Идеалы

Пусть $A$ — кольцо вещественных матриц $2 \times 2$ вида $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$. Каковы двусторонние идеалы в $A$?

Пусть $M_{n \times n}(\mathbf{F})$ — кольцо матриц $n \times n$ над полем $\mathbf{F}$. Докажите, что оно не имеет двусторонних идеалов, кроме $M_{n \times n}(\mathbf{F})$ и $\left\{ 0\right\}$.

Пусть $M_{n \times n}(\mathbf{F})$ — кольцо матриц $n \times n$ над полем $\mathbf{F}$. Существует ли при $n \geq 1$ гомоморфизм колец из $M_{(n+1) \times (n+1)}(\mathbf{F})$ на $M_{n \times n}(\mathbf{F})$?

Пусть $R$ — кольцо матриц $n \times n$ над полем. Предположим, что $S$ — кольцо и $h : R \rightarrow S$ — гомоморфизм. Покажите, что $h$ либо инъективен, либо нулевой.

Пусть $\mathbf{F}$ — поле, а $X$ — конечное множество. Пусть $R(X, \mathbf{F})$ — кольцо всех функций из $X$ в $\mathbf{F}$, наделённое поточечными операциями. Каковы максимальные идеалы $R(X, \mathbf{F})$?

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $K$. Если $U$ и $W$ — подпространства, пусть $E(U,W)$ — множество линейных эндоморфизмов $F$ пространства $V$ над $K$, обладающих тем свойством, что образ $FU$ в $V/W$ конечномерен. Покажите, что $E(U,U)$ является подкольцом кольца эндоморфизмов $V$ с двусторонними идеалами $E(V,U)$ и $E(U,0)$.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единичным элементом и $a \in R$. Пусть $n$ и $m$ — положительные целые числа, и пусть $d = \gcd \left\{ n,m\right\}$. Докажите, что идеал $R$, порождённый $a^n - 1$ и $a^m - 1$, совпадает с идеалом, порождённым $a^d - 1$.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с 1, а $R^{*}$ — его группа единиц. Предположим, что аддитивная группа $R$ порождается множеством $\left\{ u^2 \mid u \in R^{*}\right\}$. Докажите, что $R$ имеет не более одного идеала $I$, для которого $R/I$ имеет мощность 3.

Найдите все коммутативные кольца $R$ с единицей такие, что $R$ имеет единственный максимальный идеал и группа единиц $R$ тривиальна.

Пусть $R$ — кольцо с единицей, и пусть $I$ — левый идеал $R$, порождённый множеством $\left\{ ab-ba \mid a,b \in R\right\}$. Докажите, что $I$ является двусторонним идеалом.

Пусть $R$ — кольцо с единичным элементом. Предположим, что $I_1, I_2, \ldots , I_n$ — левые идеалы в $R$, такие что $R = I_1 \oplus I_2 \oplus \cdots \oplus I_n$ (как аддитивные группы). Докажите, что существуют элементы $u_i \in I_i$ такие, что для любых элементов $a_i \in I_i$ выполняется $a_i u_i = a_i$ и $a_i u_j = 0$ при $j \neq i$.

Предположим, что $R$ — подкольцо коммутативного кольца $S$ и что $R$ имеет конечный индекс $n$ в $S$. Пусть $m$ — целое число, взаимно простое с $n$. Докажите, что естественное отображение $R/mR \rightarrow S/mS$ является изоморфизмом колец.

Пусть $M$ — одно из следующих полей: $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {Q}$ и $\mathbf{F}_9$ (поле из девяти элементов). Пусть $I \subset M[x]$ — идеал, порождённый $x^4 + 2x - 2$. Для каких $M$ кольцо $M[x]/I$ является полем?

Пусть $R$ — область главных идеалов, а $I$ и $J$ — ненулевые идеалы в $R$. Покажите, что $IJ = I \cap J$ тогда и только тогда, когда $I+J = R$.