6.3

Некоторые специальные тригонометрические многочлены

[13/100%]
Показать
LaTeX
Задача 6.16
12+cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ=sin⁡2n+12ϑ2sin⁡ϑ2,cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ+cos⁡3ϑ+…+cos⁡nϑ=sin⁡n2ϑcos⁡n+12ϑsin⁡ϑ2,cos⁡ϑ+cos⁡3ϑ+cos⁡5ϑ+…+cos⁡(2n−1)ϑ=sin⁡2nϑ2sin⁡ϑ,sin⁡ϑ+sin⁡2ϑ+sin⁡3ϑ+…+sin⁡nϑ=sin⁡n2ϑsin⁡n+12ϑsin⁡ϑ2. \begin{aligned} & \frac{1}{2}+\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{\sin \frac{2 n+1}{2} \vartheta }{2 \sin \frac{\vartheta }{2}}, \\ & \cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\cos 3 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{\sin \frac{n}{2} \vartheta \cos \frac{n+1}{2} \vartheta }{\sin \frac{\vartheta }{2}}, \\ & \cos \vartheta +\cos 3 \vartheta +\cos 5 \vartheta +\ldots +\cos (2 n-1) \vartheta =\frac{\sin 2 n \vartheta }{2 \sin \vartheta }, \\ & \sin \vartheta +\sin 2 \vartheta +\sin 3 \vartheta +\ldots +\sin n \vartheta =\frac{\sin \frac{n}{2} \vartheta \sin \frac{n+1}{2} \vartheta }{\sin \frac{\vartheta }{2}} . \end{aligned}
?
Задача 6.17
sin⁡ϑsin⁡ϑ+sin⁡3ϑsin⁡ϑ+sin⁡5ϑsin⁡ϑ+…+sin⁡(2n−1)ϑsin⁡ϑ=(sin⁡nϑsin⁡ϑ)2. \frac{\sin \vartheta }{\sin \vartheta }+\frac{\sin 3 \vartheta }{\sin \vartheta }+\frac{\sin 5 \vartheta }{\sin \vartheta }+\ldots +\frac{\sin (2 n-1) \vartheta }{\sin \vartheta }=\left(\frac{\sin n \vartheta }{\sin \vartheta }\right)^{2} .

Что отсюда вытекает при ϑ=0\vartheta =0?

?
Задача 6.18
n+12+ncos⁡ϑ+(n−1)cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ=12(sin⁡(n+1)ϑ2sin⁡ϑ2)2. \frac{n+1}{2}+n \cos \vartheta +(n-1) \cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin (n+1) \frac{\vartheta }{2}}{\sin \frac{\vartheta }{2}}\right)^{2} .
?
Задача 6.19

Определить нули тригонометрических полиномов

12+cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ,cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ,cos⁡ϑ+cos⁡3ϑ+cos⁡5ϑ+…+cos⁡(2n−1)ϑ,sin⁡ϑ+sin⁡2ϑ+…+sin⁡nϑ,sin⁡ϑ+sin⁡3ϑ+…+sin⁡(2n−1)ϑ,n+12+ncos⁡ϑ+(n−1)cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ. \begin{gathered} \frac{1}{2}+\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta , \\ \cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta , \\ \cos \vartheta +\cos 3 \vartheta +\cos 5 \vartheta +\ldots +\cos (2 n-1) \vartheta , \\ \sin \vartheta +\sin 2 \vartheta +\ldots +\sin n \vartheta , \\ \sin \vartheta +\sin 3 \vartheta +\ldots +\sin (2 n-1) \vartheta , \\ \frac{n+1}{2}+n \cos \vartheta +(n-1) \cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta . \end{gathered}
?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Задача 6.20

Доказать тождество

cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ=12sin⁡(n+1)ϑctg⁡ϑ2−cos⁡2n+12ϑ. \cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta =\frac{1}{2} \sin (n+1) \vartheta \operatorname {ctg} \frac{\vartheta }{2}-\cos ^{2} \frac{n+1}{2} \vartheta .
?
Задача 6.21

Показать, что сумма

sin⁡ϑ+sin⁡2ϑ+…+sin⁡nϑ+sin⁡(n+1)ϑ2 \sin \vartheta +\sin 2 \vartheta +\ldots +\sin n \vartheta +\frac{\sin (n+1) \vartheta }{2}

неотрицательна при 0⩽ϑ⩽π0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi.

?
Задача 6.22

Средние арифметические отрезков ряда

12+cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ+…+cos⁡nϑ+… \frac{1}{2}+\cos \vartheta +\cos 2 \vartheta +\ldots +\cos n \vartheta +\ldots

неотрицательны при всех значениях ϑ\vartheta и с возрастанием nn равномерно стремятся к нулю во всяком интервале ε⩽ϑ⩽2π−ε\varepsilon \leqslant \vartheta \leqslant 2 \pi -\varepsilon (ε>0)(\varepsilon >0).

?
Примечание.
?

L. Fejér, Math. Ann., т. 58, стр. 53, 1903.

Задача 6.23

Тригонометрический полином

A(n,ϑ)=sin⁡ϑ+sin⁡2ϑ2+sin⁡3ϑ3+…+sin⁡nϑn A(n, \vartheta )=\sin \vartheta +\frac{\sin 2 \vartheta }{2}+\frac{\sin 3 \vartheta }{3}+\ldots +\frac{\sin n \vartheta }{n}

в интервале 0⩽ϑ⩽π0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi имеет максимумы в точках

πn+1,3πn+1,5πn+1,…,(2q−1)πn+1(q=[n+12]) \frac{\pi }{n+1}, 3 \frac{\pi }{n+1}, 5 \frac{\pi }{n+1}, \ldots ,(2 q-1) \frac{\pi }{n+1} \quad \left(q=\left[\frac{n+1}{2}\right]\right)

(и только в них) и минимумы в точках

2πn,22πn,32πn,…,(q−1)2πn \frac{2 \pi }{n}, 2 \frac{2 \pi }{n}, 3 \frac{2 \pi }{n}, \ldots ,(q-1) \frac{2 \pi }{n}

(и только в них).

?
Примечание.
?

См. T. H. Gronwall, Math. Ann., т. 72, стр. 229—230, 1912.

Задача 6.24

Максимумы полинома A(n,ϑ)A(n, \vartheta ) в интервале 0⩽ϑ⩽π0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi монотонно убывают, так что абсолютный максимум для всего интервала 0⩽ϑ⩽π0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi равен A(n,πn+1)A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right). [20.]

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 23. D. Jackson, Rend. Palermo, т. 32, стр. 257—258, 1911; T. H. Gronwall, l. c. 23, стр. 231; равенство Max⁡A(n,ϑ)=A(n,πn+1)\operatorname {Max} A(n, \vartheta )=A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right) было найдено L. Fejér'ом, см. D. Jackson, l. c.

Задача 6.25

С возрастанием nn максимум A(n,πn+1)A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right) монотонно возрастает, причем

lim⁡n→∞A(n,πn+1)=∫0πsin⁡ϑϑdϑ=1,8519… \lim _{n \rightarrow \infty } A\left(n, \frac{\pi }{n+1}\right)=\int _{0}^{\pi } \frac{\sin \vartheta }{\vartheta } d \vartheta =1,8519 \ldots
?
Примечание.
?

Продолжение задачи 23. L. Fejér; см. D. Jackson, l. c. 24, стр. 259; T. H. Gronwall, l. c. 23, стр. 233.

Задача 6.26

Тригонометрический полином

B(n,ϑ)=cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ2+cos⁡3ϑ3+…+cos⁡nϑn B(n, \vartheta )=\cos \vartheta +\frac{\cos 2 \vartheta }{2}+\frac{\cos 3 \vartheta }{3}+\ldots +\frac{\cos n \vartheta }{n}

в интервале 0⩽ϑ⩽π0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi имеет максимумы в точках

0,2πn,22πn,…,p2πn(p=[n2]) 0, \frac{2 \pi }{n}, 2 \frac{2 \pi }{n}, \ldots , p \frac{2 \pi }{n} \quad \left(p=\left[\frac{n}{2}\right]\right)

(и только в них) и минимумы в точках

2πn+1,22πn+1,32πn+1,…,q2πn+1(q=[n+12]) \frac{2 \pi }{n+1}, 2 \frac{2 \pi }{n+1}, 3 \frac{2 \pi }{n+1}, \ldots , q \frac{2 \pi }{n+1} \quad \left(q=\left[\frac{n+1}{2}\right]\right)

(и только в них).

?
Примечание.
?

W. H. Young, Proc. Lond. M. S. (2), т. 11, стр. 359, 1913.

Задача 6.27

Наименьшее значение полином B(n,ϑ)B(n, \vartheta ) принимает при

ϑ=[n+12]2πn+1. \vartheta =\left[\frac{n+1}{2}\right] \frac{2 \pi }{n+1} .

[21.]

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 26. W. H. Young, l. c. 26.

Задача 6.28

При всех значениях nn и ϑ\vartheta

B(n,ϑ)=cos⁡ϑ+cos⁡2ϑ2+cos⁡3ϑ3+…+cos⁡nϑn⩾−1. B(n, \vartheta )=\cos \vartheta +\frac{\cos 2 \vartheta }{2}+\frac{\cos 3 \vartheta }{3}+\ldots +\frac{\cos n \vartheta }{n} \geqslant -1 .
?
Примечание.
?

W. H. Young, l. c. 26.