Минимальные многочлены и методы Крылова

Найдите минимальный многочлен для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \\ -4 & -1 & -1 \end{pmatrix}$.

Найдите минимальный многочлен вектора $\overrightarrow {b} = (-1,1,1)^T$ относительно матрицы $\mathbf{A}$ из упражнения 7.11.1.

Используя метод Крылова, найдите характеристический многочлен матрицы $\mathbf{A}$ из упражнения 7.11.1.

Какова жорданова форма матрицы, минимальный многочлен которой равен $m(x) = (x-\lambda )(x-\mu )^2$, а характеристический многочлен — $c(x) = (x-\lambda )^2(x-\mu )^4$?

Используя метод вычисления минимального многочлена матрицы через ортогонализованную крыловскую последовательность (последовательно ортогонализуя по Граму--Шмидту $\mathbf{I}, \mathbf{A}, \mathbf{A}^2, \ldots$ в скалярном произведении Фробениуса $\langle \mathbf{X} \mid \mathbf{Y} \rangle = \operatorname {trace}(\mathbf{X}^T\mathbf{Y})$ до тех пор, пока не окажется, что степень $\mathbf{A}^k$ является линейной комбинацией предыдущих ортогонализованных членов $\mathbf{U}_0, \ldots , \mathbf{U}_{k-1}$, причём коэффициенты находятся решением треугольной системы $\mathbf{R}\overrightarrow {c} = \mathbf{R}^{-1}$ относительно $\alpha_i$), найдите минимальный многочлен для

Объясните, почему подобные матрицы имеют одинаковые минимальный и характеристический многочлены.

Покажите, что две матрицы могут иметь одинаковые минимальный и характеристический многочлены, не будучи подобными, рассмотрев $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{N} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{N} \end{pmatrix}$ и $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{N} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$, где $\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Докажите, что если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — циклические матрицы с одинаковым характеристическим многочленом, то $\mathbf{A}$ подобна $\mathbf{B}$.

Используя алгоритм Ланцоша, найдите ортогональную матрицу $\mathbf{P}$ такую, что $\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{T}$ трёхдиагональна, где $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Начиная с $\overrightarrow {x}_0 = \overrightarrow {0}$, примените алгоритм сопряжённых градиентов для решения $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, где $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Используя алгоритм Арнольди, найдите ортогональную матрицу $\mathbf{Q}$ такую, что $\mathbf{Q}^T\mathbf{A}\mathbf{Q} = \mathbf{H}$ имеет верхнюю форму Хессенберга, где $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \\ -4 & -1 & -1 \end{pmatrix}$.

Используя GMRES, решите $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \\ -4 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.