Гомоморфизмы и подгруппы

Сколько существует гомоморфизмов из группы $\mathbb {Z}_{2} \times \mathbb {Z}_{2}$ в симметрическую группу на трёх объектах?

Множество комплексных матриц $A$ размера $5 \times 5$, удовлетворяющих $A^{3} = A^{2}$, является объединением классов сопряжённости. Сколько классов сопряжённости?

Пусть $\mathbb {C}^{*}$ — мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел. Предположим, что $H$ — подгруппа конечного индекса в $\mathbb {C}^{*}$. Докажите, что $H = \mathbb {C}^{*}$.

Пусть $G$ — конечная группа и $H \subset G$ — подгруппа.

Докажите, что группа автоморфизмов циклической группы простого порядка $p$ циклическая, и найдите её порядок.

Пусть $G$ — конечная группа, и пусть $\varphi$ — автоморфизм $G$, оставляющий неподвижным только единичный элемент $G$.

Докажите, что каждая конечная группа порядка $> 2$ имеет нетривиальный автоморфизм.

Пусть $A$ — абелева группа с аддитивной записью, и $u, v : A \to A$ — гомоморфизмы. Определим групповые гомоморфизмы $f, g : A \to A$ как

Докажите, что ядро $f$ изоморфно ядру $g$.

Пусть $G$ — аддитивная группа, и $u, v : G \to G$ — гомоморфизмы. Покажите, что отображение $f : G \to G$, $f(x) = x - v(u(x))$ сюръективно, если отображение $h : G \to G$, $h(x) = x - u(v(x))$ сюръективно.

Пусть $H$ — группа целых чисел по модулю $p$ относительно сложения, где $p$ — простое число. Предположим, что $n$ — целое число, удовлетворяющее $1 \leq n \leq p$, и пусть $G$ — группа $H \times H \times \cdots \times H$ ($n$ сомножителей). Покажите, что $G$ не имеет автоморфизма порядка $p^{2}$.

Пусть $G$ — группа и $H$ — подгруппа индекса $n < \infty$. Докажите или опровергните следующие утверждения:

Найдите все автоморфизмы аддитивной группы рациональных чисел.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа такие, что подгруппа $\Gamma$ группы $\mathbb {R}$, порождённая $\alpha$ и $\beta$, замкнута. Докажите, что $\alpha$ и $\beta$ линейно зависимы над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что группа $G = \mathbb {Q}/\mathbb {Z}$ не имеет собственной подгруппы конечного индекса.

Пусть $A$ — группа рациональных чисел относительно сложения, и пусть $M$ — группа положительных рациональных чисел относительно умножения. Определите все гомоморфизмы $\varphi : A \to M$.

Предположим, что $H_{1}$ и $H_{2}$ — различные подгруппы группы $G$ такие, что $[G:H_{1}] = [G:H_{2}] = 3$. Каковы возможные значения $[G:H_{1} \cap H_{2}]$?

Пусть $G$ — группа, и $H$ и $K$ — подгруппы такие, что $H$ имеет конечный индекс в $G$. Докажите, что $K \cap H$ имеет конечный индекс в $K$.

Предположим, что группа $G$ имеет нетривиальную подгруппу $H$, которая содержится в каждой нетривиальной подгруппе $G$. Докажите, что $H$ содержится в центре $G$.

Покажите, что для каждого положительного целого $k$ существует положительное целое $N$ такое, что существует не менее $k$ неизоморфных групп порядка $N$.

Пусть $G$ — группа, порождённая $n$ элементами. Найдите верхнюю оценку $N(n,k)$ для числа подгрупп $H$ группы $G$ с индексом $[G:H] = k$.