Нормальность, факторгруппы и гомоморфизмы

Пусть $H$ — подгруппа конечной группы $G$.

Пусть $G$ — группа ортогональных преобразований $\mathbb {R}^{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$ с определителем 1. Пусть $v \in \mathbb {R}^{3}$, $\left|v\right| = 1$, и пусть $H_{v} = \{ T \in G \mid Tv = v\}$.

Покажите, что если подгруппа $H$ группы $G$ имеет ровно один левый смежный класс, отличный от неё самой, то она является нормальной подгруппой $G$.

Пусть $G$ — группа порядка 120, пусть $H$ — подгруппа порядка 24, и предположим, что существует хотя бы один левый смежный класс $H$ (отличный от самой $H$), совпадающий с некоторым правым смежным классом $H$. Докажите, что $H$ — нормальная подгруппа $G$.

Пусть $G$ — группа порядка 112. Докажите, что $G$ имеет нетривиальную нормальную подгруппу.

Перечислите все группы порядка 6 с точностью до изоморфизма. Найдите группу порядка 120, содержащую в качестве подгруппы изоморфную копию каждой из них. Докажите, что ни одна группа порядка $< 120$ не обладает указанным свойством.

Для группы $G$ и подгруппы $H$ обозначим через $C(G,H)$ множество левых смежных классов $H$ в $G$. Докажите, что если $H$ и $K$ — две подгруппы группы $G$ бесконечного индекса, то $G$ не является конечным объединением смежных классов из $C(G,H) \cup C(G,K)$.

Пусть

Пусть $\mathbb {Z}^{2}$ — группа целочисленных точек плоскости (упорядоченных пар целых чисел с покоординатным сложением в качестве групповой операции). Пусть $H_{1}$ — подгруппа, порождённая двумя элементами $(1,2)$ и $(4,1)$, а $H_{2}$ — подгруппа, порождённая двумя элементами $(3,2)$ и $(1,3)$. Изоморфны ли факторгруппы $G_{1} = \mathbb {Z}^{2}/H_{1}$ и $G_{2} = \mathbb {Z}^{2}/H_{2}$?

Пусть $G$ — группа порядка 10, имеющая нормальную подгруппу порядка 2. Докажите, что $G$ абелева.

Пусть $G$ — группа с тремя нормальными подгруппами $N_{1}$, $N_{2}$ и $N_{3}$. Предположим, что $N_{i} \cap N_{j} = \{ e\}$ и $N_{i}N_{j} = G$ для всех $i, j$ с $i \neq j$. Покажите, что $G$ абелева и $N_{i}$ изоморфна $N_{j}$ для всех $i, j$.

Предположим, что $H_{i}$ — нормальная подгруппа группы $G$ при $1 \leq i \leq k$, такая что $H_{i} \cap H_{j} = \{ 1\}$ при $i \neq j$. Докажите, что $G$ содержит подгруппу, изоморфную $H_{1} \times H_{2} \times \cdots \times H_{k}$, если $k = 2$, но не обязательно, если $k \geq 3$.

$G$ — группа порядка $n$, $H$ — собственная подгруппа порядка $m$, и $(n/m)! < 2n$. Докажите, что $G$ имеет собственную нормальную подгруппу, отличную от единичной.

Докажите, что если $G$ — группа, не содержащая подгруппы индекса 2, то любая подгруппа индекса 3 нормальна.

Предположим, что $G$ — неабелева простая группа, а $A$ — её группа автоморфизмов. Покажите, что $A$ содержит нормальную подгруппу, изоморфную $G$.

Пусть $G$ — группа, порядок которой равен удвоенному нечётному числу. Для $g$ из $G$ обозначим через $\lambda_{g}$ перестановку множества $G$, заданную формулой $\lambda_{g}(x) = gx$ для $x \in G$.

Пусть $G$ — группа, $G'$ — её коммутант, а $N$ — нормальная подгруппа группы $G$. Предположим, что $N$ циклическая. Докажите, что $gn = ng$ для всех $g \in G'$ и всех $n \in N$.

Пусть $G$ — группа, а $N$ — нормальная подгруппа группы $G$ с $N \neq G$. Предположим, что не существует подгруппы $H$ группы $G$, удовлетворяющей $N \subset H \subset G$ и $N \neq H \neq G$. Докажите, что индекс $N$ в $G$ конечен и равен простому числу.

Пусть $G$ — группа, имеющая подгруппу $A$ конечного индекса. Докажите, что существует нормальная подгруппа $N$ группы $G$, содержащаяся в $A$, такая что $N$ имеет конечный индекс в $G$.

Пусть $H$ — фактор абелевой группы $G$ по подгруппе $K$. Докажите или опровергните каждое из следующих утверждений: