Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова

Для совокупности полиномов $(n-1)$-й степени

удовлетворяющих в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ неравенству

наибольшее значение, которое может принимать коэффициент $\left|a_{0}\right|$, равно $2^{n-1}$, т. е.

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $P(x)=\gamma U_{n-1}(x)$, где $\left|\gamma \right|=1$. [71.]

Получить из 73 новое доказательство теоремы 62.

Получить из 74 новое доказательство теоремы 65.

Рассмотрим все полиномы $(n-1)$-й степени $P(x)$, удовлетворяющие в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ неравенству

Показать, что в этом интервале

Равенство достигается лишь для $P(x)=\gamma U_{n-1}(x)$, где $\left|\gamma \right|=1$, и при $x= \pm 1$.

Доказать следующее обобщение второго неравенства задачи 7. Пусть

— любой полином $n$-го порядка по синусам с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий неравенству

Тогда

Равенство достигается только для $S(\vartheta )= \pm \sin n \vartheta$.

Пусть тригонометрический полином $n$-го порядка с вещественными коэффициентами

удовлетворяет при всех вещественных значениях $\vartheta$ неравенству

Тогда

Пусть полином $n$-й степени $P(x)$ удовлетворяет в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ неравенству $\left|P(x)\right| \leqslant 1$. Тогда

Равенство достигается только для $P(x)=\gamma T_{n}(x)$, $\left|\gamma \right|=1$, $x= \pm 1$.