Банк задач по математике

Задача 7.6.1

Какие из следующих матриц являются положительно определёнными?

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 20 & 6 & 8 \\ 6 & 3 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}.

?

Задача 7.6.2

(a)(b)(c)

Две массы $m_1$ и $m_2$ подвешены между тремя одинаковыми пружинами (с жёсткостью $k$ ), как показано на рисунке 7.6.7. Каждая масса первоначально смещается из положения равновесия на некоторое горизонтальное расстояние и отпускается для свободных колебаний (предполагается, что вертикального смещения нет).

Рисунок 7.6.7

?

(a)

Если $x_i(t)$ обозначает горизонтальное смещение массы $m_i$ от положения равновесия в момент времени $t$ , покажите, что $\mathbf{M}\overrightarrow {x}'' = \mathbf{K}\overrightarrow {x}$ , где

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}, \quad \text{и} \quad \mathbf{K} = k\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

(Считайте силу, направленную влево, положительной.) Заметьте, что уравнение массы-жёсткости $\mathbf{M}\overrightarrow {x}'' = \mathbf{K}\overrightarrow {x}$ представляет собой матричную версию закона Гука $F=kx$ , и $\mathbf{K}$ положительно определена.

(b)

Ищите решение в виде $\overrightarrow {x} = e^{i\theta t}\overrightarrow {v}$ для некоторого постоянного вектора $\overrightarrow {v}$ и покажите, что это сводит задачу к решению алгебраического уравнения вида $\mathbf{K}\overrightarrow {v} = \lambda \mathbf{M}\overrightarrow {v}$ (при $\lambda = -\theta^2$ ). Это называется обобщённой задачей о собственных значениях, поскольку при $\mathbf{M} = \mathbf{I}$ мы возвращаемся к обычной задаче о собственных значениях. Обобщённые собственные значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ являются корнями уравнения $\operatorname {det}\left(\mathbf{K}-\lambda \mathbf{M}\right) = 0$ --- найдите их при $k=1$ , $m_1=1$ и $m_2=2$ и опишите две моды колебаний.

(c)

Положите $m_1 = m_2 = m$ и примените технику, использованную в примере с колеблющимися бусинами, чтобы определить нормальные моды. Сравните результаты с результатами пункта (б).

Задача 7.6.3

(a)(b)(c)

Три массы $m_1$ , $m_2$ и $m_3$ подвешены на трёх одинаковых пружинах (с жёсткостью $k$ ), как показано ниже. Каждая масса первоначально смещается из положения равновесия на некоторое вертикальное расстояние, а затем отпускается для свободных колебаний.

Три массы, подвешенные последовательно на трёх одинаковых пружинах

?

(a)

Если $y_i(t)$ обозначает смещение массы $m_i$ от положения равновесия в момент времени $t$ , покажите, что уравнение массы-жёсткости имеет вид $\mathbf{M}\overrightarrow {y}'' = \mathbf{K}\overrightarrow {y}$ , где

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {y} = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \\ y_3(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{K} = k\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

( $k_{33}=1$ --- это не ошибка!).

(b)

Покажите, что $\mathbf{K}$ положительно определена.

(c)

Найдите нормальные моды при $m_1=m_2=m_3=m$ .

Задача 7.6.4

Диагонализуя квадратичную форму $13x^2+10xy+13y^2$ , покажите, что повёрнутый график $13x^2+10xy+13y^2=72$ представляет собой эллипс в каноническом виде.

Рисунок 7.2.1 (стр. 505) показывает этот эллипс: в системе координат $xy$ он расположен наклонно, с уравнением $13x^2+10xy+13y^2=72$ ; поворот системы координат $xy$ против часовой стрелки на $45^{\circ }$ в систему координат $uv$ устраняет перекрёстный член, и уравнение эллипса становится $u^2/9+v^2/4=1$ .

?

Задача 7.6.5

Предположим, что $\mathbf{A}$ --- вещественная симметричная матрица. Объясните, почему знаки главных элементов (пивотов) в $\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{U}$ -разложении матрицы $\mathbf{A}$ показывают инерцию матрицы $\mathbf{A}$ .

?

Задача 7.6.6

Рассмотрим квадратичную форму

f(\overrightarrow {x}) = \frac{1}{9}\bigl(-2x_1^2+7x_2^2+4x_3^2+4x_1x_2+16x_1x_3+20x_2x_3\bigr).

?

(a)

Найдите симметричную матрицу $\mathbf{A}$ , такую что $f(\overrightarrow {x}) = \overrightarrow {x}^T\mathbf{A}\overrightarrow {x}$ .

(b)

Диагонализуйте квадратичную форму с помощью разложения $\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T$ и определите сигнатуру (инерцию) матрицы $\mathbf{A}$ .

(c)

Является ли эта форма положительно определённой?

(d)

Проверьте правильность найденной выше инерции, вычислив собственные значения матрицы $\mathbf{A}$ .

(e)

Проверьте закон инерции Сильвестра, придумав преобразование конгруэнтности $\mathbf{C}$ и вычислив инерцию матрицы $\mathbf{C}^T\mathbf{A}\mathbf{C}$ .

Задача 7.6.7

Объясните, почему каждая невырожденная матрица $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n}$ может быть единственным образом разложена в виде $\mathbf{A} = \mathbf{R}\mathbf{U}$ , где $\mathbf{R}$ — эрмитова положительно определённая матрица, а $\mathbf{U}$ — унитарная матрица. Это матричный аналог полярной формы комплексного числа $z = re^{i\theta }$ , $r>0$ , поскольку эрмитовы положительно определённые матрицы размера $1\times 1$ — это положительные вещественные числа, а унитарные матрицы размера $1\times 1$ — это точки на единичной окружности.

?

Примечание.

?

Указание: сначала объясните, почему $\mathbf{R} = (\mathbf{A}\mathbf{A}^{*})^{1/2}$ .

Задача 7.6.8

Объясните, почему попытки получить более точные приближения к решению задачи Дирихле, дискретизированной в виде $\mathbf{L}\overrightarrow {u}=\overrightarrow {g}$ (дискретная лапласова система из примера 7.6.2), путём использования более мелких сеток с большим числом узлов приводят ко всё более плохо обусловленной линейной системе $\mathbf{L}\overrightarrow {u}=\overrightarrow {g}$ .

Дискретизация в примере 7.6.2 даёт собственные значения дискретного лапласиана $\mathbf{L}$ в виде $\lambda_{ij} = 4 - 2\cos \bigl(\frac{i\pi }{n+1}\bigr) - 2\cos \bigl(\frac{j\pi }{n+1}\bigr)$ для $i,j = 1, 2, \ldots , n$ , где $n$ — число внутренних узлов сетки на одной стороне.

?

Задача 7.6.9

Для заданной функции $f$ уравнение $\nabla^2 u = f$ называется уравнением Пуассона. Рассмотрим уравнение Пуассона на квадрате в двумерном пространстве с граничными условиями Дирихле. То есть

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = f(x,y) \quad \text{при} \quad u(x,y) = g(x,y) \text{ на границе.}

Дискретизируем задачу, наложив на квадрат регулярную сетку с $n^2$ внутренними узлами, отстоящими друг от друга на расстояние $h$ , как в примере 7.6.2. Пусть $f_{ij} = f(x_i,y_j)$ , и определим вектор $\overrightarrow {f}$ как $\overrightarrow {f} = (f_{11}, f_{12}, \ldots , f_{1n} \mid f_{21}, f_{22}, \ldots , f_{2n} \mid \cdots \mid f_{n1}, f_{n2}, \ldots , f_{nn})^T$ . Покажите, что дискретизация уравнения Пуассона приводит к системе линейных уравнений вида $\mathbf{L}\overrightarrow {u} = \overrightarrow {g}-h^2\overrightarrow {f}$ , где $\mathbf{L}$ — дискретный лапласиан, а $\overrightarrow {u}$ и $\overrightarrow {g}$ такие же, как описано в примере 7.6.2.

?

Задача 7.6.10

Как определено в упражнении 5.8.15 и обсуждено в упражнении 7.8.11, произведение Кронекера (иногда называемое тензорным произведением или прямым произведением) матриц $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\mathbf{B}_{p \times q}$ — это матрица размера $mp \times nq$

\mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11}\mathbf{B} & a_{12}\mathbf{B} & \cdots & a_{1n}\mathbf{B} \\ a_{21}\mathbf{B} & a_{22}\mathbf{B} & \cdots & a_{2n}\mathbf{B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}\mathbf{B} & a_{m2}\mathbf{B} & \cdots & a_{mn}\mathbf{B} \end{pmatrix}.

Проверьте, что если $\mathbf{I}_n$ — единичная матрица размера $n\times n$ , и если

\mathbf{A}_n = \begin{pmatrix} 2 & -1 & & \\ -1 & 2 & -1 & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 \end{pmatrix}_{n \times n}

— матрица конечных разностей $n$ -го порядка, то дискретный лапласиан задаётся формулой

\mathbf{L}_{n^2 \times n^2} = (\mathbf{I}_n \otimes \mathbf{A}_n) + (\mathbf{A}_n \otimes \mathbf{I}_n).

Таким образом, мы получаем изящную матричную связь между конечно-разностными приближениями одномерного и двумерного лапласианов. Эта формула ведёт к простому альтернативному выводу формулы (7.6.8) --- см. упражнение 7.8.12. Как можно догадаться, дискретный трёхмерный лапласиан имеет вид

\mathbf{L}_{n^3 \times n^3} = (\mathbf{I}_n \otimes \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{A}_n) + (\mathbf{I}_n \otimes \mathbf{A}_n \otimes \mathbf{I}_n) + (\mathbf{A}_n \otimes \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{I}_n).

?

Положительно определённые матрицы