Нильпотентные матрицы и жорданова структура

Может ли индекс нильпотентной матрицы размера $n\times n$ превышать $n$?

Определите все возможные жордановы формы $\mathbf{N}$ для нильпотентной матрицы размера $4\times 4$.

Объясните, почему число блоков размера $i\times i$ или больше в жордановой форме для нильпотентной матрицы задаётся выражением $\operatorname {rk}\left(\mathbf{L}^{i-1}\right) - \operatorname {rk}\left(\mathbf{L}^i\right)$.

Для нильпотентной матрицы $\mathbf{L}$ индекса $k$ пусть $M_i = R(\mathbf{L}^i) \cap N(\mathbf{L})$. Докажите, что $M_i \subseteq M_{i-1}$ для каждого $i=0,1,\ldots ,k$.

Докажите, что $R(\mathbf{L}^{k-1}) \cap N(\mathbf{L}) = R(\mathbf{L}^{k-1})$ для всех нильпотентных матриц $\mathbf{L}$ индекса $k>1$. Иными словами, докажите, что $M_{k-1} = R(\mathbf{L}^{k-1})$.

Пусть $\mathbf{L}$ — нильпотентная матрица индекса $k>1$. Докажите, что если столбцы $\mathbf{B}$ образуют базис для $R(\mathbf{L}^i)$ при $i \le k-1$, и если $\left\{ \overrightarrow {v}_1, \overrightarrow {v}_2, \ldots , \overrightarrow {v}_s\right\}$ — базис для $N(\mathbf{L}\mathbf{B})$, то $\left\{ \mathbf{B}\overrightarrow {v}_1, \mathbf{B}\overrightarrow {v}_2, \ldots , \mathbf{B}\overrightarrow {v}_s\right\}$ — базис для $M_i$.

Найдите $\mathbf{P}$ и $\mathbf{N}$ такие, что $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{L}\mathbf{P} = \mathbf{N}$ имеет жорданову форму, где

Определите жорданову форму для следующей нильпотентной матрицы $8\times 8$.

Докажите, что если $\mathbf{N}$ — жорданова форма для нильпотентной матрицы $\mathbf{L}$, как описано ниже, то для любого набора ненулевых скаляров $\left\{ \zeta_1, \zeta_2, \ldots , \zeta_t\right\}$ матрица $\mathbf{L}$ подобна матрице $\tilde{\mathbf{N}}$ вида

Иными словами, единицы на наддиагонали блоков $\mathbf{N}_i$ являются искусственными, поскольку на наддиагональ любого $\mathbf{N}_i$ можно принудительно поместить любое ненулевое значение. Важным в «жордановой структуре» матрицы $\mathbf{L}$ является число и размеры нильпотентных жордановых блоков (или цепочек), а не значения, стоящие на наддиагоналях этих блоков.

Жорданова форма для нильпотентной матрицы: всякая нильпотентная матрица $\mathbf{L}_{n\times n}$ индекса $k$ подобна блочно-диагональной матрице $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{L}\mathbf{P} = \mathbf{N} = \operatorname {diag}(\mathbf{N}_1, \mathbf{N}_2, \ldots , \mathbf{N}_t)$, в которой каждый блок $\mathbf{N}_j$ — нильпотентная матрица с единицами на наддиагонали и нулями в остальных местах.