Банк задач по математике

Задача 6.103

Пусть $P(x)$ — любой полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}[P(x)]^{2} d x=1 .

Тогда в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$

\left|P(x)\right| \leqslant \frac{n+1}{\sqrt{2}} .

Равенство достигается лишь для

P(x)= \pm \frac{\sqrt{2}}{n+1} S_{n}(x) \text{ [88] при } x=1

или

P(x)= \pm \frac{\sqrt{2}}{n+1} S_{n}(-x) \quad \text{ при } x=-1

$(n>0)$ .

?

Задача 6.104

Пусть $P(x)$ — любой полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}(1-x)[P(x)]^{2} d x=1 .

Тогда

\left|P(1)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\binom {n+2}{2}, \quad \left|P(-1)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\binom {n+2}{2}} .

Эти границы нельзя понизить.

?

Задача 6.105

Пусть $P(x)$ — произвольный полином $n$ -й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }[P(x)]^{2} d x=1,

где $\alpha$ и $\beta$ — постоянные $>-1$ . Определить максимумы значений $\left|P(1)\right|$ и $\left|P(-1)\right|$ для всей совокупности указанных полиномов. Как ведут себя эти максимумы для больших значений $n$ ?

?

Задача 6.106

Определить максимум значения $\left|P(0)\right|$ для совокупности всех полиномов $n$ -й степени $P(x)$ , удовлетворяющих условию

\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha }[P(x)]^{2} d x=1,

где $\alpha$ — постоянная $>-1$ . Как ведет себя этот максимум для больших значений $n$ ?

?

Задача 6.107

Определить максимум значения $\left|P(0)\right|$ для совокупности полиномов $n$ -й степени $P(x)$ , удовлетворяющих условию

\int _{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{x^{2}}{2}}[P(x)]^{2} d x=1 .

Как ведет себя этот максимум для больших значений $n$ ?

?

Задача 6.108

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, неотрицательный в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1} P(x) d x=1 .

Тогда

P(1) \leqslant \begin{cases} \frac{q(q+1)}{2} & \text{ при нечетном } n, n=2 q-1, \\ \frac{(q+1)^{2}}{2} & \text{ при четном } n, n=2 q . \end{cases}

Аналогичная оценка имеет место и для $P(-1)$ . Эти границы не могут быть понижены.

?

Примечание.

?

F. Lukács, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 299, 304, 1918.

Задача 6.109

Первая интегральная теорема о среднем значении может быть следующим образом уточнена для полиномов $n$ -й степени. Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, имеющий в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ минимум $m$ и максимум $M$ . Тогда

m+\frac{M-m}{\alpha _{n}} \leqslant \frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} P(x) d x \leqslant M-\frac{M-m}{\alpha _{n}},

где при нечетном $n$ , $n=2 q-1$ , имеем

\alpha _{n}=q(q+1),

а при четном $n$ , $n=2 q$ ,

\alpha _{n}=(q+1)^{2} .

?

Примечание.

?

F. Lukács, l. c. 108.

Задача 6.110

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, неотрицательный в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и удовлетворяющий условию

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta } P(x) d x=1,

где $\alpha$ и $\beta$ — постоянные $>-1$ . Тогда

P(1) \leqslant \begin{cases} \frac{1}{2^{\alpha +\beta +1}} \frac{\Gamma (q+\alpha +1) \Gamma (q+\alpha +\beta +2)}{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\alpha +2) \Gamma (q) \Gamma (q+\beta +1)} & \text{ при нечетном } n, n=2 q-1, \\ \frac{1}{2^{\alpha +\beta +1}} \frac{\Gamma (q+\alpha +2) \Gamma (q+\alpha +\beta +2)}{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\alpha +2) \Gamma (q+1) \Gamma (q+\beta +1)} & \text{ при четном } n, n=2 q . \end{cases}

Эти границы не могут быть понижены. Меняя местами $\alpha$ и $\beta$ , получаем соответствующие границы для $P(-1)$ .

?

Задача 6.111

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, принимающий для неотрицательных $x$ лишь неотрицательные значения и удовлетворяющий условию

\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha } P(x) d x=1,

где постоянная $\alpha >-1$ . Тогда

P(0) \leqslant \frac{\Gamma (p+\alpha +2)}{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\alpha +2) \Gamma (p+1)} \quad \left(p=\left[\frac{n}{2}\right]\right) .

Эта граница не может быть понижена.

?

Задача 6.112

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени, неотрицательный для неотрицательных $x$ и удовлетворяющий условию

\int _{0}^{\infty } e^{-x} P(x) d x=1 .

Тогда

P(0) \leqslant \left[\frac{n}{2}\right]+1 .

?

Задача 6.113

Вообще при любом неотрицательном $\xi$ выполняется неравенство

e^{-\xi } P(\xi ) \leqslant \left[\frac{n}{2}\right]+1 .

?

Примечание.

?

Продолжение задачи 112.

Дальнейшие задачи на максимум-минимум для многочленов