Задачи на максимум-минимум для многочленов

Пусть $P(x)$ — полином $n$-й степени со старшим коэффициентом 1. Показать, что максимум $\left|P(x)\right|$ в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ не может быть меньше чем $\frac{1}{2^{n-1}}$. Если в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$

то $P(x)$ отличается от определенного во вводном тексте § 1 полинома $T_{n}(x)$ лишь постоянным множителем. [60.]

Показать, что

Таким образом, для существования полиномов со старшим коэффициентом 1, произвольно малых равномерно во всем заданном интервале, необходимо и достаточно, чтобы длина $l$ этого интервала была меньше чем 4.

Пусть переменная $x$ изменяется в двух равных интервалах, получающихся путем удаления из интервала $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ интервала длины $d$ с центром $\frac{\alpha +\beta }{2}$; $d<\beta -\alpha =l$. Пусть, далее, $\mu_{n}$ будет нижняя грань максимумов всех полиномов $n$-й степени со старшим коэффициентом 1, взятых в этих двух интервалах. Тогда

при $n$ четном и

при $n$ нечетном. [63.]

Рассмотрим совокупность полиномов $n$-й степени

где коэффициенты $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ — произвольные комплексные числа. Показать, что максимум $\left|Q(z)\right|$ на единичной окружности $\left|z\right|=1$ не может быть меньше единицы и равен единице лишь для $Q(z)=z^{n}$.

Теоремам 63 и 65 можно дать следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в плоскости даны $n$ фиксированных точек $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ и переменная точка $P$. Тогда функция

этой точки $P$ ($\overline{P P_{\nu }}$ — расстояние между точками $P$ и $P_{\nu }$) имеет на каждом отрезке длины $l$ максимум не меньше чем $2\left(\frac{l}{4}\right)^{n}$ и на каждой окружности радиуса $r$ максимум не меньше чем $r^{n}$. Единственный возможный предельный случай будет для отрезка, когда точки $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ распределены на заданном отрезке как нули полинома Чебышева $T_{n}(x)$ [1] в интервале $\left[-1,1\right]$, а для окружности — когда все точки $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ совпадают с ее центром.

Доказать, что эта теорема верна и в том случае, когда точки $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ произвольно распределены в пространстве.