Конечные группы

Перечислите, с точностью до изоморфизма, все конечные группы, порядок которых не превышает 5.

Покажите, что все группы порядка $\leq 5$ коммутативны. Приведите пример некоммутативной группы порядка 6.

Докажите, что любая группа порядка 6 изоморфна либо $\mathbb {Z}^{6}$, либо $S_3$ (группе перестановок трёх объектов).

Найдите все абелевы группы порядка 8 с точностью до изоморфизма. Затем определите, какой тип реализуется в каждом из следующих случаев:

Покажите, что существует по крайней мере две неизоморфные неабелевы группы порядка 24, порядка 30 и порядка 40.

Приведите список из восьми групп порядка 36 и докажите, что они попарно неизоморфны.

Докажите, что если $p$ простое, то любая группа порядка $p^2$ абелева.

Классифицируйте с точностью до изоморфизма все группы порядка 45.

Пусть $G$ — группа порядка 56, имеющая не менее 7 элементов порядка 7. Докажите, что $G$ имеет единственную силовскую 2-подгруппу $P$, и что все неединичные элементы $P$ имеют порядок 2.

Классифицируйте с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка 80.

Найдите (с точностью до изоморфизма) все группы порядка $2p$, где $p$ — простое число ($p \geq 2$).

Докажите, что любая конечная группа порядка $n$ изоморфна подгруппе группы $O(n)$, группы ортогональных вещественных матриц размера $n \times n$.

Предположим, что $G$ — конечная группа, в которой каждая силовская подгруппа нормальна и абелева. Покажите, что $G$ абелева.

Если $G$ — конечная группа, обязательно ли $S = \left\{ g^2 \mid g \in G\right\}$ является подгруппой? Приведите доказательство или контрпример.

Пусть $G$ — конечная группа, действующая транзитивно на множестве $X$ мощности не менее 2. Докажите, что некоторый элемент $g$ группы $G$ действует без неподвижных точек.

Пусть $G$ — конечная неабелева группа порядка $n$. Покажите, что существует целое число $d$, удовлетворяющее $2 \leq d \leq n/2$, и множество $P$ мощности $d$, такое что $G$ действует на $P$ транзитивно.

Докажите, что каждая конечная группа изоморфна

Пусть $G$ — конечная группа, а $p$ — простое число. Предположим, что $a$ и $b$ — элементы $G$ порядка $p$, такие что $b$ не принадлежит подгруппе, порождённой $a$. Докажите, что $G$ содержит не менее $p^2 - 1$ элементов порядка $p$.

Найдите все конечные абелевы группы $G$ (с точностью до изоморфизма), для которых группа автоморфизмов $G$ имеет нечётный порядок.

Пусть $n$ — положительное целое число. Пусть $\phi (n)$ — функция Эйлера, так что $\phi (n) = \# (\mathbb {Z}^{n})^{*}$. Докажите, что если $\gcd (n, \phi (n)) > 1$, то существует нециклическая группа порядка $n$.