Многочлены Лежандра и смежные вопросы

Показать, что $P_{n}(x)$ с точностью до постоянного множителя равен $n$-й производной от $\left(x^{2}-1\right)^{n}$:

(формула Родрига).

Полином $P_{n}(x)$ может быть представлен в интегральной форме

(формула Лапласа).

Между тремя последовательными полиномами Лежандра существует рекуррентное соотношение

Существует единственный полином $n$-й степени $S_{n}(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношению

для всех полиномов $n$-й степени $K(x)$. Представить $S_{n}(x)$ и $(1-x) S_{n}(x)$ в виде линейной комбинации полиномов Лежандра.

Полиномы

удовлетворяют соотношениям ортогональности

Показать, что $P_{n}(x)$ удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка

Для достаточно малого $\omega$ имеет место разложение в степенной ряд

(«производящий ряд» для полиномов Лежандра).

Вывести 84, 86, 87, 90 непосредственно из 91.

Показать, что $P_{n}(\cos \vartheta )$ представляет собой полином по косинусам с неотрицательными коэффициентами. Определить эти коэффициенты. Вывести отсюда неравенство

Если $n>0$, равенство достигается лишь при $x=1$ или $x=-1$.

При $x>1$ последовательность

монотонно возрастает.

Сумма $n$ первых полиномов Лежандра неотрицательна в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$:

Равенство достигается лишь когда $n$ нечетно и $x=-1$. [III 157.]

При четном $n$ сумма $n$ первых полиномов Лежандра

положительна при всех значениях $x$. При $n$ нечетном эта сумма имеет в точке $x=-1$ единственное изменение знака. [94.]

Показать, что $n$-й полином Лежандра $P_{n}(x)$ имеет лишь вещественные и притом простые нули; все эти нули лежат внутри интервала $\left[-1,1\right]$. [II 140.]

Обобщить теоремы 84—91, 97 на полиномы Якоби (гипергеометрические полиномы)

определяемые следующими условиями:

1. $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ есть полином $n$-й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям

   $$\begin{aligned} & \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta } P_{m}^{(\alpha , \beta )}(x) P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x) d x= \\ & \quad = \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \frac{2^{\alpha +\beta +1}}{2 n+\alpha +\beta +1} \frac{\Gamma (n+\alpha +1) \Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\alpha +\beta +1)}, & \text{ если } m=n \end{cases} \\ & (m, n=0,1,2, \ldots ) \end{aligned}$$

   (при $n=0$ последнее выражение должно быть заменено следующим: $2^{\alpha +\beta +1} \frac{\Gamma (\alpha +1) \Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +2)}$).

2. Коэффициент при $x^{n}$ полинома $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ положителен. При некоторых специальных значениях $\alpha , \beta$ эти полиномы приводятся к уже известным полиномам $P_{n}(x)$, $S_{n}(x)$, $T_{n}(x)$ и $U_{n}(x)$. Именно при

[См. стр. 102, 89, 4, 4.] (Коэффициент при $T_{n}(x)$ в случае $n=0$ заменить на 1.)

Распространить теоремы 84, 85, 87—91, 97 на обобщенные полиномы Лагерра

определяемые следующими условиями:

1. $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ есть полином $n$-й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям

   $$\begin{aligned} & \int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha } L_{m}^{(\alpha )}(x) L_{n}^{(\alpha )}(x) d x= \\ & \quad = \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \Gamma (\alpha +1)\binom {n+\alpha }{n}, & \text{ если } m=n \end{cases} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ) . \end{aligned}$$

2. Коэффициент при $x^{n}$ в полиноме $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ имеет знак $(-1)^{n}$.

Доказать теоремы, аналогичные 84, 87, 88, 90, 91, 97, для полиномов Эрмита

определяемых следующими условиями:

1. $H_{n}(x)$ — полином $n$-й степени с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям

   $$\int _{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{x^{2}}{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) d x= \begin{cases} 0, & \text{ если } m \neq n, \\ \frac{\sqrt{2 \pi }}{n!}, & \text{ если } m=n \end{cases} \quad (m, n=0,1,2, \ldots ) .$$

2. Коэффициент при $x^{n}$ в полиноме $H_{n}(x)$ имеет знак $(-1)^{n}$.

Для определенных в 98 и 99 функций $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ и $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ имеет место предельное соотношение

где $\varepsilon$ при возрастании $\beta$ стремится к нулю таким образом, что

Определенные в 99 и 100 функции $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ и $H_{n}(x)$ связаны между собой соотношениями