Диагонализация преобразованиями подобия

Приведите $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -8 & -6 \\ 12 & 10 \end{pmatrix}$ к диагональному виду с помощью преобразования подобия, либо объясните, почему $\mathbf{A}$ нельзя диагонализовать.

Покажите, что подобные матрицы не обязаны иметь одни и те же собственные векторы, приведя пример двух матриц, которые подобны, но имеют разные собственные подпространства.

$\lambda =2$ — собственное значение для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$. Найдите $\operatorname {alg\, mult}_{\mathbf{A}}(\lambda )$, а также $\operatorname {geo\, mult}_{\mathbf{A}}(\lambda )$. Можно ли на основании этих результатов сделать какой-либо вывод о диагонализуемости $\mathbf{A}$?

Если $\mathbf{B} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$, объясните, почему $\mathbf{B}^k = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}^k\mathbf{P}$.

Вычислите $\lim_{n\to \infty } \mathbf{A}^n$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 7/5 & 1/5 \\ -1 & 1/2 \end{pmatrix}$.

Пусть $\left\{ \overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_t\right\}$ — набор линейно независимых собственных векторов для $\mathbf{A}_{n\times n}$, отвечающих соответственно собственным значениям $\left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_t\right\}$, и пусть $\mathbf{X}$ — произвольная матрица размера $n \times (n-t)$ такая, что $\mathbf{P}_{n\times n} = (\overrightarrow {x}_1 \mid \cdots \mid \overrightarrow {x}_t \mid \mathbf{X})$ невырождена. Докажите, что если $\mathbf{P}^{-1} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {y}_1^{*} \\ \vdots \\ \overrightarrow {y}_t^{*} \\ \mathbf{Y}^{*} \end{pmatrix}$, где $\overrightarrow {y}_i^{*}$ — строки, а $\mathbf{Y}^{*}$ имеет размер $(n-t) \times n$, то $\left\{ \overrightarrow {y}_1^{*}, \overrightarrow {y}_2^{*}, \ldots , \overrightarrow {y}_t^{*}\right\}$ — набор линейно независимых левых собственных векторов, отвечающих соответственно $\left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_t\right\}$ (т.е. $\overrightarrow {y}_i^{*}\mathbf{A} = \lambda_i \overrightarrow {y}_i^{*}$).

Пусть $\mathbf{A}$ — диагонализуемая матрица, и пусть $\rho (\star )$ обозначает спектральный радиус. Докажите, что $\lim_{k\to \infty } \mathbf{A}^k = \mathbf{0}$ тогда и только тогда, когда $\rho (\mathbf{A}) < 1$.

Примечание: этот результат справедлив и для недиагонализуемых матриц, как показано в другом месте текста.

Примените приём, используемый при доказательстве теоремы Шура о триангуляризации, чтобы построить ортогональную матрицу $\mathbf{P}$ такую, что $\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}$ верхнетреугольна для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 13 & -9 \\ 16 & -11 \end{pmatrix}$.

Проверьте теорему Кэли--Гамильтона для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 8 & -11 & -8 \\ -8 & 8 & 5 \end{pmatrix}$.

Указание: это матрица из примера 7.2.1 на стр. 507.

Поскольку сумма элементов каждой строки следующей симметричной матрицы $\mathbf{A}$ равна $4$, ясно, что $\overrightarrow {x} = (1,1,1,1)^T$ является одновременно правым и левым собственным вектором, отвечающим $\lambda =4 \in \sigma (\mathbf{A})$. Используя метод дефляции (перенормируйте $\overrightarrow {x}$ до единичной длины $\overrightarrow {y}$, постройте ортогональную матрицу $\mathbf{P} = [\overrightarrow {y} \mid \mathbf{X}]$, у которой $\overrightarrow {y}$ является первым столбцом, тогда оставшиеся собственные значения $\mathbf{A}$ в точности совпадают с собственными значениями меньшей матрицы $\mathbf{X}^T\mathbf{A}\mathbf{X}$), найдите оставшиеся собственные значения матрицы

Объясните, почему $\mathbf{A}\mathbf{G}_i = \mathbf{G}_i\mathbf{A} = \lambda_i \mathbf{G}_i$ для спектрального проектора $\mathbf{G}_i$, отвечающего собственному значению $\lambda_i$ диагонализируемой матрицы $\mathbf{A}$.

Докажите, что $\mathbf{A} = \overrightarrow {c}_{n\times 1}\overrightarrow {d}_{1\times n}^T$ диагонализируема тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {d}^T\overrightarrow {c} \ne 0$.

Докажите, что $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Z} \end{pmatrix}$ диагонализируема тогда и только тогда, когда $\mathbf{W}_{s\times s}$ и $\mathbf{Z}_{t\times t}$ каждая диагонализируема.

Докажите, что если $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$, то $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ можно одновременно привести к треугольному виду унитарным преобразованием подобия --- т.е. $\mathbf{U}^{*}\mathbf{A}\mathbf{U} = \mathbf{T}_1$ и $\mathbf{U}^{*}\mathbf{B}\mathbf{U} = \mathbf{T}_2$ для некоторой унитарной матрицы $\mathbf{U}$.

Указание: вспомните упражнение 7.1.20 вместе с ходом доказательства теоремы Шура о триангуляризации.

Для диагонализируемых матриц докажите, что $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ можно одновременно диагонализировать --- т.е. $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{D}_1$ и $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P} = \mathbf{D}_2$ для некоторой $\mathbf{P}$.

Указание: если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ коммутируют, то коммутируют и $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1\mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{pmatrix}$, $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{Z} \end{pmatrix}$.

Объясните, почему следующее <<доказательство>> теоремы Кэли--Гамильтона неверно: $p(\lambda ) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\right) \implies p(\mathbf{A}) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}\mathbf{I}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{0}\right) = 0$.

Покажите, что собственные значения матрицы конечных разностей

равны $\lambda_j = 4\sin^2\dfrac {j\pi }{2(n+1)}$, $1 \le j \le n$.

Пример 7.2.5 устанавливает, что собственные значения этой матрицы конечных разностей равны $\lambda_j = 2 - 2\cos \dfrac {j\pi }{n+1}$, $1 \le j \le n$.

Пусть $\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}_{n\times n}$.

Матрица Тёплица вида

называется циркулянтной матрицей. Если $p(x) = c_0+c_1 x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}$ и $\left\{ 1,\xi ,\xi^2,\ldots ,\xi^{n-1}\right\}$ — корни $n$-й степени из единицы, то результаты упражнения 5.8.12 (с.379) гарантируют, что

где $\mathbf{F}_n$ — матрица Фурье порядка $n$. Проверьте эти факты для приведённого ниже циркулянта, вычислив его собственные значения и собственные векторы непосредственно:

Предположим, что $(\lambda , \overrightarrow {x})$ и $(\mu , \overrightarrow {y}^{*})$ — правая и левая собственные пары матрицы $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ --- т.е. $\mathbf{A}\overrightarrow {x}=\lambda \overrightarrow {x}$ и $\overrightarrow {y}^{*}\mathbf{A}=\mu \overrightarrow {y}^{*}$. Объясните, почему $\overrightarrow {y}^{*}\overrightarrow {x}=0$ всякий раз, когда $\lambda \ne \mu$.

Рассмотрим $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$.

Рассмотрим $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ с $\lambda \in \sigma (\mathbf{A})$.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ с $\sigma (\mathbf{A}) = \left\{ \lambda_1,\lambda_2,\ldots ,\lambda_k\right\}$ покажите, что $\mathbf{A}$ диагонализуема тогда и только тогда, когда $\mathbb {R}^{n} = N(\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I}) \oplus N(\mathbf{A}-\lambda_2\mathbf{I}) \oplus \cdots \oplus N(\mathbf{A}-\lambda_k\mathbf{I})$.

Указание: Вспомните упражнение 5.9.14.

Теорема Шура о триангуляризации гарантирует, что всякая квадратная матрица $\mathbf{A}$ унитарно подобна верхнетреугольной матрице — скажем, $\mathbf{U}^{*}\mathbf{A}\mathbf{U}=\mathbf{T}$. Но даже если $\mathbf{A}$ вещественна, $\mathbf{U}$ и $\mathbf{T}$ могут оказаться комплексными, если $\mathbf{A}$ имеет комплексные собственные значения. Тем не менее, матрицы (и арифметику) можно сделать вещественными, если удовлетвориться блочно-треугольным результатом с блоками $2\times 2$ или скалярными элементами на диагонали. Докажите, что для каждой $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ существует ортогональная матрица $\mathbf{P} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ и вещественные матрицы $\mathbf{B}_{ij}$ такие, что

Если $\mathbf{B}_{jj} = [\lambda_j]$ имеет размер $1\times 1$, то $\lambda_j \in \sigma (\mathbf{A})$, а если $\mathbf{B}_{jj}$ имеет размер $2\times 2$, то $\sigma (\mathbf{B}_{jj}) = \left\{ \lambda_j, \overline{\lambda_j}\right\} \subseteq \sigma (\mathbf{A})$.

Когда $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ диагонализуема преобразованием подобия $\mathbf{S}$, матрица $\mathbf{S}$ может оказаться комплексной, если $\mathbf{A}$ имеет комплексные собственные значения. По аналогии с упражнением 7.2.25, можно остаться в области вещественных чисел, удовлетворившись блочно-диагональным результатом с элементами $1\times 1$ или $2\times 2$ на диагонали. Докажите, что если $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ диагонализуема с вещественными собственными значениями $\left\{ \rho_1,\ldots ,\rho_r\right\}$ и комплексными собственными значениями $\left\{ \lambda_1,\overline{\lambda_1},\lambda_2,\overline{\lambda_2},\ldots ,\lambda_t,\overline{\lambda_t}\right\}$ с $2t+r=n$, то существует невырожденная $\mathbf{P} \in \mathbb {R}^{n\times n}$ и матрицы $\mathbf{B}_j \in \mathbb {R}^{2\times 2}$ такие, что

а $\mathbf{B}_j$ имеет собственные значения $\lambda_j$ и $\overline{\lambda_j}$.

Для $\mathbf{A} \in \mathcal{C}^{n\times n}$ докажите, что $\overrightarrow {x}^{*}\mathbf{A}\overrightarrow {x}=0$ для всех $\overrightarrow {x} \in \mathcal{C}^{n\times 1} \implies \mathbf{A}=\mathbf{0}$. Покажите, что $\overrightarrow {x}^T\mathbf{A}\overrightarrow {x}=0$ для всех $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n\times 1} \centernot \implies \mathbf{A}=\mathbf{0}$, даже если $\mathbf{A}$ вещественна.