Системы дифференциальных уравнений

Пусть $\mathbf{A}_{n\times n}$ диагонализуема, и пусть $\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {x}_1 \mid \overrightarrow {x}_2 \mid \cdots \mid \overrightarrow {x}_n \end{pmatrix}$ — матрица, столбцами которой служит полный набор линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственным значениям $\lambda_i$. Покажите, что решение уравнения $\overrightarrow {u}' = \mathbf{A}\overrightarrow {u}$, $\overrightarrow {u}(0) = \overrightarrow {c}$, можно записать в виде

где коэффициенты $\xi_i$ удовлетворяют алгебраической системе $\mathbf{P}\overrightarrow {\xi } = \overrightarrow {c}$.

Используя только собственные значения, определите поведение решения уравнения $\overrightarrow {u}' = \mathbf{A}\overrightarrow {u}$, $\overrightarrow {u}(0) = \overrightarrow {c}$ при $t \to \infty$ для каждой из следующих матриц.

Рассмотрим два вида, сосуществующих в одной и той же среде, но конкурирующих за одни и те же ресурсы. Предположим, что численность каждого вида растёт пропорционально численности своего собственного вида, но убывает пропорционально численности конкурирующего вида — скажем, численность каждого вида растёт со скоростью, равной удвоенной его существующей численности, но убывает со скоростью, равной численности другой популяции. Предположим, что первоначально имеется 100 особей вида I и 200 особей вида II.

Рассмотрим два вида, выживающих в симбиотических отношениях в том смысле, что численность каждого вида убывает со скоростью, равной его собственной существующей численности, но растёт со скоростью, равной существующей численности другого вида.