6.9

Интерполяционная формула Лагранжа

[10/100%]
Показать
LaTeX
Задача 6.67

Пусть полином nn-й степени

f(x)=a0xn+a1xn−1+…+an−1x+an f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}

имеет отличные друг от друга нули x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}. Тогда

σk=∑ν=1nxνkf′(xν)={0, если 0⩽k⩽n−2,a0−1, если k=n−1. \sigma _{k}=\sum _{\nu =1}^{n} \frac{x_{\nu }^{k}}{f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)}= \begin{cases} 0, & \text{ если } 0 \leqslant k \leqslant n-2, \\ a_{0}^{-1}, & \text{ если } k=n-1 . \end{cases}

Далее при k=n,n+1,…,2n−2k=n, n+1, \ldots , 2 n-2 σk\sigma_{k} не зависит от ana_{n}; при k=2n−1k=2 n-1 оно выражается линейно через ana_{n} с коэффициентами −a0−2-a_{0}^{-2}.

?
Задача 6.68
∑ν=1nkxνk−1f′(xν)−xνkf′′(xν)[f′(xν)]3={0, если 0⩽k⩽2n−2,a0−2, если k=2n−1. \sum _{\nu =1}^{n} \frac{k x_{\nu }^{k-1} f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)-x_{\nu }^{k} f^{\prime \prime }\left(x_{\nu }\right)}{\left[f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)\right]^{3}}= \begin{cases} 0, & \text{ если } 0 \leqslant k \leqslant 2 n-2, \\ a_{0}^{-2}, & \text{ если } k=2 n-1 . \end{cases}
?
Примечание.
?

Продолжение задачи 67. I. Schur.

Задача 6.69

Пусть x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} отличны от 0 и −1-1. Доказать, что

∑ν=1nxνnf(xν−1)f′(xν)(1+xν)=(−1)n−1(1−x1x2…xn). \sum _{\nu =1}^{n} \frac{x_{\nu }^{n} f\left(x_{\nu }^{-1}\right)}{f^{\prime }\left(x_{\nu }\right)\left(1+x_{\nu }\right)}=(-1)^{n-1}\left(1-x_{1} x_{2} \ldots x_{n}\right) .
?
Примечание.
?

Продолжение задачи 67.

Задача 6.70

Пусть x0,x1,x2,…,xnx_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} — произвольные целые числа, x0<x1<x2<…<xnx_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}. Показать, что каждый полином nn-й степени вида

xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots +a_{n}

принимает в точках x0,x1,x2,…,xnx_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} значения, из которых по крайней мере одно по абсолютной величине больше или равно n!2n\frac{n!}{2^{n}}.

?
Задача 6.71

Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома Tn(x)T_{n}(x) [1], т. е. числа

xν=cos⁡(2ν−1)π2n(ν=1,2,…,n). x_{\nu }=\cos (2 \nu -1) \frac{\pi }{2 n} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Тогда фундаментальные полиномы будут

fν(x)=(−1)ν−11−xν2nTn(x)x−xν(ν=1,2,…,n). f_{\nu }(x)=\frac{(-1)^{\nu -1} \sqrt{1-x_{\nu }^{2}}}{n} \frac{T_{n}(x)}{x-x_{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Таким образом, каждый полином (n−1)(n-1)-й степени P(x)P(x) может быть представлен в форме

P(x)=1n∑ν=1n(−1)ν−11−xν2P(xν)Tn(x)x−xν. P(x)=\frac{1}{n} \sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu -1} \sqrt{1-x_{\nu }^{2}} P\left(x_{\nu }\right) \frac{T_{n}(x)}{x-x_{\nu }} .
?
Задача 6.72

Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома Un(x)U_{n}(x) [1], т. е. числа

xν=cos⁡νπn+1(ν=1,2,…,n). x_{\nu }=\cos \nu \frac{\pi }{n+1} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Тогда фундаментальные полиномы будут

fν(x)=(−1)ν−11−xν2n+1Un(x)x−xν(ν=1,2,…,n). f_{\nu }(x)=(-1)^{\nu -1} \frac{1-x_{\nu }^{2}}{n+1} \frac{U_{n}(x)}{x-x_{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Таким образом, каждый полином (n−1)(n-1)-й степени P(x)P(x) может быть представлен в форме

P(x)=1n+1∑ν=1n(−1)ν−1(1−xν2)P(xν)Un(x)x−xν. P(x)=\frac{1}{n+1} \sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu -1}\left(1-x_{\nu }^{2}\right) P\left(x_{\nu }\right) \frac{U_{n}(x)}{x-x_{\nu }} .
?
Задача 6.73

Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома Un−1(x)(x2−1)U_{n-1}(x)\left(x^{2}-1\right), т. е. числа xν=cos⁡νπnx_{\nu }=\cos \nu \frac{\pi }{n} (ν=1,2,…,n−1)(\nu =1,2, \ldots , n-1), а также точки x0=1,xn=−1x_{0}=1, x_{n}=-1. Тогда фундаментальные полиномы будут

fν(x)=(−1)νnUn−1(x)(x2−1)x−xν(ν=1,2,…,n−1),f0(x)=12nUn−1(x)(x+1),fn(x)=(−1)n2nUn−1(x)(x−1). \begin{aligned} & f_{\nu }(x)=\frac{(-1)^{\nu }}{n} \frac{U_{n-1}(x)\left(x^{2}-1\right)}{x-x_{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n-1), \\ & f_{0}(x)=\frac{1}{2 n} U_{n-1}(x)(x+1), \\ & f_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2 n} U_{n-1}(x)(x-1) . \end{aligned}

Таким образом, каждый полином nn-й степени P(x)P(x) может быть представлен в форме

\begin{aligned} P(x)=\frac{1}{2 n} U_{n-1}(x)\left[P(1)(x+1)+ & (-1)^{n} P(-1)(x-1)\right]+ \\ & +\frac{1}{n} \sum _{\nu =1}^{n-1}(-1)^{\nu } P\left(x_{\nu }\right) \frac{U_{n-1}(x)\left(x^{2}-1\right)}{x-x_{\nu }} . \end{aligned}
?
Примечание.
?

См. I. Schur, Math. Zeitschr., т. 4, стр. 273—274, 1919.

Задача 6.74

Возьмем в качестве точек интерполирования корни nn-й степени из единицы εν=e2πiνn\varepsilon_{\nu }=e^{\frac{2 \pi i \nu }{n}} (ν=1,2,…,n)(\nu =1,2, \ldots , n). Тогда фундаментальные полиномы будут

fν(x)=ενnxn−1x−εν(ν=1,2,…,n). f_{\nu }(x)=\frac{\varepsilon _{\nu }}{n} \frac{x^{n}-1}{x-\varepsilon _{\nu }} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Таким образом, для любого полинома P(x)P(x) степени n−1n-1 имеет место разложение

P(x)=1n∑ν=1nενP(εν)xn−1x−εν. P(x)=\frac{1}{n} \sum _{\nu =1}^{n} \varepsilon _{\nu } P\left(\varepsilon _{\nu }\right) \frac{x^{n}-1}{x-\varepsilon _{\nu }} .
?
Задача 6.75

Пусть полиномы P(x)P(x) и Q(x)Q(x) оба nn-й степени и x0,x1,x2,…,xnx_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} — произвольные n+1n+1 отличных друг от друга или частично совпадающих вещественных или комплексных чисел. Показать, что из n+1n+1 уравнения

P(x0)=Q(x0),P′(x1)=Q′(x1),P′′(x2)=Q′′(x2),……,P(n)(xn)=Q(n)(xn) \begin{aligned} P\left(x_{0}\right)=Q\left(x_{0}\right), P^{\prime }\left(x_{1}\right)=Q^{\prime }\left(x_{1}\right), P^{\prime \prime }\left(x_{2}\right)=Q^{\prime \prime }\left(x_{2}\right) & , \ldots \\ & \ldots , P^{(n)}\left(x_{n}\right)=Q^{(n)}\left(x_{n}\right) \end{aligned}

вытекает тождественно

P(x)=Q(x). P(x)=Q(x) .
?
Задача 6.76

Для любых n+1n+1 чисел c0,c1,c2,…,cnc_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n} возможно и притом единственным образом построить полином P(x)P(x) степени ⩽n\leqslant n, удовлетворяющий условиям

P(0)=c0,P′(1)=c1,P′′(2)=c2,…,P(n)(n)=cn P(0)=c_{0}, P^{\prime }(1)=c_{1}, P^{\prime \prime }(2)=c_{2}, \ldots , P^{(n)}(n)=c_{n}

[75]. Показать, что этот полином P(x)P(x) может быть представлен в форме

P(x)=P(0)A0(x)+P′(1)A1(x)+P′′(2)A2(x)+…+P(n)(n)An(x), P(x)=P(0) A_{0}(x)+P^{\prime }(1) A_{1}(x)+P^{\prime \prime }(2) A_{2}(x)+\ldots +P^{(n)}(n) A_{n}(x),

где

A0(x),A1(x),…,An(x) A_{0}(x), A_{1}(x), \ldots , A_{n}(x)

представляют собой численно вполне определенные, не зависящие от произвольно заданных значений

c0=P(0),c1=P′(1),…,cn=P(n)(n) c_{0}=P(0), c_{1}=P^{\prime }(1), \ldots , c_{n}=P^{(n)}(n)

полиномы (в известном смысле «фундаментальные полиномы» этой, существенно отличной от лагранжевой, интерполяции).

?
Примечание.
?

G. H. Halphen, Oeuvres, т. 2, стр. 520, Paris, Gauthier-Villars, 1918.