Банк задач по математике

Задача 6.8

Всякий полином $n$ -го порядка по косинусам можно представить в виде $P(\cos \vartheta )$ , где $P(x)$ — полином $n$ -й степени. Обратное также верно.

?

Задача 6.9

Всякий полином $n$ -го порядка по синусам можно представить в виде $\sin \vartheta P(\cos \vartheta )$ , где $P(x)$ — полином $(n-1)$ -й степени. Обратное также верно.

?

Задача 6.10

Произведение двух тригонометрических полиномов $m$ -го и $n$ -го порядков есть тригонометрический полином $(m+n)$ -го порядка.

?

Задача 6.11

Всякий тригонометрический полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

имеющий лишь вещественные коэффициенты, можно представить в форме

g(\vartheta )=e^{-i n \vartheta } G\left(e^{i \vartheta }\right),

где $G(z)=u_{0}+u_{1} z+u_{2} z^{2}+\ldots +u_{2 n} z^{2 n}$ — некоторый полином $2 n$ -й степени, не изменяющийся, если, заменив $z$ на $z^{-1}$ , умножить его на $z^{2 n}$ и одновременно заменить все коэффициенты сопряженными:

G(z)=\overline{u}_{2 n}+\overline{u}_{2 n-1} z+\overline{u}_{2 n-2} z^{2}+\ldots +\overline{u}_{0} z^{2 n}=z^{2 n} \overline{G}\left(z^{-1}\right) .

Вычислить коэффициенты $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{2 n}$ .

?

Задача 6.12

Обратно, если $G(z)$ — полином $2 n$ -й степени, удовлетворяющий тождественно для всех значений $z$ соотношению

z^{2 n} \overline{G}\left(z^{-1}\right)=G(z),

то

e^{-i n \vartheta } G\left(e^{i \vartheta }\right)=g(\vartheta )

есть тригонометрический полином $n$ -го порядка от $\vartheta$ , имеющий лишь вещественные коэффициенты.

?

Задача 6.13

Пусть $G(z)$ — полином $2 n$ -й степени, удовлетворяющий условию

z^{2 n} \overline{G}\left(z^{-1}\right)=G(z) .

Как распределены его нули в комплексной плоскости?

?

Задача 6.14

Тригонометрический полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ \ldots & +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

где коэффициенты вещественные, причем $\lambda_{n}$ и $\mu_{n}$ не равны одновременно нулю, имеет ровно $2 n$ нулей, если рассматривать все комплексные значения $\vartheta$ и считать нули по их кратности ( $\vartheta$ и $\vartheta +2 \pi$ не рассматриваются как различные).

?

Задача 6.15

Определить все тригонометрические полиномы $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождественно при всех значениях $\alpha$ и $\beta$ соотношению

\sum _{\nu =0}^{n} g\left(\alpha -\frac{\nu \pi }{n+1}\right) g\left(\frac{\nu \pi }{n+1}-\beta \right)=g(\alpha -\beta ) .

?

Общие задачи о тригонометрических многочленах