Функции недиагонализируемых матриц

Озеро $i$ в замкнутой системе из трёх озёр равного объёма $V$ первоначально содержит $c_i$ фунтов загрязняющего вещества. Если вода в системе циркулирует со скоростями (галлонов/сек), указанными на рисунке 7.9.2, найдите количество загрязняющего вещества в каждом озере в момент времени $t>0$ (предполагая непрерывное перемешивание), а затем определите загрязнённость каждого озера в долгосрочной перспективе.

Рисунок 7.9.2

Предположим, что $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n}$ имеет собственные значения $\lambda_i$ с $\operatorname {index}(\lambda_i)=k_i$. Объясните, почему $i$-й спектральный проектор задаётся формулой

Спектральное разложение $f(\mathbf{A})$: для $\mathbf{A}$ с $\sigma (\mathbf{A}) = \left\{ \lambda_1, \ldots , \lambda_s\right\}$, $k_i = \operatorname {index}(\lambda_i)$, и $f$ такой, что $f(\lambda_i), f'(\lambda_i), \ldots , f^{(k_i-1)}(\lambda_i)$ существуют для каждого $\lambda_i$,

Объясните, почему каждый спектральный проектор $\mathbf{G}_i$ можно выразить в виде многочлена от $\mathbf{A}$.

Если $\sigma (\mathbf{A}_{n\times n}) = \left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_s\right\}$ с $k_i = \operatorname {index}(\lambda_i)$, объясните, почему

Спектральное разложение $f(\mathbf{A})$: $f(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^s \sum_{j=0}^{k_i-1} \dfrac {f^{(j)}(\lambda_i)}{j!}(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I})^j\mathbf{G}_i$.

При соглашении $\binom {k}{j} = 0$ для $j>k$, объясните, почему для жорданова блока размера $k\times k$ с собственным значением $\lambda$

Функции жордановых блоков: для жорданова блока $\mathbf{J}_{\star }$ размера $k\times k$ с собственным значением $\lambda$, и для $f$ такой, что $f(\lambda ), f'(\lambda ), \ldots , f^{(k-1)}(\lambda )$ существуют,

Найдите $e^{\mathbf{A}}$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 8 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Для $f(z) = \sqrt[4]{z-1}$ найдите $f(\mathbf{A})$, если $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -3 & -8 & -9 \\ 5 & 11 & 9 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.

Докажите, что если $(\lambda , \overrightarrow {x})$ — собственная пара для $\mathbf{A}$, то $(f(\lambda ), \overrightarrow {x})$ — собственная пара для $f(\mathbf{A})$ всякий раз, когда $f(\mathbf{A})$ существует. Следует ли отсюда также, что $\operatorname {alg\ mult}_{\mathbf{A}}(\lambda ) = \operatorname {alg\ mult}_{f(\mathbf{A})}(f(\lambda ))$?

Пусть $f$ определена на $\mathbf{A}$, и пусть $\lambda \in \sigma (\mathbf{A})$. Приведите пример или объяснение того, почему следующие утверждения не обязательно верны.

Объясните, почему $\mathbf{A}f(\mathbf{A}) = f(\mathbf{A})\mathbf{A}$ всякий раз, когда $f(\mathbf{A})$ существует.

Объясните, почему функция $f$ определена на $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n}$ тогда и только тогда, когда $f$ определена на $\mathbf{A}^T$, а затем докажите, что $f(\mathbf{A}^T) = f(\mathbf{A})^T$. Почему нельзя использовать $(\, \cdot \, )^{*}$ вместо $(\, \cdot \, )^T$?

Используя приём записи $h(z) = p(f_1(z), f_2(z))$ для полиномиального тождества $p$, тождественно обращающегося в нуль, так что $h(\mathbf{A}) = p(f_1(\mathbf{A}), f_2(\mathbf{A})) = \mathbf{0}$, установите следующие тождества.

Найдите интерполяционный многочлен Эрмита $p(z)$, т.е. многочлен наименьшей степени, совпадающий со значениями и производными $f$ в каждом собственном значении вплоть до порядка на единицу меньше его индекса, такой что $p(\mathbf{A}) = e^{\mathbf{A}}$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -3 & -2 & -1 \\ -3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$.

Теорема Кэли--Гамильтона утверждает, что каждая $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n}$ удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению, и это гарантирует, что $\mathbf{A}^{n+j}$ ($j=0,1,2,\ldots$) может быть выражена как многочлен от $\mathbf{A}$ степени не выше $n-1$. Поскольку $f(\mathbf{A})$ всегда является многочленом от $\mathbf{A}$, теорема Кэли--Гамильтона гарантирует, что $f(\mathbf{A})$ может быть выражена как многочлен от $\mathbf{A}$ степени не выше $n-1$. Такой многочлен можно определить всякий раз, когда $f^{(j)}(\lambda_i)$, $j=0,1,\ldots ,a_i-1$ существует для каждого $\lambda_i \in \sigma (\mathbf{A})$, где $a_i = \operatorname {alg\ mult}(\lambda_i)$. Стратегия та же, что использовалась для нахождения интерполяционного многочлена Эрмита, согласованного с индексом собственного значения, за исключением того, что вместо $k_i$ используется $a_i$. Если мы можем найти многочлен $p(z) = \alpha_0+\alpha_1 z+\cdots +\alpha_{n-1}z^{n-1}$ такой, что для каждого $\lambda_i \in \sigma (\mathbf{A})$

то $p(\mathbf{A}) = f(\mathbf{A})$. Почему? Эти уравнения представляют собой линейную систему $n\times n$ с $\alpha_i$ в качестве неизвестных, и по той же причине, что и раньше, решение всегда возможно.

Покажите, что если $f$ — функция, определённая на

то $f(\mathbf{A}) = f(\alpha )\mathbf{I} + \beta f'(\alpha )\mathbf{N} + \left(\gamma f'(\alpha ) + \dfrac {\beta^2 f”(\alpha )}{2!}\right)\mathbf{N}^2$.

Если $h(z) = f(g(z))$, где $f$ и $g$ — функции, такие что $g(\mathbf{A})$ и $f(g(\mathbf{A}))$ каждая существует, то $h(\mathbf{A}) = f(g(\mathbf{A}))$. Однако доказывать это простой заменой ``$z$ на $\mathbf{A}$'' недопустимо. Один из способов доказать, что $h(\mathbf{A}) = f(g(\mathbf{A}))$, — показать, что $h(\mathbf{J}_{\star }) = f(g(\mathbf{J}_{\star }))$ для типичного жорданова блока, а затем воспользоваться тем, что $f(\mathbf{A}) = \mathbf{P}f(\mathbf{J})\mathbf{P}^{-1}$ строится поблочно из жордановых блоков $\mathbf{J}$. Проделайте это для жорданова блока $3\times 3$ --- обобщение на блоки $k\times k$ аналогично. То есть пусть $h(z) = f(g(z))$, и с помощью упражнения 7.9.17 докажите, что если $g(\mathbf{J}_{\star })$ и $f(g(\mathbf{J}_{\star }))$ каждая существует, то

Докажите, что если $\Gamma_i$ — простой замкнутый контур, охватывающий $\lambda_i \in \sigma (\mathbf{A})$, но не охватывающий остальные собственные значения $\mathbf{A}$, то $i$-й спектральный проектор равен

Для $f(z) = z^{-1}$ проверьте, что $f(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^{-1}$ для любой невырожденной $\mathbf{A}$.

Если $\Gamma$ — простой замкнутый контур, охватывающий все собственные значения невырожденной матрицы $\mathbf{A}$, чему равно значение $\dfrac {1}{2\pi i}\oint_{\Gamma } \xi^{-1}(\xi \mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}\, d\xi$?

Функция обращения $f(z) = z^{-1}$ не определена на вырожденных матрицах, но обобщённая функция обращения

определена на всех квадратных матрицах. Из упражнения 7.9.20 ясно, что если $\mathbf{A}$ невырожденна, то $g(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^{-1}$, так что $g(\mathbf{A})$ — естественный способ распространить понятие обращения на вырожденные матрицы. Объясните, почему $g(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^D$ является дрейзиновской обратной матрицей $\mathbf{A}$, а не обязательно псевдообратной Мура--Пенроуза $\mathbf{A}^{\dagger }$.

Пусть $\mathbf{A}$ — вырожденная матрица, и пусть $\Gamma$ — простой замкнутый контур, содержащий все собственные значения $\mathbf{A}$, кроме $\lambda_1=0$, которое не лежит ни внутри, ни на $\Gamma$. Докажите, что

есть дрейзиновская обратная матрица $\mathbf{A}$.