Элементарные свойства собственных систем

Найдите собственные значения и собственные векторы следующих матриц.

Для каких из них, если такие есть, не хватает собственных векторов в том смысле, что не существует полного линейно независимого набора?

Не выполняя вычисления собственных значений и собственных векторов, определите, какие из следующих векторов являются собственными для

и для тех, которые являются собственными векторами, укажите соответствующее собственное значение.

Объясните, почему собственные значения треугольных и диагональных матриц

представляют собой попросту диагональные элементы — $t_{ii}$ и $\lambda_i$.

Для $\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix}$ докажите, что $\operatorname {det}\left(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{I}\right) = \operatorname {det}\left(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\right)\operatorname {det}\left(\mathbf{C}-\lambda \mathbf{I}\right)$, и заключите, что $\sigma \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix} = \sigma (\mathbf{A}) \cup \sigma (\mathbf{C})$ для квадратных $\mathbf{A}$ и $\mathbf{C}$.

Найдите собственные векторы $\mathbf{D} = \operatorname {diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n)$. В частности, каково собственное подпространство, соответствующее $\lambda_i$?

Докажите, что $0 \in \sigma (\mathbf{A})$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ — вырожденная матрица.

Объясните, почему очевидно, что

не имеет нулевого собственного значения, и, следовательно, почему $\mathbf{A}$ невырождена.

Объясните, почему собственные значения $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$ вещественны и неотрицательны для любой $\mathbf{A} \in \mathcal{C}^{m\times n}$.

Подсказка: рассмотрите $\left\| \mathbf{A}\overrightarrow {x}\right\|_2^2 / \left\| \overrightarrow {x}\right\|_2^2$. Когда собственные значения $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$ строго положительны?

Объясните, почему теорема Гершгорина влечёт, что

должна иметь по крайней мере два вещественных собственных значения. Подтвердите этот факт, вычислив собственные значения $\mathbf{A}$.

Теорема Гершгорина: если $n$ кругов Гершгорина $G_i = \left\{ z \in \mathcal{C} \mid \left|z - a_{ii}\right| \le \sum_{j \ne i} \left|a_{ij}\right|\right\}$, соответствующих строкам матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$, таковы, что $k$ из них образуют связную область, не пересекающуюся с оставшимися $n-k$ кругами, то ровно $k$ собственных значений $\mathbf{A}$ лежат в связной области, образованной этими $k$ кругами, а оставшиеся $n-k$ собственных значений лежат в области, образованной объединением остальных $n-k$ кругов.

Если $\mathbf{A}$ нильпотентна ($\mathbf{A}^k = \mathbf{0}$ при некотором $k$), объясните, почему $\operatorname {trace}(\mathbf{A}) = 0$.

Указание: Чему равно $\sigma (\mathbf{A})$?

Если $\overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_k$ — собственные векторы матрицы $\mathbf{A}$, отвечающие одному и тому же собственному значению $\lambda$, объясните, почему любая ненулевая линейная комбинация

также является собственным вектором матрицы $\mathbf{A}$, отвечающим собственному значению $\lambda$.

Объясните, почему собственный вектор квадратной матрицы $\mathbf{A}$ не может отвечать двум различным собственным значениям матрицы $\mathbf{A}$.

Пусть $\sigma (\mathbf{A}_{n\times n}) = \sigma (\mathbf{B}_{n\times n})$. Гарантирует ли это, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ имеют одинаковый характеристический многочлен?

Постройте примеры $2 \times 2$, доказывающие следующие утверждения.

Пусть $\left\{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n\right\}$ — собственные значения матрицы $\mathbf{A}_{n\times n}$, и пусть $(\lambda_k, \overrightarrow {c})$ — некоторая собственная пара.

Пусть $\mathbf{A}$ — квадратная матрица.

Рассмотрим матрицы $\mathbf{A}_{m\times n}$ и $\mathbf{B}_{n\times m}$.

Если $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}$, докажите, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ имеют общий собственный вектор.

Указание: Для $\lambda \in \sigma (\mathbf{A})$ пусть столбцы матрицы $\mathbf{X}$ образуют базис пространства $N(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$, так что $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{B}\mathbf{X} = \mathbf{0}$. Объясните, почему существует такая матрица $\mathbf{P}$, что $\mathbf{B}\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{P}$, а затем рассмотрите произвольную собственную пару матрицы $\mathbf{P}$.

Для фиксированных матриц $\mathbf{P}_{m\times m}$ и $\mathbf{Q}_{n\times n}$ пусть $\mathbf{T}$ — линейный оператор на $\mathcal{C}^{m\times n}$, определённый формулой $\mathbf{T}(\mathbf{A}) = \mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}$.

Пусть $\mathbf{D} = \operatorname {diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n)$ — вещественная диагональная матрица, такая что $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$, и пусть $\overrightarrow {v}_{n\times 1}$ — столбец из вещественных ненулевых чисел.

Пусть $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ — корни многочлена $p(\lambda ) = \lambda^n + c_1\lambda^{n-1} + c_2\lambda^{n-2} + \cdots + c_n$, и пусть $\tau_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$. Тождества Ньютона утверждают, что $c_k = -(\tau_1 c_{k-1} + \tau_2 c_{k-2} + \cdots + \tau_{k-1}c_1 + \tau_k)/k$. Выведите эти тождества, выполнив следующие шаги:

Пусть характеристическое уравнение для $\mathbf{A}$ задано в виде $\lambda^n + c_1\lambda^{n-1} + c_2\lambda^{n-2} + \cdots + c_n = 0$, и определим последовательность, полагая $\mathbf{B}_0 = \mathbf{I}$ и

Докажите, что при каждом $k$

Указание: используйте тождества Ньютона (упражнение 7.1.23) и вспомните упражнение 7.1.10(a).