Собственные значения и собственные векторы

Найдите собственные значения и собственные векторы следующих матриц.

Для каких из них, если такие есть, не хватает собственных векторов в том смысле, что не существует полного линейно независимого набора?

Не выполняя вычисления собственных значений и собственных векторов, определите, какие из следующих векторов являются собственными для

и для тех, которые являются собственными векторами, укажите соответствующее собственное значение.

Объясните, почему собственные значения треугольных и диагональных матриц

представляют собой попросту диагональные элементы — $t_{ii}$ и $\lambda_i$.

Для $\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix}$ докажите, что $\operatorname {det}\left(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{I}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\right)\operatorname {det}\left(\mathbf{C}-\lambda \mathbf{I}\right)$, и заключите, что $\sigma \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix} = \sigma (\mathbf{A}) \cup \sigma (\mathbf{C})$ для квадратных $\mathbf{A}$ и $\mathbf{C}$.

Найдите собственные векторы $\mathbf{D} = \operatorname {diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n)$. В частности, каково собственное подпространство, соответствующее $\lambda_i$?

Докажите, что $0 \in \sigma (\mathbf{A})$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ — вырожденная матрица.

Объясните, почему очевидно, что

не имеет нулевого собственного значения, и, следовательно, почему $\mathbf{A}$ невырождена.

Объясните, почему собственные значения $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$ вещественны и неотрицательны для любой $\mathbf{A} \in \mathcal{C}^{m\times n}$.

Подсказка: рассмотрите $\left\| \mathbf{A}\overrightarrow {x}\right\|_2^2 / \left\| \overrightarrow {x}\right\|_2^2$. Когда собственные значения $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$ строго положительны?

Объясните, почему теорема Гершгорина влечёт, что

должна иметь по крайней мере два вещественных собственных значения. Подтвердите этот факт, вычислив собственные значения $\mathbf{A}$.

Теорема Гершгорина: если $n$ кругов Гершгорина $G_i = \left\{ z \in \mathcal{C} \mid \left|z - a_{ii}\right| \le \sum_{j \ne i} \left|a_{ij}\right|\right\}$, соответствующих строкам матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$, таковы, что $k$ из них образуют связную область, не пересекающуюся с оставшимися $n-k$ кругами, то ровно $k$ собственных значений $\mathbf{A}$ лежат в связной области, образованной этими $k$ кругами, а оставшиеся $n-k$ собственных значений лежат в области, образованной объединением остальных $n-k$ кругов.

Если $\mathbf{A}$ нильпотентна ($\mathbf{A}^k = \mathbf{0}$ при некотором $k$), объясните, почему $\operatorname {trace}(\mathbf{A}) = 0$.

Указание: Чему равно $\sigma (\mathbf{A})$?

Если $\overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_k$ — собственные векторы матрицы $\mathbf{A}$, отвечающие одному и тому же собственному значению $\lambda$, объясните, почему любая ненулевая линейная комбинация

также является собственным вектором матрицы $\mathbf{A}$, отвечающим собственному значению $\lambda$.

Объясните, почему собственный вектор квадратной матрицы $\mathbf{A}$ не может отвечать двум различным собственным значениям матрицы $\mathbf{A}$.

Пусть $\sigma (\mathbf{A}_{n\times n}) = \sigma (\mathbf{B}_{n\times n})$. Гарантирует ли это, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ имеют одинаковый характеристический многочлен?

Постройте примеры $2 \times 2$, доказывающие следующие утверждения.

Пусть $\left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n\right\}$ — собственные значения матрицы $\mathbf{A}_{n\times n}$, и пусть $(\lambda_k, \overrightarrow {c})$ — некоторая собственная пара.

Пусть $\mathbf{A}$ — квадратная матрица.

Рассмотрим матрицы $\mathbf{A}_{m\times n}$ и $\mathbf{B}_{n\times m}$.

Если $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$, докажите, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ имеют общий собственный вектор.

Указание: Для $\lambda \in \sigma (\mathbf{A})$ пусть столбцы матрицы $\mathbf{X}$ образуют базис пространства $N(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$, так что $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{B}\mathbf{X} = \mathbf{0}$. Объясните, почему существует такая матрица $\mathbf{P}$, что $\mathbf{B}\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{P}$, а затем рассмотрите произвольную собственную пару матрицы $\mathbf{P}$.

Для фиксированных матриц $\mathbf{P}_{m\times m}$ и $\mathbf{Q}_{n\times n}$ пусть $\mathbf{T}$ — линейный оператор на $\mathcal{C}^{m\times n}$, определённый формулой $\mathbf{T}(\mathbf{A}) = \mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}$.

Пусть $\mathbf{D} = \operatorname {diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n)$ — вещественная диагональная матрица, такая что $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$, и пусть $\overrightarrow {v}_{n\times 1}$ — столбец из вещественных ненулевых чисел.

Пусть $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ — корни многочлена $p(\lambda ) = \lambda^n + c_1\lambda^{n-1} + c_2\lambda^{n-2} + \cdots + c_n$, и пусть $\tau_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$. Тождества Ньютона утверждают, что $c_k = -(\tau_1 c_{k-1} + \tau_2 c_{k-2} + \cdots + \tau_{k-1}c_1 + \tau_k)/k$. Выведите эти тождества, выполнив следующие шаги:

Пусть характеристическое уравнение для $\mathbf{A}$ задано в виде $\lambda^n + c_1\lambda^{n-1} + c_2\lambda^{n-2} + \cdots + c_n = 0$, и определим последовательность, полагая $\mathbf{B}_0 = \mathbf{I}$ и

Докажите, что при каждом $k$

Указание: используйте тождества Ньютона (упражнение 7.1.23) и вспомните упражнение 7.1.10(a).

Приведите $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -8 & -6 \\ 12 & 10 \end{pmatrix}$ к диагональному виду с помощью преобразования подобия, либо объясните, почему $\mathbf{A}$ нельзя диагонализовать.

Покажите, что подобные матрицы не обязаны иметь одни и те же собственные векторы, приведя пример двух матриц, которые подобны, но имеют разные собственные подпространства.

$\lambda =2$ — собственное значение для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$. Найдите $\operatorname {alg\, mult}_{\mathbf{A}}(\lambda )$, а также $\operatorname {geo\, mult}_{\mathbf{A}}(\lambda )$. Можно ли на основании этих результатов сделать какой-либо вывод о диагонализуемости $\mathbf{A}$?

Если $\mathbf{B} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$, объясните, почему $\mathbf{B}^k = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}^k\mathbf{P}$.

Вычислите $\lim_{n\to \infty } \mathbf{A}^n$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 7/5 & 1/5 \\ -1 & 1/2 \end{pmatrix}$.

Пусть $\left\{ \overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_t\right\}$ — набор линейно независимых собственных векторов для $\mathbf{A}_{n\times n}$, отвечающих соответственно собственным значениям $\left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_t\right\}$, и пусть $\mathbf{X}$ — произвольная матрица размера $n \times (n-t)$ такая, что $\mathbf{P}_{n\times n} = (\overrightarrow {x}_1 \mid \cdots \mid \overrightarrow {x}_t \mid \mathbf{X})$ невырождена. Докажите, что если $\mathbf{P}^{-1} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {y}_1^{*} \\ \vdots \\ \overrightarrow {y}_t^{*} \\ \mathbf{Y}^{*} \end{pmatrix}$, где $\overrightarrow {y}_i^{*}$ — строки, а $\mathbf{Y}^{*}$ имеет размер $(n-t) \times n$, то $\left\{ \overrightarrow {y}_1^{*}, \overrightarrow {y}_2^{*}, \ldots , \overrightarrow {y}_t^{*}\right\}$ — набор линейно независимых левых собственных векторов, отвечающих соответственно $\left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_t\right\}$ (т.е. $\overrightarrow {y}_i^{*}\mathbf{A} = \lambda_i \overrightarrow {y}_i^{*}$).

Пусть $\mathbf{A}$ — диагонализуемая матрица, и пусть $\rho (\star )$ обозначает спектральный радиус. Докажите, что $\lim_{k\to \infty } \mathbf{A}^k = \mathbf{0}$ тогда и только тогда, когда $\rho (\mathbf{A}) < 1$.

Примечание: этот результат справедлив и для недиагонализуемых матриц, как показано в другом месте текста.

Примените приём, используемый при доказательстве теоремы Шура о триангуляризации, чтобы построить ортогональную матрицу $\mathbf{P}$ такую, что $\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}$ верхнетреугольна для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 13 & -9 \\ 16 & -11 \end{pmatrix}$.

Проверьте теорему Кэли--Гамильтона для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 8 & -11 & -8 \\ -8 & 8 & 5 \end{pmatrix}$.

Указание: это матрица из примера 7.2.1 на стр. 507.

Поскольку сумма элементов каждой строки следующей симметричной матрицы $\mathbf{A}$ равна $4$, ясно, что $\overrightarrow {x} = (1,1,1,1)^T$ является одновременно правым и левым собственным вектором, отвечающим $\lambda =4 \in \sigma (\mathbf{A})$. Используя метод дефляции (перенормируйте $\overrightarrow {x}$ до единичной длины $\overrightarrow {y}$, постройте ортогональную матрицу $\mathbf{P} = [\overrightarrow {y} \mid \mathbf{X}]$, у которой $\overrightarrow {y}$ является первым столбцом, тогда оставшиеся собственные значения $\mathbf{A}$ в точности совпадают с собственными значениями меньшей матрицы $\mathbf{X}^T\mathbf{A}\mathbf{X}$), найдите оставшиеся собственные значения матрицы

Объясните, почему $\mathbf{A}\mathbf{G}_i = \mathbf{G}_i\mathbf{A} = \lambda_i \mathbf{G}_i$ для спектрального проектора $\mathbf{G}_i$, отвечающего собственному значению $\lambda_i$ диагонализируемой матрицы $\mathbf{A}$.

Докажите, что $\mathbf{A} = \overrightarrow {c}_{n\times 1}\overrightarrow {d}_{1\times n}^T$ диагонализируема тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {d}^T\overrightarrow {c} \ne 0$.

Докажите, что $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Z} \end{pmatrix}$ диагонализируема тогда и только тогда, когда $\mathbf{W}_{s\times s}$ и $\mathbf{Z}_{t\times t}$ каждая диагонализируема.

Докажите, что если $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$, то $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ можно одновременно привести к треугольному виду унитарным преобразованием подобия --- т.е. $\mathbf{U}^{*}\mathbf{A}\mathbf{U} = \mathbf{T}_1$ и $\mathbf{U}^{*}\mathbf{B}\mathbf{U} = \mathbf{T}_2$ для некоторой унитарной матрицы $\mathbf{U}$.

Указание: вспомните упражнение 7.1.20 вместе с ходом доказательства теоремы Шура о триангуляризации.

Для диагонализируемых матриц докажите, что $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ можно одновременно диагонализировать --- т.е. $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{D}_1$ и $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P} = \mathbf{D}_2$ для некоторой $\mathbf{P}$.

Указание: если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ коммутируют, то коммутируют и $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1\mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{pmatrix}$, $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{Z} \end{pmatrix}$.

Объясните, почему следующее <<доказательство>> теоремы Кэли--Гамильтона неверно: $p(\lambda ) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\right) \implies p(\mathbf{A}) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}\mathbf{I}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{0}\right) = 0$.

Покажите, что собственные значения матрицы конечных разностей

равны $\lambda_j = 4\sin^2\dfrac {j\pi }{2(n+1)}$, $1 \le j \le n$.

Пример 7.2.5 устанавливает, что собственные значения этой матрицы конечных разностей равны $\lambda_j = 2 - 2\cos \dfrac {j\pi }{n+1}$, $1 \le j \le n$.

Пусть $\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}_{n\times n}$.

Матрица Тёплица вида

называется циркулянтной матрицей. Если $p(x) = c_0+c_1 x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}$ и $\left\{ 1,\xi ,\xi^2,\ldots ,\xi^{n-1}\right\}$ — корни $n$-й степени из единицы, то результаты упражнения 5.8.12 (с.379) гарантируют, что

где $\mathbf{F}_n$ — матрица Фурье порядка $n$. Проверьте эти факты для приведённого ниже циркулянта, вычислив его собственные значения и собственные векторы непосредственно:

Предположим, что $(\lambda , \overrightarrow {x})$ и $(\mu , \overrightarrow {y}^{*})$ — правая и левая собственные пары матрицы $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ --- т.е. $\mathbf{A}\overrightarrow {x}=\lambda \overrightarrow {x}$ и $\overrightarrow {y}^{*}\mathbf{A}=\mu \overrightarrow {y}^{*}$. Объясните, почему $\overrightarrow {y}^{*}\overrightarrow {x}=0$ всякий раз, когда $\lambda \ne \mu$.

Рассмотрим $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$.

Рассмотрим $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ с $\lambda \in \sigma (\mathbf{A})$.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ с $\sigma (\mathbf{A}) = \left\{ \lambda_1,\lambda_2,\ldots ,\lambda_k\right\}$ покажите, что $\mathbf{A}$ диагонализуема тогда и только тогда, когда $\mathbb {R}^{n} = N(\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I}) \oplus N(\mathbf{A}-\lambda_2\mathbf{I}) \oplus \cdots \oplus N(\mathbf{A}-\lambda_k\mathbf{I})$.

Указание: Вспомните упражнение 5.9.14.

Теорема Шура о триангуляризации гарантирует, что всякая квадратная матрица $\mathbf{A}$ унитарно подобна верхнетреугольной матрице — скажем, $\mathbf{U}^{*}\mathbf{A}\mathbf{U}=\mathbf{T}$. Но даже если $\mathbf{A}$ вещественна, $\mathbf{U}$ и $\mathbf{T}$ могут оказаться комплексными, если $\mathbf{A}$ имеет комплексные собственные значения. Тем не менее, матрицы (и арифметику) можно сделать вещественными, если удовлетвориться блочно-треугольным результатом с блоками $2\times 2$ или скалярными элементами на диагонали. Докажите, что для каждой $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ существует ортогональная матрица $\mathbf{P} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ и вещественные матрицы $\mathbf{B}_{ij}$ такие, что

Если $\mathbf{B}_{jj} = [\lambda_j]$ имеет размер $1\times 1$, то $\lambda_j \in \sigma (\mathbf{A})$, а если $\mathbf{B}_{jj}$ имеет размер $2\times 2$, то $\sigma (\mathbf{B}_{jj}) = \left\{ \lambda_j, \overline{\lambda_j}\right\} \subseteq \sigma (\mathbf{A})$.

Когда $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ диагонализуема преобразованием подобия $\mathbf{S}$, матрица $\mathbf{S}$ может оказаться комплексной, если $\mathbf{A}$ имеет комплексные собственные значения. По аналогии с упражнением 7.2.25, можно остаться в области вещественных чисел, удовлетворившись блочно-диагональным результатом с элементами $1\times 1$ или $2\times 2$ на диагонали. Докажите, что если $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ диагонализуема с вещественными собственными значениями $\left\{ \rho_1,\ldots ,\rho_r\right\}$ и комплексными собственными значениями $\left\{ \lambda_1,\overline{\lambda_1},\lambda_2,\overline{\lambda_2},\ldots ,\lambda_t,\overline{\lambda_t}\right\}$ с $2t+r=n$, то существует невырожденная $\mathbf{P} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ и матрицы $\mathbf{B}_j \in \mathbb {R}^{2\times 2}$ такие, что

а $\mathbf{B}_j$ имеет собственные значения $\lambda_j$ и $\overline{\lambda_j}$.

Для $\mathbf{A} \in \mathcal{C}^{n\times n}$ докажите, что $\overrightarrow {x}^{*}\mathbf{A}\overrightarrow {x}=0$ для всех $\overrightarrow {x} \in \mathcal{C}^{n\times 1} \implies \mathbf{A}=\mathbf{0}$. Покажите, что $\overrightarrow {x}^T\mathbf{A}\overrightarrow {x}=0$ для всех $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n\times 1} \centernot \implies \mathbf{A}=\mathbf{0}$, даже если $\mathbf{A}$ вещественна.

Определите $\cos \mathbf{A}$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -\pi /2 & \pi /2 \\ \pi /2 & -\pi /2 \end{pmatrix}$.

Для матрицы $\mathbf{A}$ из примера 7.3.3 проверьте прямым вычислением, что $\mathrm{e}^{\lambda_1 t}\mathbf{G}_1 + \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\mathbf{G}_2 = \mathbf{P}\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_1 t} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\lambda_2 t} \end{pmatrix}\mathbf{P}^{-1} = \mathrm{e}^{\mathbf{A}t}$.

Матрица из примера 7.3.3: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & -(\alpha +\beta ) \end{pmatrix}$, где $\alpha , \beta > 0$ — константы.

Объясните, почему $\sin^2 \mathbf{A} + \cos^2 \mathbf{A} = \mathbf{I}$ для диагонализируемой матрицы $\mathbf{A}$.

Объясните, почему $\mathrm{e}^{\mathbf{0}} = \mathbf{I}$ для любой квадратной нулевой матрицы.