещественных значениях $\vartheta$ неравенству

\left|g(\vartheta )\right| \leqslant 1 .

Тогда

\left|g^{\prime }(\vartheta )\right| \leqslant n .

Примечание.

S. Bernstein, Mém. Belg. 1912, стр. 19¹; см. M. Riesz, l. c. 81; указываемый здесь прием принадлежит Fejér'у. См. M. Fekete, J. für Math., т. 146, стр. 88—94, 1915.

*) С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, т. I, Изд. АН СССР, 1952, стр. 25. ↩

Задача 6.83

Пусть полином $n$ -й степени $P(x)$ удовлетворяет в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ неравенству $\left|P(x)\right| \leqslant 1$ . Тогда

\left|P^{\prime }(x)\right| \leqslant n^{2} .

Равенство достигается только для $P(x)=\gamma T_{n}(x)$ , $\left|\gamma \right|=1$ , $x= \pm 1$ .

Примечание.

А. А. Марков, Изв. Акад. наук, т. 62, стр. 1—24, 1889.

6.11 · Многочлены Лежандра и смежные вопросы[19/100%]

Задача 6.84

Показать, что $P_{n}(x)$ с точностью до постоянного множителя равен $n$ -й производной от $\left(x^{2}-1\right)^{n}$ :

P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}

(формула Родрига).

Задача 6.85

\begin{aligned} (1-t)^{n} P_{n}\left(\frac{1+t}{1-t}\right)= & \\ =1+\binom {n}{1}^{2} t & +\binom {n}{2}^{2} t^{2}+\binom {n}{3}^{2} t^{3}+\ldots +\binom {n}{n-1}^{2} t^{n-1}+t^{n} . \end{aligned}

Задача 6.86

Полином $P_{n}(x)$ может быть представлен в интегральной форме

P_{n}(x)=\frac{1}{\pi } \int _{0}^{\pi }\left(x+\sqrt{x^{2}-1} \cos \varphi \right)^{n} d \varphi

(формула Лапласа).

Задача 6.87

Между тремя последовательными полиномами Лежандра существует рекуррентное соотношение

P_{n}(x)=\frac{2 n-1}{n} x P_{n-1}(x)-\frac{n-1}{n} P_{n-2}(x) \quad (n=2,3,4, \ldots ) .

Задача 6.88

Существует единственный полином $n$ -й степени $S_{n}(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношению

\int _{-1}^{1} S_{n}(x) K(x) d x=K(1)

для всех полиномов $n$ -й степени $K(x)$ . Представить $S_{n}(x)$ и $(1-x) S_{n}(x)$ в виде линейной комбинации полиномов Лежандра.

Задача 6.89

Полиномы

S_{0}(x), \quad S_{1}(x), \quad S_{2}(x), \ldots , S_{n}(x), \ldots

удовлетворяют соотношениям ортогональности

\int _{-1}^{1}(1-x) S_{m}(x) S_{n}(x) d x= \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \frac{n+1}{2}, & \text{ если } m=n \end{cases} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ) .

Примечание.

Продолжение задачи 88.

Задача 6.90

Показать, что $P_{n}(x)$ удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка

\left(1-x^{2}\right) P_{n}^{\prime \prime }(x)-2 x P_{n}^{\prime }(x)+n(n+1) P_{n}(x)=0 .

Задача 6.91

Для достаточно малого $\omega$ имеет место разложение в степенной ряд

\frac{1}{\sqrt{1-2 x \omega +\omega ^{2}}}=P_{0}(x)+P_{1}(x) \omega +P_{2}(x) \omega ^{2}+\ldots +P_{n}(x) \omega ^{n}+\ldots

(«производящий ряд» для полиномов Лежандра).

Задача 6.92

Вывести 84, 86, 87, 90 непосредственно из 91.

Примечание.

91 можно принять также за определение полиномов Лежандра и притом за определение, занимающее «центральное положение», ибо от него к большинству свойств этих полиномов ведут наиболее удобные пути.

Задача 6.93

Показать, что $P_{n}(\cos \vartheta )$ представляет собой полином по косинусам с неотрицательными коэффициентами. Определить эти коэффициенты. Вывести отсюда неравенство

\left|P_{n}(x)\right| \leqslant 1 \quad (-1 \leqslant x \leqslant 1) .

Если $n>0$ , равенство достигается лишь при $x=1$ или $x=-1$ .

Задача 6.94

При $x>1$ последовательность

P_{0}(x), \quad P_{1}(x), \quad P_{2}(x), \ldots , P_{n}(x), \ldots

монотонно возрастает.

Задача 6.95

Сумма $n$ первых полиномов Лежандра неотрицательна в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ :

P_{0}(x)+P_{1}(x)+P_{2}(x)+\ldots +P_{n}(x) \geqslant 0 .

Равенство достигается лишь когда $n$ нечетно и $x=-1$ . [III 157.]

Примечание.

L. Fejér, Math. Ann., т. 67, стр. 83, 1909.

Задача 6.96

При четном $n$ сумма $n$ первых полиномов Лежандра

P_{0}(x)+P_{1}(x)+P_{2}(x)+\ldots +P_{n}(x)

положительна при всех значениях $x$ . При $n$ нечетном эта сумма имеет в точке $x=-1$ единственное изменение знака. [94.]

Задача 6.97

Показать, что $n$ -й полином Лежандра $P_{n}(x)$ имеет лишь вещественные и притом простые нули; все эти нули лежат внутри интервала $\left[-1,1\right]$ . [II 140.]

Задача 6.98

Обобщить теоремы 84—91, 97 на полиномы Якоби (гипергеометрические полиномы)

P_{0}^{(\alpha , \beta )}(x), \quad P_{1}^{(\alpha , \beta )}(x), \quad P_{2}^{(\alpha , \beta )}(x), \ldots , P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x), \ldots \quad (\alpha , \beta >-1),

определяемые следующими условиями:

$P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ есть полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям
$\begin{aligned} & \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta } P_{m}^{(\alpha , \beta )}(x) P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x) d x= \\ & \quad = \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \frac{2^{\alpha +\beta +1}}{2 n+\alpha +\beta +1} \frac{\Gamma (n+\alpha +1) \Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\alpha +\beta +1)}, & \text{ если } m=n \end{cases} \\ & (m, n=0,1,2, \ldots ) \end{aligned}$
(при $n=0$ последнее выражение должно быть заменено следующим: $2^{\alpha +\beta +1} \frac{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +2)}$ ).
Коэффициент при $x^{n}$ полинома $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ положителен. При некоторых специальных значениях $\alpha , \beta$ эти полиномы приводятся к уже известным полиномам $P_{n}(x)$ , $S_{n}(x)$ , $T_{n}(x)$ и $U_{n}(x)$ . Именно при

\begin{array}{lccc} \alpha =0, & 1, & -\frac{1}{2}, & \frac{1}{2}, \\ \beta =0, & 0, & -\frac{1}{2}, & \frac{1}{2}, \\ \multicolumn{4}{l}{P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)=P_{n}(x), \frac{2}{n+1} S_{n}(x), \frac{1 \cdot 3 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \ldots 2 n} T_{n}(x), 2 \frac{1 \cdot 3 \ldots (2 n+1)}{2 \cdot 4 \ldots (2 n+2)} U_{n}(x) .} \end{array}

[См. стр. 102, 89, 4, 4.] (Коэффициент при $T_{n}(x)$ в случае $n=0$ заменить на 1.)

Задача 6.99

Распространить теоремы 84, 85, 87—91, 97 на обобщенные полиномы Лагерра

L_{0}^{(\alpha )}(x), \quad L_{1}^{(\alpha )}(x), \quad L_{2}^{(\alpha )}(x), \ldots , L_{n}^{(\alpha )}(x), \ldots \quad (\alpha >-1),

определяемые следующими условиями:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)$ есть полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям
$\begin{aligned} & \int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha } L_{m}^{(\alpha )}(x) L_{n}^{(\alpha )}(x) d x= \\ & \quad = \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \Gamma (\alpha +1)\binom {n+\alpha }{n}, & \text{ если } m=n \end{cases} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ) . \end{aligned}$
Коэффициент при $x^{n}$ в полиноме $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ имеет знак $(-1)^{n}$ .

Задача 6.100

Доказать теоремы, аналогичные 84, 87, 88, 90, 91, 97, для полиномов Эрмита

H_{0}(x), \quad H_{1}(x), \quad H_{2}(x), \ldots , H_{n}(x), \ldots ,

определяемых следующими условиями:

$H_{n}(x)$ — полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям
$\int _{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{x^{2}}{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) d x= \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \frac{\sqrt{2 \pi }}{n!}, & \text{ если } m=n \end{cases} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ) .$
Коэффициент при $x^{n}$ в полиноме $H_{n}(x)$ имеет знак $(-1)^{n}$ .

Задача 6.101

Для определенных в 98 и 99 функций $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ и $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ имеет место предельное соотношение

\lim _{\beta \rightarrow +\infty } P_{n}^{(\alpha , \beta )}(1-\varepsilon )=L_{n}^{(\alpha )}(x),

где $\varepsilon$ при возрастании $\beta$ стремится к нулю таким образом, что

\lim _{\beta \rightarrow +\infty } \varepsilon \beta =2 x .

Задача 6.102

Определенные в 99 и 100 функции $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ и $H_{n}(x)$ связаны между собой соотношениями

\begin{gathered} H_{2 q}(x)=\frac{(-1)^{q}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 q-1)} L_{q}^{\left(-\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{x^{2}}{2}\right), \\ H_{2 q+1}(x)=\frac{(-1)^{q+1}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 q+1)} x L_{q}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{x^{2}}{2}\right) \quad (q=0,1,2, \ldots ) . \end{gathered}

6.12 · Дальнейшие задачи на максимум-минимум для многочленов[11/100%]

Задача 6.103

Пусть $P(x)$ — любой полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}[P(x)]^{2} d x=1 .

Тогда в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$

\left|P(x)\right| \leqslant \frac{n+1}{\sqrt{2}} .

Равенство достигается лишь для

P(x)= \pm \frac{\sqrt{2}}{n+1} S_{n}(x) \text{ [88] при } x=1

или

P(x)= \pm \frac{\sqrt{2}}{n+1} S_{n}(-x) \quad \text{ при } x=-1

$(n>0)$ .

Задача 6.104

Пусть $P(x)$ — любой полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}(1-x)[P(x)]^{2} d x=1 .

Тогда

\left|P(1)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\binom {n+2}{2}, \quad \left|P(-1)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\binom {n+2}{2}} .

Эти границы нельзя понизить.

Задача 6.105

Пусть $P(x)$ — произвольный полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }[P(x)]^{2} d x=1,

где $\alpha$ и $\beta$ — постоянные $>-1$ . Определить максимумы значений $\left|P(1)\right|$ и $\left|P(-1)\right|$ для всей совокупности указанных полиномов. Как ведут себя эти максимумы для больших значений $n$ ?

Задача 6.106

Определить максимум значения $\left|P(0)\right|$ для совокупности всех полиномов $n$ -й степени $P(x)$ , удовлетворяющих условию

\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha }[P(x)]^{2} d x=1,

где $\alpha$ — постоянная $>-1$ . Как ведет себя этот максимум для больших значений $n$ ?

Задача 6.107

Определить максимум значения $\left|P(0)\right|$ для совокупности полиномов $n$ -й степени $P(x)$ , удовлетворяющих условию

\int _{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{x^{2}}{2}}[P(x)]^{2} d x=1 .

Как ведет себя этот максимум для больших значений $n$ ?

Задача 6.108

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, неотрицательный в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1} P(x) d x=1 .

Тогда

P(1) \leqslant \begin{cases} \frac{q(q+1)}{2} & \text{ при нечетном } n, n=2 q-1, \\ \frac{(q+1)^{2}}{2} & \text{ при четном } n, n=2 q . \end{cases}

Аналогичная оценка имеет место и для $P(-1)$ . Эти границы не могут быть понижены.

Примечание.

F. Lukács, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 299, 304, 1918.

Задача 6.109

Первая интегральная теорема о среднем значении может быть следующим образом уточнена для полиномов $n$ -й степени. Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, имеющий в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ минимум $m$ и максимум $M$ . Тогда

m+\frac{M-m}{\alpha _{n}} \leqslant \frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} P(x) d x \leqslant M-\frac{M-m}{\alpha _{n}},

где при нечетном $n$ , $n=2 q-1$ , имеем

\alpha _{n}=q(q+1),

а при четном $n$ , $n=2 q$ ,

\alpha _{n}=(q+1)^{2} .

Примечание.

F. Lukács, l. c. 108.

Задача 6.110

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, неотрицательный в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta } P(x) d x=1,

где $\alpha$ и $\beta$ — постоянные $>-1$ . Тогда

P(1) \leqslant \begin{cases} \frac{1}{2^{\alpha +\beta +1}} \frac{\Gamma (q+\alpha +1) \Gamma (q+\alpha +\beta +2)}{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\alpha +2) \Gamma (q) \Gamma (q+\beta +1)} & \text{ при нечетном } n, n=2 q-1, \\ \frac{1}{2^{\alpha +\beta +1}} \frac{\Gamma (q+\alpha +2) \Gamma (q+\alpha +\beta +2)}{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\alpha +2) \Gamma (q+1) \Gamma (q+\beta +1)} & \text{ при четном } n, n=2 q . \end{cases}

Эти границы не могут быть понижены. Меняя местами $\alpha$ и $\beta$ , получаем соответствующие границы для $P(-1)$ .

Задача 6.111

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, принимающий для неотрицательных $x$ лишь неотрицательные значения и удовлетворяющий условию

\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha } P(x) d x=1,

где постоянная $\alpha >-1$ . Тогда

P(0) \leqslant \frac{\Gamma (p+\alpha +2)}{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\alpha +2) \Gamma (p+1)} \quad \left(p=\left[\frac{n}{2}\right]\right) .

Эта граница не может быть понижена.

Задача 6.112

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, неотрицательный для неотрицательных $x$ и удовлетворяющий условию

\int _{0}^{\infty } e^{-x} P(x) d x=1 .

Тогда

P(0) \leqslant \left[\frac{n}{2}\right]+1 .

Задача 6.113

Вообще при любом неотрицательном $\xi$ выполняется неравенство

e^{-\xi } P(\xi ) \leqslant \left[\frac{n}{2}\right]+1 .

Примечание.

Продолжение задачи 112.

Многочлены и тригонометрические многочлены

Footnotes