Кольца и их гомоморфизмы

Пусть $M_{2 \times 2}$ — кольцо вещественных матриц $2 \times 2$, а $S \subset M_{2 \times 2}$ — подкольцо матриц вида

Пусть $M_{2 \times 2}(\mathbb {Q})$ обозначает кольцо матриц $2 \times 2$ с элементами из $\mathbb {Q}$. Пусть $R$ — множество матриц из $M_{2 \times 2}(\mathbb {Q})$, коммутирующих с $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Докажите, что существует единственный автоморфизм поля вещественных чисел, а именно тождественный автоморфизм.

Предположим, что сложение и умножение на $\mathbb {C}^n$, комплексном $n$-мерном пространстве, определены покоординатно, превращая $\mathbb {C}^n$ в кольцо. Найдите все гомоморфизмы колец из $\mathbb {C}^n$ на $\mathbb {C}$.

Пусть $R$ — конечное кольцо. Докажите, что существуют такие положительные целые числа $m$ и $n$ с $m > n$, что $x^m = x^n$ для каждого $x$ в $R$.

Пусть $R$ — кольцо, содержащее не менее двух элементов. Предположим, что для каждого ненулевого $a$ в $R$ существует единственный $b$ в $R$ (зависящий от $a$) такой, что $aba = a$. Покажите, что $R$ — тело.

Пусть $p$ — простое число, а $R$ — кольцо с единицей, содержащее $p^2$ элементов. Докажите, что $R$ коммутативно.

Пусть $R$ — кольцо с единицей, содержащее менее восьми элементов. Докажите, что $R$ коммутативно.

Пусть $R$ — множество комплексных чисел вида

Докажите, что $R$ является подкольцом $\mathbb {C}$, и что $R$ является областью целостности, но не факториальным кольцом.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единицей. Пусть $G$ — конечная подгруппа $R^{*}$, группы единиц $R$. Докажите, что если $R$ — область целостности, то $G$ циклична.

Пусть $R$ — конечное кольцо с единицей. Пусть $a$ — элемент $R$, не являющийся делителем нуля. Покажите, что $a$ обратим.

Пусть $R$ — кольцо с единицей, и пусть $u$ — элемент $R$, имеющий правый обратный. Докажите, что следующие условия на $u$ эквивалентны:

1. $u$ имеет более одного правого обратного;

2. $u$ является делителем нуля;

3. $u$ не является единицей.

Покажите, что никакое коммутативное кольцо с единицей не имеет аддитивную группу, изоморфную $\mathbb {Q} / \mathbb {Z}$.

Пусть $D$ — упорядоченная область целостности и $a \in D$. Докажите, что

Докажите, что $\mathbb {Q}^{x,y} / \left\langle x^2+y^2-1\right\rangle$ является областью целостности и что её поле частных изоморфно полю рациональных функций $\mathbb {Q}(t)$.

Найдите мощность множества всех подколец $\mathbb {Q}$, поля рациональных чисел.