Примеры групп и общая теория

Пусть $G$ — совокупность вещественных матриц $2\times 2$ с ненулевым определителем. Определим произведение двух элементов из $G$ как обычное матричное произведение.

Пусть $G$ — множество вещественных матриц $3 \times 3$ с нулями под диагональю и единицами на диагонали.

Для каждого из следующих пунктов либо приведите пример, либо докажите, что такой пример невозможен.

Пусть $R$ — кольцо с мультипликативной единицей 1. Назовём $x \in R$ обратимым элементом, если $xy = yx = 1$ для некоторого $y \in R$. Пусть $G(R)$ обозначает множество обратимых элементов.

В треугольной сети в $\mathbb {R}^{2}$, изображённой ниже, точки $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ и $P_{3}$ — это соответственно $(0,0), (1,0), (0,1)$ и $(1,1)$. Опишите структуру группы всех евклидовых преобразований $\mathbb {R}^{2}$, оставляющих эту сеть инвариантной.

{#fig-1 width="50%"}

Образует ли множество $G = \{ a \in \mathbb {R} \mid a > 0, a \neq 1\}$ группу относительно операции $a * b = a^{\log b}$?

Пусть $G$ — конечная группа. Классом сопряжённости называется множество вида

для некоторого $a \in G$.

Пусть $G$ — конечная нетривиальная группа со следующим свойством: для любых двух элементов $a$ и $b$ из $G$, отличных от единицы, существует элемент $c$ из $G$ такой, что $b = c^{-1}ac$. Докажите, что $G$ имеет порядок 2.

Пусть $G$ — конечная группа с единицей $e$. Предположим, что для всех $a, b \in G$, отличных от $e$, существует автоморфизм $\sigma$ группы $G$ такой, что $\sigma (a) = b$. Докажите, что $G$ абелева.

Для $p$-группы порядка $p^{4}$ предположим, что центр $G$ имеет порядок $p^{2}$. Определите число классов сопряжённости $G$.

В коммутативной группе $G$ пусть элемент $a$ имеет порядок $r$, пусть $b$ имеет порядок $s$ ($r, s < \infty$), и предположим, что наибольший общий делитель $r$ и $s$ равен 1. Покажите, что $ab$ имеет порядок $rs$.

Пусть $G$ — группа. Для любого подмножества $X$ группы $G$ определим его централизатор $C(X)$ как $\{ y \in G \mid xy = yx, \text{ для всех } x \in X\}$. Докажите следующее:

Пусть $D$ — группа порядка $2n$, где $n$ нечётно, с подгруппой $H$ порядка $n$, удовлетворяющей $xhx^{-1} = h^{-1}$ для всех $h$ из $H$ и всех $x$ из $D \setminus H$. Докажите, что $H$ коммутативна и что каждый элемент $D \setminus H$ имеет порядок 2.