Циклические группы

Пусть $G$ — группа $\mathbb {Q}/\mathbb {Z}$. Покажите, что для каждого положительного целого $t$ группа $G$ имеет единственную циклическую подгруппу порядка $t$.

Покажите, что группа $G$ изоморфна подгруппе аддитивной группы рациональных чисел тогда и только тогда, когда $G$ счётна и каждое конечное подмножество $G$ содержится в бесконечной циклической подгруппе $G$.

Докажите, что любая группа порядка 77 циклическая.

Пусть $G$ — группа порядка $2p$, где $p$ — нечётное простое число. Предположим, что $G$ имеет нормальную подгруппу порядка 2. Докажите, что $G$ циклическая.

Конечная абелева группа $G$ обладает свойством, что для каждого положительного целого $n$ множество $\{ x \in G \mid x^{n} = 1\}$ содержит не более $n$ элементов. Докажите, что $G$ циклическая, и выведите отсюда, что мультипликативная группа любого конечного поля циклическая.

Пусть $G$ — конечная группа порядка $n$ со свойством, что для каждого делителя $d$ числа $n$ существует не более одной подгруппы $G$ порядка $d$. Покажите, что $G$ циклическая.