Элементарная теория чисел

Докажите, что если шесть человек едут вместе в лифте Эванс-Холла, то среди них найдётся либо тройка взаимных друзей (каждый знаком с двумя другими), либо тройка взаимных незнакомцев (каждый не знаком ни с одним из двух других).

Пусть $u_{m,n}$ — массив чисел при $1 \leq m \leq N$ и $1 \leq n \leq N$. Предположим, что $u_{m,n} = 0$, когда $m$ равно 1 или $N$, либо когда $n$ равно 1 или $N$. Предположим также, что

всякий раз, когда $1 < m < N$ и $1 < n < N$. Покажите, что все $u_{m,n}$ равны нулю.

Сколько существует функций $f : \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \left\{ 1,2,3,4,5\right\}$, имеющих область значений размера ровно 3?

Пусть $m \geq 0$ — целое число. Пусть $a_1, a_2, \ldots , a_m$ — целые числа, и пусть

Покажите, что если $d \geq 0$ — целое число, то $f(x)^d/d!$ можно представить в виде

где $b_i$ — целые числа.

Пусть $f : [0,1] \rightarrow [0,1]$ — возрастающая (не строго возрастающая) функция такая, что

всякий раз, когда $a_j$ равны 0 или 2. Докажите, что существует константа $C_0$ такая, что

для всех $x,y \in [0,1]$.

Пусть $p$ — нечётное простое число. Пусть $Q(p)$ — множество целых чисел $a$, $0 \leq a \leq p-1$, для которых сравнение

имеет решение. Покажите, что мощность $Q(p)$ равна $(p+1)/2$.

Пусть $p$ — нечётное простое число. Если сравнение $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$ имеет решение, покажите, что $p \equiv 1 \pmod{4}$.

Пусть $n \geq 2$ — целое число такое, что $2^n+n^2$ является простым числом. Докажите, что

Для каких рациональных чисел $t$

является целым числом?

Покажите, что знаменатель $\binom {1/2}{n}$ является степенью 2 для всех целых $n$.

Пусть $n$ — положительное целое число.

Предположим, что $n > 1$ — целое число. Докажите, что сумма

не является целым числом.

Пусть $\gcd$ обозначает наибольший общий делитель, а $\operatorname {lcm}$ — наименьшее общее кратное. Для трёх ненулевых целых чисел $a,b,c$ покажите, что

Пусть $a_1, a_2, \ldots , a_{10}$ — целые числа с $1 \leq a_i \leq 25$ при $1 \leq i \leq 10$. Докажите, что существуют целые числа $n_1, n_2, \ldots , n_{10}$, не все равные нулю, такие что

Число 21982145917308330487013369 является тринадцатой степенью некоторого положительного целого числа. Какого именно?

Определите крайнюю правую десятичную цифру числа

Определите последнюю цифру числа

в десятичной системе.

Покажите, что множество неотрицательных целых чисел $\mathbb {Z}^{}_{+}$ можно представить в виде объединения двух непересекающихся подмножеств $N_1$ и $N_2$ ($N_1 \cap N_2 = \emptyset$, $N_1 \cup N_2 = \mathbb {Z}^{}_{+}$) таких, что ни $N_1$, ни $N_2$ не содержат бесконечной арифметической прогрессии.

Пусть $\varphi$ — функция Эйлера; то есть, если $n$ — положительное целое число, то $\varphi (n)$ — число целых чисел $m$, для которых $1 \leq m \leq n$ и $\gcd \left\{ n,m\right\} =1$. Пусть $a$ и $k$ — два целых числа, причём $a > 1$, $k > 0$. Докажите, что $k$ делит $\varphi (a^k-1)$.

Определите наибольший общий делитель элементов множества $\left\{ n^{13}-n \mid n \in \mathbb {Z}\right\}$.

Для положительного целого числа $n$ пусть $d(n)$ обозначает число положительных делителей числа $n$. Докажите, что $d(n)$ нечётно тогда и только тогда, когда $n$ — точный квадрат.

Какие из чисел $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ встречаются в качестве последней цифры числа $n^n$ для бесконечного числа положительных целых чисел $n$?

Пусть $N = 30030$ — произведение первых шести простых чисел. Сколько существует неотрицательных целых чисел $x$, меньших $N$, обладающих тем свойством, что $N$ делит $x^3-1$?