7.8

Жорданова форма

[13/100%]
Показать
LaTeX
Задача 7.8.1

Найдите жорданову форму следующей матрицы, различные собственные значения которой σ(A)={0,−1,1}\sigma (\mathbf{A}) = \left\{ 0,-1,1\right\}. Не пугайтесь размера A\mathbf{A}.

A=(−4−5−31−201−2473−130−120−1000000−112−420−31−8−14−51−601−4474−33−1−342−2−25−304−167302003). \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -4 & -5 & -3 & 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ 4 & 7 & 3 & -1 & 3 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & -4 & 2 & 0 & -3 & 1 \\ -8 & -14 & -5 & 1 & -6 & 0 & 1 & -4 \\ 4 & 7 & 4 & -3 & 3 & -1 & -3 & 4 \\ 2 & -2 & -2 & 5 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 6 & 7 & 3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
?
Задача 7.8.2

Для матрицы A=(301−41−2−40−1)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & -2 \\ -4 & 0 & -1 \end{pmatrix}, используя стандартную процедуру построения жорданова базиса, постройте невырожденную матрицу P\mathbf{P} такую, что P−1AP=J\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{J} имеет жорданову форму.

?
Задача 7.8.3

Объясните, почему index⁡(λ)≤alg mult⁡(λ)\operatorname {index}(\lambda ) \le \operatorname {alg\ mult}(\lambda ) для каждого λ∈σ(An×n)\lambda \in \sigma (\mathbf{A}_{n\times n}).

?
Задача 7.8.4

Объясните, почему index⁡(λ)=1\operatorname {index}(\lambda ) = 1 тогда и только тогда, когда λ\lambda — полупростое собственное значение.

?
Задача 7.8.5

Докажите, что каждая квадратная матрица подобна своей транспонированной.

?
Примечание.
?

Указание: рассмотрите «матрицу обращения» R=(11\iddots1)\mathbf{R} = \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & 1 & \\ & \iddots & & \\ 1 & & & \end{pmatrix}, полученную обращением порядка строк (или столбцов) единичной матрицы I\mathbf{I}.

Задача 7.8.6

Докажите теорему Кэли--Гамильтона с помощью жордановой формы; то есть докажите, что каждая матрица A∈Cn×n\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n} удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению.

?
Задача 7.8.7

Докажите, что если λ\lambda — собственное значение матрицы A∈Cn×n\mathbf{A} \in \mathbb {C}^{n \times n} такое, что index⁡(λ)=k\operatorname {index}(\lambda ) = k и alg mult⁡A(λ)=m\operatorname {alg\ mult}_{\mathbf{A}}(\lambda ) = m, то dim⁡N((A−λI)k)=m\dim N\bigl((\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^k\bigr) = m. Верно ли также, что dim⁡N((A−λI)m)=m\dim N\bigl((\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^m\bigr) = m?

?
Задача 7.8.8

Пусть λj\lambda_j — собственное значение матрицы A\mathbf{A} с index⁡(λj)=kj\operatorname {index}(\lambda_j) = k_j. Докажите, что если Mi(λj)=R((A−λjI)i)∩N(A−λjI)M_i(\lambda_j) = R\bigl((\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I})^i\bigr) \cap N(\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I}), то

{0→}=Mkj(λj)⊆Mkj−1(λj)⊆⋯⊆M0(λj)=N(A−λjI). \left\{ \overrightarrow {0}\right\} = M_{k_j}(\lambda _j) \subseteq M_{k_j-1}(\lambda _j) \subseteq \cdots \subseteq M_0(\lambda _j) = N(\mathbf{A}-\lambda _j\mathbf{I}).
?
Задача 7.8.9

Объясните, почему (A−λjI)ix→=b→(λj)(\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I})^i\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}(\lambda_j) обязательно должна быть совместной системой всякий раз, когда λj∈σ(A)\lambda_j \in \sigma (\mathbf{A}) и b→(λj)∈Si(λj)\overrightarrow {b}(\lambda_j) \in S_i(\lambda_j), где Si(λj)S_i(\lambda_j) — расширяющее множество, используемое при построении базиса для N(A−λjI)N(\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I}) из базиса для Mi(λj)=R((A−λjI)i)∩N(A−λjI)M_i(\lambda_j) = R\bigl((\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I})^i\bigr) \cap N(\mathbf{A}-\lambda_j\mathbf{I}), так что каждый b→(λj)∈Si(λj)\overrightarrow {b}(\lambda_j) \in S_i(\lambda_j) лежит в Mi(λj)M_i(\lambda_j).

?
Задача 7.8.10

Распространяется ли результат упражнения 7.7.5 на ненильпотентные матрицы? То есть, если λ∈σ(A)\lambda \in \sigma (\mathbf{A}) с index⁡(λ)=k>1\operatorname {index}(\lambda ) = k > 1, верно ли, что Mk−1=R((A−λI)k−1)M_{k-1} = R\bigl((\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^{k-1}\bigr)?

?
Задача 7.8.11

Как было определено в упражнении 5.8.15 и упомянуто в упражнении 7.6.10, произведение Кронекера (иногда называемое тензорным произведением или прямым произведением) матриц Am×n\mathbf{A}_{m\times n} и Bp×q\mathbf{B}_{p\times q} — это mp×nqmp\times nq матрица

A⊗B=(a11Ba12B⋯a1nBa21Ba22B⋯a2nB⋮⋮⋱⋮am1Bam2B⋯amnB). \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11}\mathbf{B} & a_{12}\mathbf{B} & \cdots & a_{1n}\mathbf{B} \\ a_{21}\mathbf{B} & a_{22}\mathbf{B} & \cdots & a_{2n}\mathbf{B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}\mathbf{B} & a_{m2}\mathbf{B} & \cdots & a_{mn}\mathbf{B} \end{pmatrix}.
?
(a)

Предполагая согласованность размеров, установите следующие свойства.

  • A⊗(B⊗C)=(A⊗B)⊗C\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B} \otimes \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \otimes \mathbf{C}.

  • A⊗(B+C)=(A⊗B)+(A⊗C)\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}+\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}) + (\mathbf{A}\otimes \mathbf{C}).

  • (A+B)⊗C=(A⊗C)+(B⊗C)(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \otimes \mathbf{C} = (\mathbf{A}\otimes \mathbf{C}) + (\mathbf{B}\otimes \mathbf{C}).

  • (A1⊗B1)(A2⊗B2)⋯(Ak⊗Bk)=(A1⋯Ak)⊗(B1⋯Bk)(\mathbf{A}_1\otimes \mathbf{B}_1)(\mathbf{A}_2\otimes \mathbf{B}_2)\cdots (\mathbf{A}_k\otimes \mathbf{B}_k) = (\mathbf{A}_1\cdots \mathbf{A}_k)\otimes (\mathbf{B}_1\cdots \mathbf{B}_k).

  • (A⊗B)∗=A∗⊗B∗(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})^{*} = \mathbf{A}^{*}\otimes \mathbf{B}^{*}.

  • rk⁡(A⊗B)=rk⁡(A)rk⁡(B)\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)\operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right).

  • Для оставшихся свойств предположите, что A\mathbf{A} — матрица размера m×mm\times m, а B\mathbf{B} — размера n×nn\times n.

  • trace⁡(A⊗B)=trace⁡(A)trace⁡(B)\operatorname {trace}(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}) = \operatorname {trace}(\mathbf{A})\operatorname {trace}(\mathbf{B}).

  • (A⊗In)(Im⊗B)=A⊗B=(Im⊗B)(A⊗In)(\mathbf{A}\otimes \mathbf{I}_n)(\mathbf{I}_m\otimes \mathbf{B}) = \mathbf{A}\otimes \mathbf{B} = (\mathbf{I}_m\otimes \mathbf{B})(\mathbf{A}\otimes \mathbf{I}_n).

  • det⁡(A⊗B)=det⁡(A)mdet⁡(B)n\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)^m\operatorname {det}\left(\mathbf{B}\right)^n.

  • (A⊗B)−1=A−1⊗B−1(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\otimes \mathbf{B}^{-1}.

(b)

Пусть собственные значения Am×m\mathbf{A}_{m\times m} обозначены через λi\lambda_i, а собственные значения Bn×n\mathbf{B}_{n\times n} — через μj\mu_j. Докажите следующее.

  • Собственные значения A⊗B\mathbf{A}\otimes \mathbf{B} — это mnmn чисел {λiμj}i=1,j=1m,n\left\{ \lambda_i\mu_j\right\}_{i=1,j=1}^{m,n}.

  • Собственные значения (A⊗In)+(Im⊗B)(\mathbf{A}\otimes \mathbf{I}_n) + (\mathbf{I}_m\otimes \mathbf{B}) — это {λi+μj}i=1,j=1m,n\left\{ \lambda_i+\mu_j\right\}_{i=1,j=1}^{m,n}.

Задача 7.8.12

Используя пункт (б) упражнения 7.8.11 вместе с результатом упражнения 7.6.10, постройте альтернативный вывод формулы (7.6.8). А именно, покажите, что n2n^2 собственных значений дискретного лапласиана Ln2×n2\mathbf{L}_{n^2 \times n^2}, описанного в примере 7.6.2, задаются формулой

λij=4(sin⁡2(iπ2(n+1))+sin⁡2(jπ2(n+1))),i,j=1,2,…,n. \lambda _{ij} = 4\left(\sin ^2\left(\frac{i\pi }{2(n+1)}\right) + \sin ^2\left(\frac{j\pi }{2(n+1)}\right)\right), \quad i,j=1,2,\ldots ,n.
?
Примечание.
?

Указание: вспомните упражнение 7.2.18.

Задача 7.8.13

Определите собственные значения трёхмерного дискретного лапласиана, используя формулу из упражнения 7.6.10, которая утверждает, что

Ln3×n3=(In⊗In⊗An)+(In⊗An⊗In)+(An⊗In⊗In). \mathbf{L}_{n^3\times n^3} = (\mathbf{I}_n\otimes \mathbf{I}_n\otimes \mathbf{A}_n) + (\mathbf{I}_n\otimes \mathbf{A}_n\otimes \mathbf{I}_n) + (\mathbf{A}_n\otimes \mathbf{I}_n\otimes \mathbf{I}_n).
?