Поля и их расширения

Пусть $R$ — множество матриц $2 \times 2$ вида

где $a, b$ — элементы данного поля $F$. Покажите, что с обычными матричными операциями $R$ является коммутативным кольцом с единицей. Для каких из следующих полей $F$ кольцо $R$ является полем: $F = \mathbb {Q}, \mathbb {C}, \mathbb {Z}^{5}, \mathbb {Z}^{7}$?

Докажите, что каждая конечная область целостности является полем.

Пусть $F \subset K$ — поля, а $a$ и $b$ — элементы $K$, алгебраические над $F$. Покажите, что $a+b$ алгебраично над $F$.

Докажите, что каждая конечная мультипликативная группа комплексных чисел циклическая.

Пусть $F$ — поле. Докажите, что каждая конечная подгруппа мультипликативной группы ненулевых элементов $F$ циклическая.

Пусть $K$ — поле, такое что аддитивная группа $K$ конечно порождена как группа. Докажите, что $K$ конечно.

Пусть $F = \left\{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} \mid a,b,c \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $F$ — поле, и каждый элемент $F$ имеет единственное представление в виде $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}$ в $F$, $c \in \mathbb {Q}$. Найдите $(1-\sqrt[3]{2})^{-1}$.

Пусть $F$ — конечное поле. Дайте полное доказательство того факта, что число элементов $F$ имеет вид $p^r$, где $p \geq 2$ — простое число, а $r$ — целое число $\geq 1$.

Пусть $K$ — поле, а $L \subset K$ — подполе, содержащее $\left\{ a^2 \mid a \in K\right\}$. Докажите, что если характеристика $K$ не равна 2, то $L = K$, и что то же заключение верно для конечных полей $K$ характеристики 2, но не в общем случае для полей характеристики 2.

Пусть $F$ — поле характеристики $p > 0$, $p \neq 3$. Если $a$ — нуль многочлена $f(x) = x^p - x + 3$ в некотором расширении поля $F$, покажите, что $f(x)$ имеет $p$ различных нулей в поле $F(a)$.

Пусть $K$ — поле $\mathbb {Q}(\sqrt[10]{2})$. Докажите, что $K$ имеет степень 10 над $\mathbb {Q}$, и что группа автоморфизмов $K$ имеет порядок 2.

Пусть $f(x) = x^5-8x^3+9x-3$ и $g(x) = x^4-5x^2-6x+3$. Докажите, что существует целое число $d$ такое, что многочлены $f(x)$ и $g(x)$ имеют общий корень в поле $\mathbb {Q}(\sqrt{d})$. Чему равно $d$?

Пусть $F$ — поле, содержащее $\mathbb {Q}$, такое что $[F:\mathbb {Q}] = 2$. Докажите, что существует единственное целое число $m$ такое, что $m$ не имеет кратных простых множителей, и $F$ изоморфно $\mathbb {Q}(\sqrt{m})$.

Приведите бесконечно много попарно неизоморфных квадратичных расширений $\mathbb {Q}$ и покажите, что они попарно неизоморфны.

Пусть $\mathbb {Q}$ — поле рациональных чисел. Для вещественного $\theta$ пусть $F_\theta = \mathbb {Q}(\sin \theta )$ и $E_\theta = \mathbb {Q}(\sin \frac{\theta }{3})$. Покажите, что $E_\theta$ является полем-расширением $F_\theta$, и определите все возможные значения $\dim_{F_\theta } E_\theta$.

Покажите, что поле $\mathbb {Q}(t_1, \ldots , t_n)$ рациональных функций от $n$ переменных над рациональными числами изоморфно некоторому подполю $\mathbb {R}$.

Пусть $f(x) \in \mathbb {Q}^{x}$ — неприводимый многочлен степени $n \geq 3$. Пусть $L$ — поле разложения $f$, и пусть $\alpha \in L$ — нуль $f$. Дано, что $[L:\mathbb {Q}] = n!$, докажите, что $\mathbb {Q}(\alpha^4) = \mathbb {Q}(\alpha )$.

Пусть $K$ — поле. Для каких пар положительных целых чисел $(a,b)$ подкольцо $K[t^a, t^b]$ кольца $K[t]$ является факториальным кольцом (кольцом с однозначным разложением на множители)?

Пусть $F$ — конечное поле мощности $p^n$, где $p$ простое, $n > 0$, и пусть $G$ — группа обратимых матриц $2 \times 2$ с коэффициентами в $F$.

Пусть $p$ — простое число, а $k, n$ — положительные целые числа. Докажите, что группа $GL_n(\mathbf{F}_p)$ (поле из $p$ элементов) обратимых матриц $n \times n$ над $\mathbf{F}_p$ содержит элемент порядка $p^k$ тогда и только тогда, когда $p^{k-1} < n$.

Пусть $F$ — поле, а $G$ — группа верхнетреугольных матриц $2 \times 2$ над $F$ с определителем 1.

Пусть $p$ — нечётное простое число и $\mathbf{F}_p$ — поле из $p$ элементов. Сколько элементов $\mathbf{F}_p$ имеют квадратные корни в $\mathbf{F}_p$? Сколько имеют кубические корни в $\mathbf{F}_p$?

Пусть $F$ — конечное поле с $q$ элементами. Будем говорить, что функция $f : F \rightarrow F$ является полиномиальной функцией, если существуют элементы $a_0, a_1, \ldots , a_n$ поля $F$ такие, что $f(x) = a_0+a_1 x+\cdots +a_n x^n$ для всех $x \in F$. Сколько существует полиномиальных функций?

Пусть $F$ — конечное поле, и предположим, что подполе поля $F$, порождённое множеством $\left\{ x^3 \mid x \in F\right\}$, отлично от $F$. Покажите, что $F$ имеет мощность 4.

Предположим, что $A$ — коммутативная алгебра с единицей над $\mathbb {C}$ (то есть $A$ — коммутативное кольцо, содержащее $\mathbb {C}$ в качестве подкольца с единицей). Предположим далее, что $a^2 \neq 0$ для всех ненулевых элементов $a \in A$. Покажите, что если размерность $A$ как векторного пространства над $\mathbb {C}$ конечна и не менее двух, то уравнению $a^2 = a$ удовлетворяют не менее трёх различных элементов $a \in A$.

Пусть $A$ — коммутативное кольцо с 1. Докажите, что группа $A^{*}$ обратимых элементов кольца $A$ не может иметь ровно 5 элементов.

Предположим, что $K$ — поле, а $R$ — ненулевая $K$-алгебра, порождённая двумя элементами $a$ и $b$, удовлетворяющими соотношениям $a^2 = b^2 = 0$ и $(a+b)^2 = 1$. Покажите, что $R$ изоморфна $M_2(K)$ (алгебре матриц $2 \times 2$ над $K$).