Введение

Определить пределы интегрирования в интеграле

где $S$ — круг $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, если выполнять интегрирование сначала по $x$, а потом по $y$.

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, для площади $S$, ограниченной прямыми $x=0$, $y=0$, $x+y=a$.

В интеграле

площадь $S$ ограничена прямыми $x=y$, $y=0$, $x+y=2$. Определить пределы интегрирования, если внутреннее интегрирование совершается по $x$, а также, если оно совершается по $y$.

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — параллелограмм со сторонами $y=0$; $y=a$; $y=x$; $y=x-2a$. Рассмотреть оба возможных порядка интегрирования.

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — площадь, ограниченная прямыми $y=h$; $ay=hx$; $ay=4ah-hx$, где $a>0$; $h>0$.

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — область между прямой $y=x-2$ и параболой $y^{2}=x$ (оба способа).

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — параллелограмм со сторонами $y=x$; $y=x+a$; $y=2x$; $y=2x-a$ (оба способа).

Определить в интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ пределы интегрирования, если $S$ — область, заданная неравенствами $x^{2}-y^{2} \leqslant a^{2}$; $x^{2}+y^{2} \leqslant 3a^{2}$.

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

Переменить порядок интегрирования в интеграле

(и объединить).

Переменить порядок интегрирования, а также перейти к полярным координатам в интеграле

Переменить порядок интегрирования, а также перейти к полярным координатам в интеграле

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x^{2}+y^{2} \leqslant 4x$; $y \geqslant x$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$; $x+y \geqslant a$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x \geqslant y$; $x+y \leqslant 2a$; $y \geqslant 0$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $y^{2} \leqslant 2px+p^{2}$; $y \geqslant x$.

Определить пределы интегрирования в двойном интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, ds$ в декартовых и полярных координатах, если область определяется так: $x^{2}+y^{2} \geqslant 2a^{2}$; $x^{2}+y^{2} \leqslant 2ax$.

Ввести вместо $x$ и $y$ новые переменные и определить пределы интегрирования по новым переменным для интеграла $\displaystyle \int_{0}^{a} \int_{\alpha x}^{\beta x} f(x,y) \, dx \, dy$, если $u=x+y$, $uv=y$.

Ввести вместо $x$ и $y$ новые переменные и определить пределы интегрирования по новым переменным для интеграла $\displaystyle \int_{0}^{a} dx \int_{0}^{b} f(x,y) \, dy$, если $u=y+\alpha x$, $uv=y$.

Ввести вместо $x$ и $y$ новые переменные и определить пределы интегрирования по новым переменным для интеграла $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$, если $x=r\cos^{3}\varphi$, $y=r\sin^{3}\varphi$, а площадь $S$ ограничена астроидой $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$.

В интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ площадь $S$ ограничена прямыми $y=\alpha x$, $y=\beta x$, $x=a$ (треугольник). Подходящей заменой переменных обратить область интегрирования в прямоугольник. Объяснить, каким образом гладкая замена переменных приводит к появлению лишних углов.

В интеграле $\displaystyle \iint \limits_{S} f(x,y) \, dx \, dy$ область интегрирования — четверть круга: $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $x>0$, $y>0$. Заменой переменных превратить ее в прямоугольник.

В том же интеграле, что и в предыдущей задаче (область — четверть круга $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $x>0$, $y>0$), обратить область интегрирования в равнобедренный прямоугольный треугольник.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x+y) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $x=0$, $y=0$, $x+y=2$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $y=0$, $x=y$, $x=1$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x+y) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $x=y$, $x=y^{2}$.

Вычислить двойной интеграл

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x-y) \, dx \, dy$. Границы области $S$: $y=0$, $x=y$, $x+y=2$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S} xy \, dx \, dy$. Границы области $S$: $y^{2}=2x$, $x=2$.

Вычислить интегралы, предварительно изменив порядок интегрирования:

1. $\displaystyle \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{\sqrt{y}}^{1} \frac{1}{x} e^{-y/x} \, dx \, dy$;

2. $\displaystyle \int \limits_{0}^{a} \int \limits_{x}^{a} e^{y^{2}} \, dy \, dx$.