6.4

Некоторые задачи о рядах Фурье

[10/90%]
Показать
LaTeX
Задача 6.29
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Задача 6.30

Каков будет ряд Фурье для тригонометрического полинома f(ϑ)f(\vartheta ) nn-го порядка?

?
Задача 6.31

Пусть nn и ν\nu — целые положительные числа. Показать, что

12π∫−ππ(2cos⁡ϑ2)ncos⁡(n2−ν)ϑdϑ=(nν). \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi }\left(2 \cos \frac{\vartheta }{2}\right)^{n} \cos \left(\frac{n}{2}-\nu \right) \vartheta d \vartheta =\binom {n}{\nu } .
?
Задача 6.32

Пусть последовательность

a0,a1,b1,a2,b2,…,an,bn,… a_{0}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \ldots , a_{n}, b_{n}, \ldots

обладает тем свойством, что «тригонометрический ряд»

a0+2a1cos⁡ϑ+2b1sin⁡ϑ+2a2cos⁡2ϑ+2b2sin⁡2ϑ+……+2ancos⁡nϑ+2bnsin⁡nϑ+… \begin{aligned} a_{0}+2 a_{1} \cos \vartheta +2 b_{1} \sin \vartheta +2 a_{2} \cos 2 \vartheta & +2 b_{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ \ldots & +2 a_{n} \cos n \vartheta +2 b_{n} \sin n \vartheta +\ldots \end{aligned}

равномерно сходится при всех значениях ϑ\vartheta и, таким образом, представляет некоторую непрерывную периодическую функцию f(ϑ)f(\vartheta ) с периодом 2π2 \pi. Каков будет ряд Фурье для функции f(ϑ)f(\vartheta )?

?
Задача 6.33
12−1π∑n=1∞sin⁡2πnxn={x−[x] для нецелых x,12 для целых x. \frac{1}{2}-\frac{1}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin 2 \pi n x}{n}= \begin{cases} x-\left[x\right] & \text{ для нецелых } x, \\ \frac{1}{2} & \text{ для целых } x . \end{cases}
?
Задача 6.34
∣sin⁡ϑ∣=2π−4π∑n=1∞cos⁡2nϑ4n2−1=8π∑n=1∞sin⁡2nϑ4n2−1. \left|\sin \vartheta \right|=\frac{2}{\pi }-\frac{4}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos 2 n \vartheta }{4 n^{2}-1}=\frac{8}{\pi } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin ^{2} n \vartheta }{4 n^{2}-1} .
?
Задача 6.35

Числа

ρm=2π∫0π2∣sin⁡mϑ∣sin⁡ϑdϑ(m=1,2,3,…) \rho _{m}=\frac{2}{\pi } \int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{\left|\sin m \vartheta \right|}{\sin \vartheta } d \vartheta \quad (m=1,2,3, \ldots )

(находящиеся в тесной связи с так называемыми константами Лебега ряда Фурье) монотонно возрастают вместе с возрастанием mm. А именно, их можно представить в виде

ρm=16π2∑n=1∞11+13+15+…+12nm−14n2−1. \rho _{m}=\frac{16}{\pi ^{2}} \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2 n m-1}}{4 n^{2}-1} .
?
Примечание.
?

G. Szegö, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 163, 1921.

Задача 6.36

Пусть функция f(ϑ)f(\vartheta ) — периодическая с периодом π\pi и «четная», т. е. тождественно при всех значениях ϑ\vartheta имеет место равенство f(−ϑ)=f(ϑ)f(-\vartheta )=f(\vartheta ). Если в интервале 0⩽ϑ⩽π0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi f(ϑ)f(\vartheta ) выпукла сверху, то ее ряд Фурье имеет вид

c0−c1cos⁡2ϑ−c2cos⁡4ϑ−…−cncos⁡2nϑ−…, c_{0}-c_{1} \cos 2 \vartheta -c_{2} \cos 4 \vartheta -\ldots -c_{n} \cos 2 n \vartheta -\ldots ,

где все коэффициенты c1,c2,…,cn,…c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}, \ldots неотрицательны.

?
Задача 6.37

Если функция f(ϑ)f(\vartheta ) предыдущей задачи удовлетворяет еще условию f(0)=0f(0)=0 и, кроме того, для некоторого p>0p>0 выражение ϑ−pf(ϑ)\vartheta^{-p} f(\vartheta ) ограничено, то последовательность

ρm=∫0π2f(mϑ)sin⁡ϑdϑ(m=1,2,3,…) \rho _{m}=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{f(m \vartheta )}{\sin \vartheta } d \vartheta \quad (m=1,2,3, \ldots )

монотонно возрастает вместе с mm. [Обобщение теоремы 35.]

?
Задача 6.38

Пусть MnM_{n} — максимум функции

Γ(n,ϑ)=∣sin⁡ϑ∣1+∣sin⁡2ϑ∣2+∣sin⁡3ϑ∣3+…+∣sin⁡nϑ∣n \Gamma (n, \vartheta )=\frac{\left|\sin \vartheta \right|}{1}+\frac{\left|\sin 2 \vartheta \right|}{2}+\frac{\left|\sin 3 \vartheta \right|}{3}+\ldots +\frac{\left|\sin n \vartheta \right|}{n}

по отношению ко всем значениям ϑ\vartheta. Показать, что

2π∑ν=1n1ν<Mn<2π∑ν=1n1ν+2π. \frac{2}{\pi } \sum _{\nu =1}^{n} \frac{1}{\nu }<M_{n}<\frac{2}{\pi } \sum _{\nu =1}^{n} \frac{1}{\nu }+\frac{2}{\pi } .

[34, 28.]

?