Нормальные матрицы

Является ли $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5+i & -2i \\ 2 & 4+2i \end{pmatrix}$ нормальной матрицей?

Приведите примеры двух различных классов нормальных матриц, которые вещественны, но не симметричны.

Покажите, что $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n \times n}$ нормальна и имеет вещественные собственные значения тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ симметрична.

Докажите, что собственные значения вещественной кососимметрической или косоэрмитовой матрицы обязательно являются чисто мнимыми числами (то есть кратными $i$).

При попытке решить, что верно для матриц, а что нет, полезно мыслить в терминах следующих соответствий.

Например, комплексная функция $f(z) = (1-z)(1+z)^{-1}$ отображает мнимую ось комплексной плоскости в точки единичной окружности, поскольку $\left|f(z)\right|^2=1$ всякий раз, когда $\overline{z}=-z$. Поэтому разумно предположить (как это сделал Кэли в 1846 году), что если $\mathbf{A}$ косоэрмитова (или вещественная кососимметрическая), то

унитарна (или ортогональна). Докажите, что это действительно так.

Покажите на примере, что нормальная матрица может иметь полный независимый набор собственных векторов, не являющийся ортонормированным, а затем объясните, как любой полный независимый набор собственных векторов нормальной матрицы можно преобразовать в полный ортонормированный набор собственных векторов.

Постройте пример, показывающий, что обратное утверждение к «если $\mathbf{A}$ нормальна, то $N(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I}) \perp N(\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I})$ при $\lambda_i \ne \lambda_j$» неверно. Иными словами, покажите, что возможна ситуация, когда $N(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I}) \perp N(\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I})$ при всех $i \ne j$, но при этом $\mathbf{A}$ не является нормальной.

Объясните, почему треугольная матрица нормальна тогда и только тогда, когда она диагональна.

Используя результат упражнения 7.5.8, дайте альтернативное доказательство теоремы об унитарной диагонализации, которая утверждает, что $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n}$ унитарно подобна диагональной матрице тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$.

Для нормальной матрицы $\mathbf{A}$ объясните, почему $(\lambda , \overrightarrow {x})$ является собственной парой для $\mathbf{A}$ тогда и только тогда, когда $(\overline{\lambda }, \overrightarrow {x})$ является собственной парой для $\mathbf{A}^{*}$.

Чтобы проверить, поняли ли вы доказательство min-max-части теоремы Куранта--Фишера, постройте аналогичное доказательство для max-min-части.

Теорема Куранта--Фишера, min-max-часть: если $\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n}$ эрмитова с собственными значениями $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_n$, то

а max-min-часть утверждает аналогичную формулу

Теорема Куранта--Фишера имеет следующую альтернативную формулировку при $1 < i < n$:

Чтобы проверить, действительно ли вы понимаете доказательство min-max-части теоремы Куранта--Фишера, адаптируйте его для доказательства приведённой выше альтернативной min-max-формулировки.