Алгебра

Пусть $G$ — совокупность вещественных матриц $2\times 2$ с ненулевым определителем. Определим произведение двух элементов из $G$ как обычное матричное произведение.

Пусть $G$ — множество вещественных матриц $3 \times 3$ с нулями под диагональю и единицами на диагонали.

Для каждого из следующих пунктов либо приведите пример, либо докажите, что такой пример невозможен.

Пусть $R$ — кольцо с мультипликативной единицей 1. Назовём $x \in R$ обратимым элементом, если $xy = yx = 1$ для некоторого $y \in R$. Пусть $G(R)$ обозначает множество обратимых элементов.

В треугольной сети в $\mathbb {R}^{2}$, изображённой ниже, точки $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ и $P_{3}$ — это соответственно $(0,0), (1,0), (0,1)$ и $(1,1)$. Опишите структуру группы всех евклидовых преобразований $\mathbb {R}^{2}$, оставляющих эту сеть инвариантной.

{#fig-1 width="50%"}

Образует ли множество $G = \{ a \in \mathbb {R} \mid a > 0, a \neq 1\}$ группу относительно операции $a * b = a^{\log b}$?

Пусть $G$ — конечная группа. Классом сопряжённости называется множество вида

для некоторого $a \in G$.

Пусть $G$ — конечная нетривиальная группа со следующим свойством: для любых двух элементов $a$ и $b$ из $G$, отличных от единицы, существует элемент $c$ из $G$ такой, что $b = c^{-1}ac$. Докажите, что $G$ имеет порядок 2.

Пусть $G$ — конечная группа с единицей $e$. Предположим, что для всех $a, b \in G$, отличных от $e$, существует автоморфизм $\sigma$ группы $G$ такой, что $\sigma (a) = b$. Докажите, что $G$ абелева.

Для $p$-группы порядка $p^{4}$ предположим, что центр $G$ имеет порядок $p^{2}$. Определите число классов сопряжённости $G$.

В коммутативной группе $G$ пусть элемент $a$ имеет порядок $r$, пусть $b$ имеет порядок $s$ ($r, s < \infty$), и предположим, что наибольший общий делитель $r$ и $s$ равен 1. Покажите, что $ab$ имеет порядок $rs$.

Пусть $G$ — группа. Для любого подмножества $X$ группы $G$ определим его централизатор $C(X)$ как $\{ y \in G \mid xy = yx, \text{ для всех } x \in X\}$. Докажите следующее:

Пусть $D$ — группа порядка $2n$, где $n$ нечётно, с подгруппой $H$ порядка $n$, удовлетворяющей $xhx^{-1} = h^{-1}$ для всех $h$ из $H$ и всех $x$ из $D \setminus H$. Докажите, что $H$ коммутативна и что каждый элемент $D \setminus H$ имеет порядок 2.

Сколько существует гомоморфизмов из группы $\mathbb {Z}_{2} \times \mathbb {Z}_{2}$ в симметрическую группу на трёх объектах?

Множество комплексных матриц $A$ размера $5 \times 5$, удовлетворяющих $A^{3} = A^{2}$, является объединением классов сопряжённости. Сколько классов сопряжённости?

Пусть $\mathbb {C}^{*}$ — мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел. Предположим, что $H$ — подгруппа конечного индекса в $\mathbb {C}^{*}$. Докажите, что $H = \mathbb {C}^{*}$.

Пусть $G$ — конечная группа и $H \subset G$ — подгруппа.

Докажите, что группа автоморфизмов циклической группы простого порядка $p$ циклическая, и найдите её порядок.

Пусть $G$ — конечная группа, и пусть $\varphi$ — автоморфизм $G$, оставляющий неподвижным только единичный элемент $G$.

Докажите, что каждая конечная группа порядка $> 2$ имеет нетривиальный автоморфизм.

Пусть $A$ — абелева группа с аддитивной записью, и $u, v : A \to A$ — гомоморфизмы. Определим групповые гомоморфизмы $f, g : A \to A$ как

Докажите, что ядро $f$ изоморфно ядру $g$.

Пусть $G$ — аддитивная группа, и $u, v : G \to G$ — гомоморфизмы. Покажите, что отображение $f : G \to G$, $f(x) = x - v(u(x))$ сюръективно, если отображение $h : G \to G$, $h(x) = x - u(v(x))$ сюръективно.

Пусть $H$ — группа целых чисел по модулю $p$ относительно сложения, где $p$ — простое число. Предположим, что $n$ — целое число, удовлетворяющее $1 \leq n \leq p$, и пусть $G$ — группа $H \times H \times \cdots \times H$ ($n$ сомножителей). Покажите, что $G$ не имеет автоморфизма порядка $p^{2}$.

Пусть $G$ — группа и $H$ — подгруппа индекса $n < \infty$. Докажите или опровергните следующие утверждения:

Найдите все автоморфизмы аддитивной группы рациональных чисел.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа такие, что подгруппа $\Gamma$ группы $\mathbb {R}$, порождённая $\alpha$ и $\beta$, замкнута. Докажите, что $\alpha$ и $\beta$ линейно зависимы над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что группа $G = \mathbb {Q}/\mathbb {Z}$ не имеет собственной подгруппы конечного индекса.

Пусть $A$ — группа рациональных чисел относительно сложения, и пусть $M$ — группа положительных рациональных чисел относительно умножения. Определите все гомоморфизмы $\varphi : A \to M$.

Предположим, что $H_{1}$ и $H_{2}$ — различные подгруппы группы $G$ такие, что $[G:H_{1}] = [G:H_{2}] = 3$. Каковы возможные значения $[G:H_{1} \cap H_{2}]$?

Пусть $G$ — группа, и $H$ и $K$ — подгруппы такие, что $H$ имеет конечный индекс в $G$. Докажите, что $K \cap H$ имеет конечный индекс в $K$.

Предположим, что группа $G$ имеет нетривиальную подгруппу $H$, которая содержится в каждой нетривиальной подгруппе $G$. Докажите, что $H$ содержится в центре $G$.

Покажите, что для каждого положительного целого $k$ существует положительное целое $N$ такое, что существует не менее $k$ неизоморфных групп порядка $N$.

Пусть $G$ — группа, порождённая $n$ элементами. Найдите верхнюю оценку $N(n,k)$ для числа подгрупп $H$ группы $G$ с индексом $[G:H] = k$.

Пусть $G$ — группа $\mathbb {Q}/\mathbb {Z}$. Покажите, что для каждого положительного целого $t$ группа $G$ имеет единственную циклическую подгруппу порядка $t$.

Покажите, что группа $G$ изоморфна подгруппе аддитивной группы рациональных чисел тогда и только тогда, когда $G$ счётна и каждое конечное подмножество $G$ содержится в бесконечной циклической подгруппе $G$.

Докажите, что любая группа порядка 77 циклическая.

Пусть $G$ — группа порядка $2p$, где $p$ — нечётное простое число. Предположим, что $G$ имеет нормальную подгруппу порядка 2. Докажите, что $G$ циклическая.

Конечная абелева группа $G$ обладает свойством, что для каждого положительного целого $n$ множество $\{ x \in G \mid x^{n} = 1\}$ содержит не более $n$ элементов. Докажите, что $G$ циклическая, и выведите отсюда, что мультипликативная группа любого конечного поля циклическая.

Пусть $G$ — конечная группа порядка $n$ со свойством, что для каждого делителя $d$ числа $n$ существует не более одной подгруппы $G$ порядка $d$. Покажите, что $G$ циклическая.

Пусть $H$ — подгруппа конечной группы $G$.

Пусть $G$ — группа ортогональных преобразований $\mathbb {R}^{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$ с определителем 1. Пусть $v \in \mathbb {R}^{3}$, $\left|v\right| = 1$, и пусть $H_{v} = \{ T \in G \mid Tv = v\}$.

Покажите, что если подгруппа $H$ группы $G$ имеет ровно один левый смежный класс, отличный от неё самой, то она является нормальной подгруппой $G$.

Пусть $G$ — группа порядка 120, пусть $H$ — подгруппа порядка 24, и предположим, что существует хотя бы один левый смежный класс $H$ (отличный от самой $H$), совпадающий с некоторым правым смежным классом $H$. Докажите, что $H$ — нормальная подгруппа $G$.

Пусть $G$ — группа порядка 112. Докажите, что $G$ имеет нетривиальную нормальную подгруппу.

Перечислите все группы порядка 6 с точностью до изоморфизма. Найдите группу порядка 120, содержащую в качестве подгруппы изоморфную копию каждой из них. Докажите, что ни одна группа порядка $< 120$ не обладает указанным свойством.

Для группы $G$ и подгруппы $H$ обозначим через $C(G,H)$ множество левых смежных классов $H$ в $G$. Докажите, что если $H$ и $K$ — две подгруппы группы $G$ бесконечного индекса, то $G$ не является конечным объединением смежных классов из $C(G,H) \cup C(G,K)$.

Пусть

Пусть $\mathbb {Z}^{2}$ — группа целочисленных точек плоскости (упорядоченных пар целых чисел с покоординатным сложением в качестве групповой операции). Пусть $H_{1}$ — подгруппа, порождённая двумя элементами $(1,2)$ и $(4,1)$, а $H_{2}$ — подгруппа, порождённая двумя элементами $(3,2)$ и $(1,3)$. Изоморфны ли факторгруппы $G_{1} = \mathbb {Z}^{2}/H_{1}$ и $G_{2} = \mathbb {Z}^{2}/H_{2}$?

Пусть $G$ — группа порядка 10, имеющая нормальную подгруппу порядка 2. Докажите, что $G$ абелева.

Пусть $G$ — группа с тремя нормальными подгруппами $N_{1}$, $N_{2}$ и $N_{3}$. Предположим, что $N_{i} \cap N_{j} = \{ e\}$ и $N_{i}N_{j} = G$ для всех $i, j$ с $i \neq j$. Покажите, что $G$ абелева и $N_{i}$ изоморфна $N_{j}$ для всех $i, j$.

Предположим, что $H_{i}$ — нормальная подгруппа группы $G$ при $1 \leq i \leq k$, такая что $H_{i} \cap H_{j} = \{ 1\}$ при $i \neq j$. Докажите, что $G$ содержит подгруппу, изоморфную $H_{1} \times H_{2} \times \cdots \times H_{k}$, если $k = 2$, но не обязательно, если $k \geq 3$.

$G$ — группа порядка $n$, $H$ — собственная подгруппа порядка $m$, и $(n/m)! < 2n$. Докажите, что $G$ имеет собственную нормальную подгруппу, отличную от единичной.

Докажите, что если $G$ — группа, не содержащая подгруппы индекса 2, то любая подгруппа индекса 3 нормальна.

Предположим, что $G$ — неабелева простая группа, а $A$ — её группа автоморфизмов. Покажите, что $A$ содержит нормальную подгруппу, изоморфную $G$.

Пусть $G$ — группа, порядок которой равен удвоенному нечётному числу. Для $g$ из $G$ обозначим через $\lambda_{g}$ перестановку множества $G$, заданную формулой $\lambda_{g}(x) = gx$ для $x \in G$.

Пусть $G$ — группа, $G'$ — её коммутант, а $N$ — нормальная подгруппа группы $G$. Предположим, что $N$ циклическая. Докажите, что $gn = ng$ для всех $g \in G'$ и всех $n \in N$.

Пусть $G$ — группа, а $N$ — нормальная подгруппа группы $G$ с $N \neq G$. Предположим, что не существует подгруппы $H$ группы $G$, удовлетворяющей $N \subset H \subset G$ и $N \neq H \neq G$. Докажите, что индекс $N$ в $G$ конечен и равен простому числу.

Пусть $G$ — группа, имеющая подгруппу $A$ конечного индекса. Докажите, что существует нормальная подгруппа $N$ группы $G$, содержащаяся в $A$, такая что $N$ имеет конечный индекс в $G$.

Пусть $H$ — фактор абелевой группы $G$ по подгруппе $K$. Докажите или опровергните каждое из следующих утверждений:

Пусть $\mathbb {F}_{2} = \{ 0,1\}$ — поле из двух элементов. Пусть $G$ — группа обратимых матриц $2 \times 2$ с элементами из $\mathbb {F}_{2}$. Покажите, что $G$ изоморфна $S_{3}$, группе перестановок трёх объектов.

Пусть $S_{n}$ обозначает группу перестановок $n$ объектов. Найдите четыре различные подгруппы группы $S_{4}$, изоморфные $S_{3}$, и девять, изоморфных $S_{2}$.

Пусть $G$ — подгруппа группы $S_{5}$, группы всех перестановок пяти объектов. Докажите, что если $G$ содержит 5-цикл и 2-цикл, то $G = S_{5}$.

Пусть $G$ — подгруппа симметрической группы на шести объектах, $S_{6}$. Предположим, что $G$ имеет элемент порядка 6. Докажите, что $G$ имеет нормальную подгруппу $H$ индекса 2.

Пусть $S_{7}$ — группа перестановок множества из семи объектов. Найдите все $n$, для которых некоторый элемент $S_{7}$ имеет порядок $n$.

$S_{9}$ — группа перестановок 9 объектов.

Пусть $S_{9}$ обозначает группу перестановок девяти объектов, а $A_{9}$ — подгруппу, состоящую из всех чётных перестановок. Обозначим через $1 \in S_{9}$ тождественную перестановку. Определите минимум всех положительных целых чисел $m$ таких, что каждая $\sigma \in S_{9}$ удовлетворяет $\sigma^{m} = 1$. Определите также минимум всех положительных целых чисел $m$ таких, что каждая $\sigma \in A_{9}$ удовлетворяет $\sigma^{m} = 1$.

Пусть $S_{999}$ обозначает группу перестановок 999 объектов, и пусть $G \subset S_{999}$ — абелева подгруппа порядка 1111. Докажите, что существует $i \in \{ 1, \ldots , 999\}$ такое, что для всех $\sigma \in G$ выполняется $\sigma (i) = i$.

Докажите, что $S_{n}$, группа перестановок $\{ 1,2,\ldots ,n\}$, изоморфна подгруппе группы $A_{n+2}$, знакопеременной подгруппы группы $S_{n+2}$.

Пусть $S_{n}$ — группа всех перестановок $n$ объектов, и пусть $G$ — подгруппа группы $S_{n}$ порядка $p^{k}$, где $p$ — простое число, не делящее $n$. Покажите, что $G$ имеет неподвижную точку; то есть один из объектов остаётся неподвижным при действии каждого элемента $G$.

Пусть $G$ — подгруппа группы $S_{n}$, группы перестановок $n$ объектов. Предположим, что $G$ транзитивна, то есть для любых $x$ и $y$ из $S$ найдётся такой $\sigma \in G$, что $\sigma (x) = y$.

Пусть $G$ — транзитивная подгруппа группы $S_{n}$ перестановок $n$ объектов $\{ 1, \ldots , n\}$. Предположим, что $G$ — простая группа и что $\sim$ — отношение эквивалентности на $\{ 1, \ldots , n\}$, такое что $i \sim j$ влечёт $\sigma (i) \sim \sigma (j)$ для всех $\sigma \in G$. Что можно сказать об отношении $\sim$?

Пусть $D_{n}$ — диэдральная группа, группа жёстких движений правильного $n$-угольника ($n \geq 3$). (Это некоммутативная группа порядка $2n$.) Найдите её центр $Z = \{ c \in D_{n} \mid cx = xc \text{ для всех } x \in D_{n}\}$.

Сколько силовских 2-подгрупп имеет диэдральная группа $D_{n}$ порядка $2n$, когда $n$ нечётно?

Пусть $G$ — конечная группа, и пусть $G \times G$ имеет ровно четыре нормальные подгруппы. Докажите, что $G$ проста и неабелева.

Пусть $G$ — конечная простая группа порядка $n$. Найдите число нормальных подгрупп прямого произведения $G \times G$.

Докажите, что $\mathbb {Q}$, аддитивную группу рациональных чисел, нельзя представить в виде прямой суммы двух нетривиальных подгрупп.

Замечание: см. также задачи 6.3.1 и 6.7.2.

Пусть $A$, $B$ и $C$ — конечные абелевы группы, такие что $A \times B$ и $A \times C$ изоморфны. Докажите, что $B$ и $C$ изоморфны.

Пусть $G_{1}$, $G_{2}$ и $G_{3}$ — конечные группы, каждая из которых порождается своими коммутаторами (элементами вида $xyx^{-1}y^{-1}$). Пусть $A$ — подгруппа $G_{1} \times G_{2} \times G_{3}$, которая при естественном проектировании сюръективно отображается на частичные произведения $G_{1} \times G_{2}$, $G_{1} \times G_{3}$ и $G_{2} \times G_{3}$. Докажите, что $A$ равна $G_{1} \times G_{2} \times G_{3}$.

Пусть $A$ — подгруппа абелевой группы $B$. Предположим, что $A$ является прямым слагаемым $B$, то есть существует такая подгруппа $X$ группы $B$, что $A \cap X = 0$ и $B = X+A$. Пусть $C$ — подгруппа $B$, удовлетворяющая $A \subset C \subset B$. Обязательно ли $A$ является прямым слагаемым $C$?

Пусть $G$ и $H$ — конечные группы взаимно простых порядков. Докажите, что $\operatorname {Aut}(G \times H)$, группа автоморфизмов $G \times H$, изоморфна прямому произведению $\operatorname {Aut}(G)$ и $\operatorname {Aut}(H)$.

Пусть $p$ — простое число, и пусть $G$ — группа $\mathbb {Z}_{p^{2}} \times \mathbb {Z}_{p}$. Сколько автоморфизмов имеет $G$?

Пусть $\mathbb {Q}_{+}$ — мультипликативная группа положительных рациональных чисел.

Докажите, что аддитивная группа поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ не является конечно порождённой.

Замечание: см. также задачи 6.3.1 и 6.6.3.

Пусть $G$ — абелева группа, заданная образующими $x$, $y$, $z$ и соотношениями

Пусть группа $G$ порождена элементами $x$ и $y$, удовлетворяющими $x^{5}y^{3} = x^{8}y^{5} = 1$. Является ли $G$ тривиальной группой?

Пусть $G$ — группа с образующими $a$ и $b$, удовлетворяющими

Является ли $G$ тривиальной?

Пусть группа $G$ порождена двумя элементами $a$ и $b$, оба порядка 2. Докажите, что $G$ имеет подгруппу индекса 2.

Пусть $G_{n}$ — свободная группа с $n$ образующими. Покажите, что $G_{2}$ и $G_{3}$ не изоморфны.

Пусть $G$ — абелева группа, порождённая не более чем $n$ элементами. Покажите, что каждая подгруппа $G$ также порождена не более чем $n$ элементами.

Найдите все конечно порождённые абелевы группы $G$, имеющие лишь конечное число автоморфизмов.

Пусть $A$ — конечная абелева группа, а $m$ — максимум порядков элементов $A$. Положим $S = \{ a \in A \mid \left|a\right| = m\}$. Докажите, что $A$ порождается множеством $S$.

Перечислите, с точностью до изоморфизма, все конечные группы, порядок которых не превышает 5.

Покажите, что все группы порядка $\leq 5$ коммутативны. Приведите пример некоммутативной группы порядка 6.

Докажите, что любая группа порядка 6 изоморфна либо $\mathbb {Z}^{6}$, либо $S_3$ (группе перестановок трёх объектов).

Найдите все абелевы группы порядка 8 с точностью до изоморфизма. Затем определите, какой тип реализуется в каждом из следующих случаев:

Покажите, что существует по крайней мере две неизоморфные неабелевы группы порядка 24, порядка 30 и порядка 40.

Приведите список из восьми групп порядка 36 и докажите, что они попарно неизоморфны.

Докажите, что если $p$ простое, то любая группа порядка $p^2$ абелева.