6.1

Многочлены Чебышёва

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача 6.1

Все нули полиномов Tn(x)T_{n}(x) и Un(x)U_{n}(x) — вещественные, отличны друг от друга и лежат внутри интервала [−1,1]\left[-1,1\right]. Определить эти нули.

?
Задача 6.2

Доказать соотношения

Tn+1(x)=xTn(x)−(1−x2)Un−1(x),Un(x)=xUn−1(x)+Tn(x)}(n=1,2,3,…). \left.\begin{array}{l} T_{n+1}(x)=x T_{n}(x)-\left(1-x^{2}\right) U_{n-1}(x), \\ U_{n}(x)=x U_{n-1}(x)+T_{n}(x) \end{array}\right\} \quad (n=1,2,3, \ldots ) .
?
Задача 6.3

Показать, что полиномы Tn(x)T_{n}(x) и Un(x)U_{n}(x) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

(1−x2)Tn′′(x)−xTn′(x)+n2Tn(x)=0,(1−x2)Un′′(x)−3xUn′(x)+n(n+2)Un(x)=0. \begin{gathered} \left(1-x^{2}\right) T_{n}^{\prime \prime }(x)-x T_{n}^{\prime }(x)+n^{2} T_{n}(x)=0, \\ \left(1-x^{2}\right) U_{n}^{\prime \prime }(x)-3 x U_{n}^{\prime }(x)+n(n+2) U_{n}(x)=0 . \end{gathered}
?
Задача 6.4

Показать, что Tn(x)T_{n}(x) и Un(x)U_{n}(x) удовлетворяют соотношениям ортогональности

∫−1111−x2Tm(x)Tn(x)dx=0,∫−111−x2Um(x)Un(x)dx=0}(m,n=0,1,2,…;m≠n). \left.\begin{array}{l} \int _{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} T_{m}(x) T_{n}(x) d x=0, \\ \int _{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} U_{m}(x) U_{n}(x) d x=0 \end{array}\right\} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ; m \neq n) .

Вычислить эти интегралы при m=nm=n.

?
Задача 6.5

Показать, что

Tn(x)1−x2=(−1)n1⋅3⋅5…(2n−1)dndxn(1−x2)n−12,1−x2Un(x)=(−1)n(n+1)1⋅3⋅5…(2n+1)dndxn(1−x2)n+12. \begin{gathered} \frac{T_{n}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{(-1)^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}, \\ \sqrt{1-x^{2}} U_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n+1)} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n+\frac{1}{2}} . \end{gathered}
?
Задача 6.6

Показать, что если f(x)f(x) имеет в интервале −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 непрерывную nn-ю производную, то

∫0πf(cos⁡ϑ)cos⁡nϑdϑ=11⋅3⋅5⋯(2n−1)∫0πf(n)(cos⁡ϑ)sin⁡2nϑdϑ. \int _{0}^{\pi } f(\cos \vartheta ) \cos n \vartheta d \vartheta =\frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2 n-1)} \int _{0}^{\pi } f^{(n)}(\cos \vartheta ) \sin ^{2 n} \vartheta d \vartheta .
?
Примечание.
?

C. G. J. Jacobi, J. für Math., т. 15, стр. 3, 1836.

Задача 6.7

Показать, что при n=1,2,3,…n=1,2,3, \ldots, −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1, имеют место неравенства

∣Tn(x)∣⩽1,∣Un(x)∣⩽n+1. \left|T_{n}(x)\right| \leqslant 1, \quad \left|U_{n}(x)\right| \leqslant n+1 .

В первом из них равенство достигается ровно в n+1n+1 точке, а именно в n−1n-1 нулях полинома Un−1(x)U_{n-1}(x) и, кроме того, на концах, т. е. для x=−1x=-1 и x=1x=1. Во втором равенство достигается только на концах.

?