Функции диагонализируемых матриц

Определите $\cos \mathbf{A}$ для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -\pi /2 & \pi /2 \\ \pi /2 & -\pi /2 \end{pmatrix}$.

Для матрицы $\mathbf{A}$ из примера 7.3.3 проверьте прямым вычислением, что $\mathrm{e}^{\lambda_1 t}\mathbf{G}_1 + \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\mathbf{G}_2 = \mathbf{P}\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_1 t} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\lambda_2 t} \end{pmatrix}\mathbf{P}^{-1} = \mathrm{e}^{\mathbf{A}t}$.

Матрица из примера 7.3.3: $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & -(\alpha +\beta ) \end{pmatrix}$, где $\alpha , \beta > 0$ — константы.

Объясните, почему $\sin^2 \mathbf{A} + \cos^2 \mathbf{A} = \mathbf{I}$ для диагонализируемой матрицы $\mathbf{A}$.

Объясните, почему $\mathrm{e}^{\mathbf{0}} = \mathbf{I}$ для любой квадратной нулевой матрицы.

Свойство спектрального отображения для диагонализируемых матриц гласит, что если $f(\mathbf{A})$ существует и $\left\{ \lambda_1,\lambda_2,\ldots ,\lambda_n\right\}$ — собственные значения $\mathbf{A}_{n\times n}$ (с учётом кратностей), то $\left\{ f(\lambda_1),\ldots ,f(\lambda_n)\right\}$ — собственные значения $f(\mathbf{A})$.

Объясните, почему $\operatorname {det}\left(\mathrm{e}^{\mathbf{A}}\right) = \mathrm{e}^{\operatorname {trace}(\mathbf{A})}$.

Предположим, что для недиагонализируемых матриц $\mathbf{A}_{m\times m}$ бесконечный ряд $f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$ используется для определения $f(\mathbf{A}) = \sum_{n=0}^\infty c_n(\mathbf{A}-z_0\mathbf{I})^n$. Не обращая внимания на вопросы сходимости, объясните, почему существует многочлен $p(z)$ степени не выше $m-1$ такой, что $f(\mathbf{A}) = p(\mathbf{A})$.

Если $f(\mathbf{A})$ существует для диагонализируемой $\mathbf{A}$, объясните, почему $\mathbf{A}f(\mathbf{A}) = f(\mathbf{A})\mathbf{A}$. Что можно сказать, когда $\mathbf{A}$ не диагонализируема?

Объясните, почему $\mathrm{e}^{\mathbf{A}+\mathbf{B}} = \mathrm{e}^{\mathbf{A}}\mathrm{e}^{\mathbf{B}}$, если $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$. Приведите пример, показывающий, что $\mathrm{e}^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}$, $\mathrm{e}^{\mathbf{A}}\mathrm{e}^{\mathbf{B}}$ и $\mathrm{e}^{\mathbf{B}}\mathrm{e}^{\mathbf{A}}$ могут все различаться, когда $\mathbf{A}\mathbf{B} \ne \mathbf{B}\mathbf{A}$.

Указание: Задачу 7.2.16 можно использовать для диагонализируемого случая. Для общего случая рассмотрите $\mathbf{F}(t) = \mathrm{e}^{(\mathbf{A}+\mathbf{B})t} - \mathrm{e}^{\mathbf{A}t}\mathrm{e}^{\mathbf{B}t}$ и $\mathbf{F}'(t)$.

Покажите, что $\mathrm{e}^{\mathbf{A}}$ является ортогональной матрицей всякий раз, когда $\mathbf{A}$ кососимметрична.

Некоторое электронное устройство состоит из набора переключающих схем, которые могут находиться либо во включённом (ON) состоянии, либо в выключенном (OFF) состоянии. Эти электронные переключатели могут менять состояние через регулярные промежутки времени, называемые тактами. Предположим, что в конце каждого такта $30\%$ переключателей, находящихся в состоянии OFF, переходят в состояние ON, а $90\%$ находящихся в состоянии ON возвращаются в состояние OFF.

Спектральный радиус матрицы $\mathbf{A}$ определяется как $\rho (\mathbf{A}) = \max_{\lambda_i \in \sigma (\mathbf{A})} \left|\lambda_i\right|$. Докажите, что если $\mathbf{A}$ диагонализируема, то

Замечание: Этот результат верен и для недиагонализируемых матриц, но доказательство на данном этапе более сложно.

Найдите доминирующую собственную пару для $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -6 & -2 & -2 \end{pmatrix}$ методом степенных итераций.

Примените метод обратных степенных итераций, чтобы найти собственный вектор для каждого из собственных значений матрицы $\mathbf{A}$ из задачи 7.3.13.

Объясните, почему функция $m(\overrightarrow {v})$, используемая при построении метода степенных итераций, не является непрерывной функцией, так что утверждения вроде $m(\overrightarrow {x}_n) \to m(\overrightarrow {x})$ при $\overrightarrow {x}_n \to \overrightarrow {x}$ неверны. Тем не менее, если $\lim_{n\to \infty } \overrightarrow {x}_n \ne \overrightarrow {0}$, то $\lim_{n\to \infty } m(\overrightarrow {x}_n) \ne 0$.

Пусть $\mathbf{H} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Покажите, что QR-итерация может не сходиться, на примере $\mathbf{H} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.