Многочлены

Предположим, что ненулевое комплексное число $\alpha$ является корнем многочлена степени $n$ с рациональными коэффициентами. Докажите, что $1/\alpha$ также является корнем некоторого многочлена степени $n$ с рациональными коэффициентами.

По основной теореме алгебры многочлен $x^3+2x^2+7x+1$ имеет три комплексных корня $\alpha_1, \alpha_2$ и $\alpha_3$. Вычислите $\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3$.

Пусть $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{7}}$ — примитивный корень 7-й степени из единицы. Найдите кубический многочлен с целыми коэффициентами, имеющий корнем $\alpha = \zeta + \zeta^{-1}$.

Докажите, что $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ иррационально.

Пусть $P(z)$ — многочлен степени $< k$ с комплексными коэффициентами. Пусть $\omega_1, \ldots , \omega_k$ — корни $k$-й степени из единицы в $\mathbb {C}$. Докажите, что

Пусть $f(x) \in \mathbb {Q}^{x}$ — многочлен с рациональными коэффициентами. Покажите, что существует $g(x) \in \mathbb {Q}^{x}$, $g \neq 0$, такой, что $f(x)g(x) = a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots + a_p x^p$ — многочлен, в котором встречаются только простые показатели степени.

Пусть $I$ — идеал в кольце $\mathbb {Z}^{x}$, порождённый $x-7$ и 15. Докажите, что факторкольцо $\mathbb {Z}^{x}/I$ изоморфно $\mathbb {Z}^{15}$.

Пусть $I$ обозначает идеал в $\mathbb {Z}^{x}$, кольце многочленов с коэффициентами в $\mathbb {Z}$, порождённый $x^3+x+1$ и 5. Является ли $I$ простым идеалом?

В кольце $\mathbb {Z}^{x}$ многочленов от одной переменной над целыми числами покажите, что идеал $I$, порождённый 5 и $x^2+2$, является максимальным идеалом.

Пусть $\mathbb {Z}^{n}$ обозначает кольцо целых чисел по модулю $n$. Пусть $\mathbb {Z}^{n}[x]$ — кольцо многочленов с коэффициентами в $\mathbb {Z}^{n}$. Пусть $I$ обозначает идеал в $\mathbb {Z}^{n}[x]$, порождённый $x^2+x+1$.

Пусть $\mathbb {Z}$ — кольцо целых чисел, $p$ — простое число, а $\mathbf{F}_p = \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$ — поле из $p$ элементов. Пусть $x$ — неопределённая, и положим $R_1 = \mathbf{F}_p[x]/ \left\langle x^2-2\right\rangle$, $R_2 = \mathbf{F}_p[x]/ \left\langle x^2-3\right\rangle$. Определите, изоморфны ли кольца $R_1$ и $R_2$ в каждом из случаев $p = 2, 5, 11$.

Рассмотрим кольцо многочленов $\mathbb {Z}^{x}$ и идеал $I$, порождённый 7 и $x-3$.

Пусть $\mathbb {Z}^{x}$ — кольцо многочленов от неопределённой $x$ с коэффициентами в кольце целых чисел $\mathbb {Z}$. Пусть $I \subset \mathbb {Z}^{x}$ — идеал, порождённый 13 и $x-4$. Найдите целое число $m$ такое, что $0 \leq m \leq 12$ и

Приведите пример, с доказательством, непостоянного неприводимого многочлена $f(x)$ над $\mathbb {Q}$, обладающего тем свойством, что $f(x)$ не разлагается на линейные множители над полем $K = \mathbb {Q}^{x}/(f(x))$.

Найдите все автоморфизмы $\mathbb {Z}^{x}$, кольца многочленов над $\mathbb {Z}$.

Пусть $R$ обозначает кольцо многочленов над полем $F$. Пусть $p_1, \ldots , p_n$ — элементы $R$. Докажите, что наибольший общий делитель $p_1, \ldots , p_n$ равен 1 тогда и только тогда, когда существует матрица $n \times n$ над $R$ с определителем 1, первая строка которой равна $(p_1, \ldots , p_n)$.

Пусть $f(x)$ — многочлен над $\mathbb {Z}^{p}$, полем целых чисел по модулю $p$. Пусть $g(x) = x^p - x$. Покажите, что наибольший общий делитель $f(x)$ и $g(x)$ является произведением различных линейных множителей $f(x)$.

Пусть $F$ — подполе поля $K$. Пусть $p$ и $q$ — многочлены над $F$. Докажите, что их наибольший общий делитель в кольце многочленов над $F$ совпадает с их НОД в кольце многочленов над $K$.

Покажите, что $x^{10}+x^9+x^8+\cdots +x+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$. А как насчёт $x^{11}+x^{10}+\cdots +x+1$?

Пусть $\mathbb {Z}$ — кольцо целых чисел, а $\mathbb {Z}^{x}$ — кольцо многочленов над $\mathbb {Z}$. Покажите, что

неприводим в $\mathbb {Z}^{x}$.

Докажите, что многочлен $x^4+x+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что если $p$ — простое число, то многочлен

неприводим в $\mathbb {Q}^{x}$.

Докажите, что $f(x) = x^4+x^3+x^2+6x+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что многочлен $f(x) = 16x^5 - 125x^4 + 50x^3 - 100x^2 + 75x + 25$ неприводим над рациональными числами.

Пусть $\mathbb {Z}^{3}$ — поле целых чисел по модулю 3, а $\mathbb {Z}^{3}[x]$ — соответствующее кольцо многочленов. Разложите $x^3+x+2$ на неприводимые множители в $\mathbb {Z}^{3}[x]$.

Разложите $x^4+x^3+x+3$ полностью в $\mathbb {Z}^{5}[x]$.

Является ли $x^4+1$ неприводимым над полем вещественных чисел? Над полем рациональных чисел? Над полем из 16 элементов?

Разложите $x^4-4$ и $x^3-2$ на неприводимые множители над $\mathbb {R}$, над $\mathbb {Z}$ и над $\mathbb {Z}^{3}$ (целые числа по модулю 3).

Пусть $a$ — элемент поля $F$, а $p$ — простое число. Предположим, что $a$ не является $p$-й степенью. Покажите, что многочлен $x^p-a$ неприводим в $F[x]$.

Пусть $p$ — простое число, $p \equiv 3 \pmod{4}$, и пусть $\mathbf{F}_p = \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$. Если $x^4+1$ разлагается в произведение $g(x)h(x)$ двух квадратичных многочленов в $\mathbf{F}_p[x]$, докажите, что $g(x)$ и $h(x)$ оба неприводимы над $\mathbf{F}_p$.

Пусть $n$ — положительное целое число, а $f$ — многочлен в $\mathbb {R}^{x}$ степени $n$. Докажите, что существуют вещественные числа $a_0, a_1, \ldots , a_n$, не все равные нулю, такие, что многочлен

делится на $f$.

Пусть $F$ — поле, $F[x]$ — кольцо многочленов от одной переменной над $F$, а $R$ — подкольцо $F[x]$ с $F \subset R$. Докажите, что существует конечное множество $\left\{ f_1, f_2, \ldots , f_n\right\}$ элементов $F[x]$ такое, что $R = F[f_1, f_2, \ldots , f_n]$.

Пусть $F$ — конечное поле с $q$ элементами, а $x$ — неопределённая. Для многочлена $f$ в $F[x]$ пусть $\varphi_f$ обозначает соответствующую функцию из $F$ в $F$, заданную формулой $\varphi_f(a) = f(a)$, ($a \in F$). Докажите, что если $\varphi$ — произвольная функция из $F$ в $F$, то существует $f$ в $F[x]$ такой, что $\varphi = \varphi_f$. Докажите, что $f$ определяется по $\varphi$ однозначно с точностью до прибавления кратного $x^q - x$.