Свободные группы, образующие и соотношения

Пусть $\mathbb {Q}_{+}$ — мультипликативная группа положительных рациональных чисел.

Докажите, что аддитивная группа поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ не является конечно порождённой.

Замечание: см. также задачи 6.3.1 и 6.6.3.

Пусть $G$ — абелева группа, заданная образующими $x$, $y$, $z$ и соотношениями

Пусть группа $G$ порождена элементами $x$ и $y$, удовлетворяющими $x^{5}y^{3} = x^{8}y^{5} = 1$. Является ли $G$ тривиальной группой?

Пусть $G$ — группа с образующими $a$ и $b$, удовлетворяющими

Является ли $G$ тривиальной?

Пусть группа $G$ порождена двумя элементами $a$ и $b$, оба порядка 2. Докажите, что $G$ имеет подгруппу индекса 2.

Пусть $G_{n}$ — свободная группа с $n$ образующими. Покажите, что $G_{2}$ и $G_{3}$ не изоморфны.

Пусть $G$ — абелева группа, порождённая не более чем $n$ элементами. Покажите, что каждая подгруппа $G$ также порождена не более чем $n$ элементами.

Найдите все конечно порождённые абелевы группы $G$, имеющие лишь конечное число автоморфизмов.

Пусть $A$ — конечная абелева группа, а $m$ — максимум порядков элементов $A$. Положим $S = \{ a \in A \mid \left|a\right| = m\}$. Докажите, что $A$ порождается множеством $S$.