Банк задач по математике

Задача 6.39

Пусть $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — произвольные комплексные числа $\left(x_{0} \neq 0, x_{n} \neq 0\right)$ и $\vartheta$ вещественно. Показать, что

\left|x_{0}+x_{1} z+x_{2} z^{2}+\ldots +x_{n} z^{n}\right|^{2} \quad \left(z=e^{i \vartheta }\right)

представляет неотрицательный тригонометрический полином в точности $n$ -го порядка. Вычислить его коэффициенты.

?

Задача 6.40

Всякий тригонометрический полином $n$ -го порядка

\begin{aligned} g(\vartheta )=\lambda _{0}+\lambda _{1} \cos \vartheta +\mu _{1} \sin \vartheta +\lambda _{2} \cos 2 \vartheta + & \mu _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ & \ldots +\lambda _{n} \cos n \vartheta +\mu _{n} \sin n \vartheta , \end{aligned}

принимающий лишь неотрицательные значения, может быть представлен в форме

g(\vartheta )=\left|h(z)\right|^{2} \quad \left(z=e^{i \vartheta }\right),

где $h(z)=x_{0}+x_{1} z+x_{2} z^{2}+\ldots +x_{n} z^{n}$ — некоторый полином $n$ -й степени и $\vartheta$ вещественно.

?

Примечание.

?

F. Riesz, см. L. Fejér, J. für Math., т. 146, стр. 53—82, 1916.

Задача 6.41

Всякий неотрицательный полином по косинусам может быть представлен в виде

g(\vartheta )=\left|h(z)\right|^{2} \quad \left(z=e^{i \vartheta }\right),

где $h(z)=x_{0}+x_{1} z+x_{2} z^{2}+\ldots +x_{n} z^{n}$ — полином с вещественными коэффициентами и $\vartheta$ вещественно.

?

Задача 6.42

Показать, что указанное в задаче 40 представление неотрицательного тригонометрического полинома возможно, вообще говоря, несколькими способами.

?

Задача 6.43

(1)(2)

Показать, что в задаче 40 среди всех полиномов $h(z)$ можно выбрать обладающий следующими свойствами:

?

(1)

при $\left|z\right|<1$ $h(z)$ отличен от нуля;

(2)

$h(0)$ — положительное вещественное число.

Предполагается, что $g(\vartheta ) \not\equiv 0$ .

Действительные неотрицательные тригонометрические многочлены