$S_n, A_n, D_n, \ldots$

Пусть $\mathbb {F}_{2} = \{ 0,1\}$ — поле из двух элементов. Пусть $G$ — группа обратимых матриц $2 \times 2$ с элементами из $\mathbb {F}_{2}$. Покажите, что $G$ изоморфна $S_{3}$, группе перестановок трёх объектов.

Пусть $S_{n}$ обозначает группу перестановок $n$ объектов. Найдите четыре различные подгруппы группы $S_{4}$, изоморфные $S_{3}$, и девять, изоморфных $S_{2}$.

Пусть $G$ — подгруппа группы $S_{5}$, группы всех перестановок пяти объектов. Докажите, что если $G$ содержит 5-цикл и 2-цикл, то $G = S_{5}$.

Пусть $G$ — подгруппа симметрической группы на шести объектах, $S_{6}$. Предположим, что $G$ имеет элемент порядка 6. Докажите, что $G$ имеет нормальную подгруппу $H$ индекса 2.

Пусть $S_{7}$ — группа перестановок множества из семи объектов. Найдите все $n$, для которых некоторый элемент $S_{7}$ имеет порядок $n$.

$S_{9}$ — группа перестановок 9 объектов.

Пусть $S_{9}$ обозначает группу перестановок девяти объектов, а $A_{9}$ — подгруппу, состоящую из всех чётных перестановок. Обозначим через $1 \in S_{9}$ тождественную перестановку. Определите минимум всех положительных целых чисел $m$ таких, что каждая $\sigma \in S_{9}$ удовлетворяет $\sigma^{m} = 1$. Определите также минимум всех положительных целых чисел $m$ таких, что каждая $\sigma \in A_{9}$ удовлетворяет $\sigma^{m} = 1$.

Пусть $S_{999}$ обозначает группу перестановок 999 объектов, и пусть $G \subset S_{999}$ — абелева подгруппа порядка 1111. Докажите, что существует $i \in \{ 1, \ldots , 999\}$ такое, что для всех $\sigma \in G$ выполняется $\sigma (i) = i$.

Докажите, что $S_{n}$, группа перестановок $\{ 1,2,\ldots ,n\}$, изоморфна подгруппе группы $A_{n+2}$, знакопеременной подгруппы группы $S_{n+2}$.

Пусть $S_{n}$ — группа всех перестановок $n$ объектов, и пусть $G$ — подгруппа группы $S_{n}$ порядка $p^{k}$, где $p$ — простое число, не делящее $n$. Покажите, что $G$ имеет неподвижную точку; то есть один из объектов остаётся неподвижным при действии каждого элемента $G$.

Пусть $G$ — подгруппа группы $S_{n}$, группы перестановок $n$ объектов. Предположим, что $G$ транзитивна, то есть для любых $x$ и $y$ из $S$ найдётся такой $\sigma \in G$, что $\sigma (x) = y$.

Пусть $G$ — транзитивная подгруппа группы $S_{n}$ перестановок $n$ объектов $\{ 1, \ldots , n\}$. Предположим, что $G$ — простая группа и что $\sim$ — отношение эквивалентности на $\{ 1, \ldots , n\}$, такое что $i \sim j$ влечёт $\sigma (i) \sim \sigma (j)$ для всех $\sigma \in G$. Что можно сказать об отношении $\sim$?

Пусть $D_{n}$ — диэдральная группа, группа жёстких движений правильного $n$-угольника ($n \geq 3$). (Это некоммутативная группа порядка $2n$.) Найдите её центр $Z = \{ c \in D_{n} \mid cx = xc \text{ для всех } x \in D_{n}\}$.

Сколько силовских 2-подгрупп имеет диэдральная группа $D_{n}$ порядка $2n$, когда $n$ нечётно?