Кратные интегралы и интегралы по линиям и поверхностям

Определить пределы интегрирования в интеграле

где $S$ — круг $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, если выполнять интегрирование сначала по $x$, а потом по $y$.

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, для площади $S$, ограниченной прямыми $x=0$, $y=0$, $x+y=a$.

В интеграле

площадь $S$ ограничена прямыми $x=y$, $y=0$, $x+y=2$. Определить пределы интегрирования, если внутреннее интегрирование совершается по $x$, а также, если оно совершается по $y$.

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — параллелограмм со сторонами $y=0$; $y=a$; $y=x$; $y=x-2a$. Рассмотреть оба возможных порядка интегрирования.

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — площадь, ограниченная прямыми $y=h$; $ay=hx$; $ay=4ah-hx$, где $a>0$; $h>0$.

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — область между прямой $y=x-2$ и параболой $y^{2}=x$ (оба способа).

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — параллелограмм со сторонами $y=x$; $y=x+a$; $y=2x$; $y=2x-a$ (оба способа).

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — область, заданная неравенствами $x^{2}-y^{2} \leqslant a^{2}$; $x^{2}+y^{2} \leqslant 3a^{2}$.

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

(и объединить).

Переменить порядок интегрирования, а также перейти к полярным координатам в интеграле

Переменить порядок интегрирования, а также перейти к полярным координатам в интеграле

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x^{2}+y^{2} \leqslant 4x$; $y \geqslant x$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$; $x+y \geqslant a$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x \geqslant y$; $x+y \leqslant 2a$; $y \geqslant 0$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $y^{2} \leqslant 2px+p^{2}$; $y \geqslant x$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x^{2}+y^{2} \geqslant 2a^{2}$; $x^{2}+y^{2} \leqslant 2ax$.

Ввести вместо $x$ и $y$ новые переменные и определить пределы интегрирования по новым переменным для интеграла $\displaystyle \int_{0}^{a} \int_{\alpha x}^{\beta x} f(x,y) \, dx \, dy$, если $u=x+y$, $uv=y$.

Ввести вместо $x$ и $y$ новые переменные и определить пределы интегрирования по новым переменным для интеграла $\displaystyle \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{b} f(x,y) \, dy$, если $u=y+\alpha x$, $uv=y$.

Ввести вместо $x$ и $y$ новые переменные и определить пределы интегрирования по новым переменным для интеграла $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$, если $x=r\cos^{3}\varphi$, $y=r\sin^{3}\varphi$, а площадь $S$ ограничена астроидой $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$.

В интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ площадь $S$ ограничена прямыми $y=\alpha x$, $y=\beta x$, $x=a$ (треугольник). Подходящей заменой переменных обратить область интегрирования в прямоугольник. Объяснить, каким образом гладкая замена переменных приводит к появлению лишних углов.

В интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ область интегрирования — четверть круга: $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $x>0$, $y>0$. Заменой переменных превратить ее в прямоугольник.

В том же интеграле, что и в предыдущей задаче (область — четверть круга $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $x>0$, $y>0$), обратить область интегрирования в равнобедренный прямоугольный треугольник.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x+y) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $x=0$, $y=0$, $x+y=2$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $y=0$, $x=y$, $x=1$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x+y) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $x=y$, $x=y^{2}$.

Вычислить двойной интеграл

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x-y) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $y=0$, $x=y$, $x+y=2$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} xy \, dx \, dy$. Границы области $S$: $y^{2}=2x$, $x=2$.

Вычислить интегралы, предварительно изменив порядок интегрирования:

1. $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{\sqrt{y}}^{1} \frac{1}{x} e^{-y/x} \, dx \, dy$;

2. $\displaystyle \int \limits_{0}^{a} \int \limits_{x}^{a} e^{y^{2}} \, dy \, dx$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $y=x^{2}$, $x=y^{2}$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $y=2x-x^{2}$, $y=x^{2}$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $2y=x^{2}$, $x=y$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $4y=x^{2}-4x$, $x-y-3=0$.

С помощью формулы $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$ и перехода к полярным координатам вычислить площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$ и окружностью $x^{2}+y^{2}=2ax$.

С помощью формулы $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$ и перехода к полярным координатам вычислить площадь, ограниченную кардиоидой $(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$ и окружностью $x^{2}+y^{2}=ay\sqrt{3}$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную подэрой эллипса $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{4}+y^{4})$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь петли листа Декарта $x^{3}+y^{3}=axy$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a(x^{3}+y^{3})$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $x^{4}+y^{4}=2a^{2}xy$.

Пусть $\omega (x,y)$, $\varphi (x,y)$, $\psi (x,y)$ — однородные функции степеней $n$, $n-2$, $n-2$, одновременно обращающиеся в нуль лишь при $x=0$ и $y=0$ и положительные при других значениях $x$ и $y$. Обозначим через $S(a,b)$ площадь, ограниченную кривой

Доказать, что $S(a+\alpha , b+\beta )=S(a,b)+S(\alpha ,\beta )$.

В частности, если $\omega (x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}$, $\varphi (x,y)=x^{2}$, $\psi (x,y)=y^{2}$, то $S(a,b)=S(b,a)$. Получить отсюда, что $S(a,b)=\dfrac {\pi }{2}(a^{2}+b^{2})$ (см. задачу 3510: здесь $S(a,b)$ — площадь, ограниченная кривой $\omega (x,y)=a\varphi (x,y)+b\psi (x,y)$ для однородных функций $\omega$, $\varphi$, $\psi$ степеней $n$, $n-2$, $n-2$, одновременно обращающихся в нуль лишь при $x=0$, $y=0$ и положительных в остальных точках, а $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$).

В следующих задачах полезно применять обобщенные полярные координаты, полагая $x=ar\cos^{\sigma }\varphi$, $y=br\sin^{\sigma }\varphi$, где $a$, $b$ и $\sigma$ — соответственно выбранные постоянные; якобиан этой замены равен $J=ab\sigma r\cos^{\sigma -1}\varphi \sin^{\sigma -1}\varphi$.

Найти площадь, ограниченную кривой

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}=\dfrac {x}{a}-\dfrac {y}{b}$; $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{3}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}$; $y>0$, $a>0$, $b>0$.

Найти площадь петли кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{3}=\dfrac {xy}{c^{2}}$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}-\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2/3}\right)^{6}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}\right)^{8}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь петли кривой $\left(\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}\right)^{8}=\dfrac {xy}{c^{2}}$.

В следующих задачах границы площади заданы уравнениями вида $\varphi (x,y,a)=0$, $\varphi (x,y,b)=0$, $\psi (x,y,\alpha )=0$, $\psi (x,y,\beta )=0$. В них удобно выразить $x$ и $y$ через новые переменные $u$ и $v$ из уравнений $\varphi (x,y,u)=0$, $\psi (x,y,v)=0$. Найдя якобиан $J$, можем вычислить $S$ по формуле $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy=\int \limits_{a}^{b} du \int \limits_{\alpha }^{\beta } \left|J\right| \, dv$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $x+y=a$, $x+y=b$, $y=\alpha x$, $y=\beta x$; $a<b$, $\alpha <\beta$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $x^{2}=ay$, $x^{2}=by$, $y=m$, $y=n$; $a<b$, $m<n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}=1$, $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}=2$, $\dfrac {x}{a}=\dfrac {y}{b}$, $\dfrac {x}{a}=9\dfrac {y}{b}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $xy=b^{2}$, $y=m$, $y=n$; $a^{2}>b^{2}$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=mx$, $y^{2}=nx$, $x=\alpha y$, $x=\beta y$; $m>n$, $\alpha >\beta$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $xy=b^{2}$, $x=\alpha y$, $x=\beta y$; $x>0$, $y>0$, $a>b$, $\alpha >\beta$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=ax$, $y^{2}=bx$, $x^{2}=my$, $x^{2}=ny$; $a>b$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $xy=b^{2}$, $y^{2}=mx$, $y^{2}=nx$; $a^{2}>b^{2}$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=a^{2}-2ax$, $y^{2}=b^{2}-2bx$, $y^{2}=m^{2}+2mx$, $y^{2}=n^{2}+2nx$; $y>0$, $a>b$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми

Найти площадь, ограниченную эллипсом $(ax+by+c)^{2}+(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})^{2}=h^{2}$; $ab_{1}-a_{1}b \neq 0$.

Найти площадь, ограниченную линией $\left|ax+by+c\right|+\left|a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right|=h$; $ab_{1}-a_{1}b \neq 0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=6$, $x=0$, $z=0$, $x+2y=4$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x-y+z=6$, $x+y=2$, $x=y$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=6$, $x=y$, $y=0$, $x=3$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=a+x$, $z=-x-a$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=xy$, $x=a$, $y=b$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=a$, $3x+y=a$, $3x+2y=2a$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=a$, $x^{2}+y^{2}=b^{2}$, $z=0$; $a>b\sqrt{2}$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $y=\dfrac {b}{a}x$, $y=0$, $z=0$; $x>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $x^{2}z^{2}+a^{2}y^{2}=c^{2}x^{2}$, $0<x<a$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $y^{2}+z^{2}=x$, $x=y$; $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $y=x^{2}$; $0<y<1$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=\cos x \cos y$; $\left|x+y\right|<\dfrac {\pi }{2}$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=\sin (x^{2}+y^{2})$, $z=0$; $n\pi <x^{2}+y^{2}<(n+1)\pi$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=cz$, $x^{2}+y^{2}=ax$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=2ax$, $z=\alpha z$, $z=\beta x$; $\alpha <\beta$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=\alpha z^{2}$, $x^{2}+y^{2}=ax$; $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=az$, $x+z=2a$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $x^{2}+y^{2}=ax$, $z=0$; $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $z=x+y$.

Доказать, что объем, ограниченный плоскостью $z=mx+ny+p$ и параболоидом $z=x^{2}+y^{2}$, равен половине площади круга $x^{2}+y^{2}=mx+cy+p$, умноженной на разность величин $x^{2}+y^{2}$ и $mx+cy+p$, взятую в центре этого круга.

Доказать, что объем сегмента, отсекаемого плоскостью от эллиптического параболоида, равен площади основания сегмента, умноженной на половину высоты сегмента.

От кругового конуса с радиусом основания $R$ и высотой $H$ отсечена часть плоскостью, параллельной оси конуса. Определить объем отсеченной части, если сегмент в основании соответствует центральному углу $2\alpha$.

Правильная призма с квадратным основанием (со стороной $a$) и высотой $H$ пересекается круговым конусом так, что след его на одном основании есть вписанная в основание окружность, а на другом основании — описанная около него окружность. Какая часть объема призмы лежит вне конуса?

Правильная шестигранная призма (гайка) с шириной грани $a$ пересекается соосной конической поверхностью, образующая которой составляет с осью угол $\alpha =60^{\circ }$. Определить объем между боковой поверхностью призмы, ее основанием и конусом, если конус пересекается с основанием по окружности, вписанной в основание. В следующих задачах, как и в некоторых из предыдущих, полезно вводить полярные координаты.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=cz$, $x^{4}+y^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=2xy$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$, $z=0$; $x>0$, $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}>\left|ax\right|$. (Задача Вивиани.)

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $z^{2}=xy$; $x>0$, $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z(x+y)=ax+by$, $z=0$; $1<x^{2}+y^{2}<4$, $x>0$, $y>0$, $a>0$, $b>0$.

Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностями:

где $\varphi (x)$ — любая положительная интегрируемая функция, $a>0$ и $b>0$, равен $\dfrac {1}{2}\pi c^{2}(a+b)$.

Доказать, что объем, ограниченный поверхностями $z=0$ и $z=e^{-x^{2}-y^{2}}$, равен $\pi$.

Линейной заменой переменных найти величину объема, заключенного между поверхностями $z=0$ и $z=Ae^{-(ax^{2}+bxy+cy^{2})}$, где $a>0$, $b^{2}-4ac<0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{p}+\dfrac {y^{2}}{q}=2z$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, $z=0$; $x>0$, $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{k}+\dfrac {z}{c}=1$; $z>0$; $k>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {x}{h}$; $z>0$.