6.7

Задачи на максимум-минимум для тригонометрических многочленов

[12/100%]
Показать
LaTeX
Задача 6.50

Пусть

g(ϑ)=λ0+λ1cos⁡ϑ+μ1sin⁡ϑ+λ2cos⁡2ϑ+μ2sin⁡2ϑ+……+λncos⁡nϑ+μnsin⁡nϑ \begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

— неотрицательный тригонометрический полином nn-го порядка со свободным членом, равным единице, т. е.

λ0=12π∫02πg(ϑ)dϑ=1. \lambda _{0}=\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } g(\vartheta ) d \vartheta =1 .

Тогда

g(ϑ)⩽n+1. g(\vartheta ) \leqslant n+1 .

Равенство будет достигаться только при условии

g(ϑ)=1n+1∣1+z+z2+…+zn∣2=1+2nn+1cos⁡(ϑ−ϑ0)++2n−1n+1cos⁡2(ϑ−ϑ0)+…+21n+1cos⁡n(ϑ−ϑ0)(z=ei(ϑ−ϑ0)) \begin{aligned} & g(\vartheta )=\frac{1}{n+1}\left|1+z+z^{2}+\ldots +z^{n}\right|^{2}=1+2 \frac{n}{n+1} \cos \left(\vartheta -\vartheta _{0}\right)+ \\ & \quad +2 \frac{n-1}{n+1} \cos 2\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right)+\ldots +2 \frac{1}{n+1} \cos n\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right) \quad \left(z=e^{i\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right)}\right) \end{aligned}

и ϑ=ϑ0\vartheta =\vartheta_{0} (или вообще ϑ=ϑ0+2kπ,k=0,±1,±2,…\vartheta =\vartheta_{0}+2 k \pi , k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots).

?
Задача 6.51

Показать, что

λn2+μn2⩽1. \lambda _{n}^{2}+\mu _{n}^{2} \leqslant 1 .

Равенство достигается лишь когда

g(ϑ)=1+cos⁡n(ϑ−ϑ0). g(\vartheta )=1+\cos n\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right) .
?
Примечание.
?

Продолжение задачи 50. L. Fejér, l. c. 40, стр. 73.

Задача 6.52

Показать, что

λ12+μ12⩽4cos⁡2πn+2. \lambda _{1}^{2}+\mu _{1}^{2} \leqslant 4 \cos ^{2} \frac{\pi }{n+2} .
?
Примечание.
?

Продолжение задачи 50. L. Fejér, l. c. 40, стр. 79.

Задача 6.53

Среднее геометрическое [II 48] неотрицательного, не равного тождественно нулю полинома g(ϑ)g(\vartheta ) есть

e12π∫02πln⁡g(ϑ)dϑ=∣h(0)∣2=[h(0)]2, e^{\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \ln g(\vartheta ) d \vartheta }=\left|h(0)\right|^{2}=\left[h(0)\right]^{2},

где g(ϑ)=∣h(eiϑ)∣2g(\vartheta )=\left|h\left(e^{i \vartheta }\right)\right|^{2} — определенное в задаче 43 «нормальное представление» полинома g(ϑ)g(\vartheta ).

?
Задача 6.54

Пусть неотрицательный не равный тождественно нулю полином nn-го порядка

g(ϑ)=λ0+λ1cos⁡ϑ+μ1sin⁡ϑ+λ2cos⁡2ϑ+μ2sin⁡2ϑ+……+λncos⁡nϑ+μnsin⁡nϑ \begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta \end{aligned}

имеет в качестве среднего геометрического единицу. Тогда

g(ϑ)⩽4n. g(\vartheta ) \leqslant 4^{n} .

Равенство достигается только для полинома

g(ϑ)=(2cos⁡ϑ−ϑ02)2n g(\vartheta )=\left(2 \cos \frac{\vartheta -\vartheta _{0}}{2}\right)^{2 n}

и при условии ϑ=ϑ0\vartheta =\vartheta_{0} (или вообще ϑ=ϑ0+2kπ,k=0,±1,±2,…\vartheta =\vartheta_{0}+2 k \pi , k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots).

?
Задача 6.55

Среднее арифметическое полинома g(ϑ)g(\vartheta ) удовлетворяет неравенству

λ0=12π∫02πg(ϑ)dϑ⩽(2nn). \lambda _{0}=\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } g(\vartheta ) d \vartheta \leqslant \binom {2 n}{n} .

Когда достигается равенство?

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 54.

Задача 6.56

Показать, что

λν2+μν2⩽2(2nn+ν)(ν=1,2,3,…,n). \sqrt{\lambda _{\nu }^{2}+\mu _{\nu }^{2}} \leqslant 2\binom {2 n}{n+\nu } \quad (\nu =1,2,3, \ldots , n) .

Когда здесь будет достигаться равенство?

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 54.

Задача 6.57

Тригонометрический полином без свободного члена

g(ϑ)=λ1cos⁡ϑ+μ1sin⁡ϑ+λ2cos⁡2ϑ+μ2sin⁡2ϑ+……+λncos⁡nϑ+μnsin⁡nϑ, \begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех значений ϑ\vartheta постоянный знак. Доказать это без применения интегрального исчисления.

?
Задача 6.58

Пусть через −m-m и MM обозначены минимум и максимум тригонометрического полинома nn-го порядка

g(ϑ)=λ1cos⁡ϑ+μ1sin⁡ϑ+λ2cos⁡2ϑ+μ2sin⁡2ϑ+……+λncos⁡nϑ+μnsin⁡nϑ,m⩾0,M⩾0. \begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta & +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \quad m \geqslant 0, \quad M \geqslant 0 . \end{aligned}

[57.]

Показать, что

M⩽nm,m⩽nM. M \leqslant n m, \quad m \leqslant n M .
?
Примечание.
?

L. Fejér, l. c. 40, стр. 67—68; l. c. 50, второе доказательство, стр. 573—574.

Задача 6.59

Первая интегральная теорема о среднем значении может быть для тригонометрических полиномов уточнена следующим образом. Если g(ϑ)g(\vartheta ) — тригонометрический полином nn-го порядка с минимумом mm и максимумом MM, то

m+M−mn+1⩽12π∫02πg(ϑ)dϑ⩽M−M−mn+1. m+\frac{M-m}{n+1} \leqslant \frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } g(\vartheta ) d \vartheta \leqslant M-\frac{M-m}{n+1} .
?
Примечание.
?

L. Fejér, l. c. 40, стр. 69.

Задача 6.60

Пусть −m-m есть минимум, а MM — максимум тригонометрического полинома nn-го порядка

g(ϑ)=λ0+λ1cos⁡ϑ+μ1sin⁡ϑ+λ2cos⁡2ϑ+μ2sin⁡2ϑ+……+λncos⁡nϑ+μnsin⁡nϑ. \begin{aligned} & g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta +\mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta . \end{aligned}

Тогда либо mm, либо MM больше чем λn2+μn2\sqrt{\lambda_{n}^{2}+\mu_{n}^{2}}. Равенство

m=M=λn2+μn2 m=M=\sqrt{\lambda _{n}^{2}+\mu _{n}^{2}}

будет выполняться лишь для полиномов

g(ϑ)=ccos⁡n(ϑ−ϑ0). g(\vartheta )=c \cos n\left(\vartheta -\vartheta _{0}\right) .
?
Примечание.
?

L. Fejér, l. c. 40, стр. 80—81.

Задача 6.61

Сложим nn гармонических движений, периоды которых находятся в отношениях 1:12:13:…:1n1: \frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \ldots : \frac{1}{n}; фазы произвольны. Показать, что максимальная элонгация результирующего движения будет самое меньшее равна среднему арифметическому амплитуд слагающих гармонических движений.

Вопрос сводится в обозначениях задачи 58 к доказательству неравенства

M⩾λ12+μ12+λ22+μ22+…+λn2+μn2n. M \geqslant \frac{\sqrt{\lambda _{1}^{2}+\mu _{1}^{2}}+\sqrt{\lambda _{2}^{2}+\mu _{2}^{2}}+\ldots +\sqrt{\lambda _{n}^{2}+\mu _{n}^{2}}}{n} .

(Уточнение теоремы 50.)

?
Примечание.
?

O. Szász, Münch. Ber., 1917, стр. 307—320.