Некоторые приложения двойных интегралов в механике и сопротивлении материалов

Координаты центра тяжести пластинки находятся по формулам:

где $\mu =\mu (x,y)$ — плотность пластинки в точке $(x,y)$; $M$ — масса пластинки, а величины $Mx_{c}$ и $My_{c}$ — статические моменты пластинки относительно осей $Oy$ и $Ox$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями $x=0$, $y=0$, $x+y=a$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями $y^{2}=2px$, $y=0$, $x=x_{0}$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$; $x>0$, $y>0$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $x^{2}+y^{2}=a^{2}$; $x>0$, $y>0$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $x^{2}+y^{2}=a^{2}$; $\left|y\right|<\operatorname {tg}\alpha$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$ (правая петля).

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кардиоидой $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной петлей кривой $x^{3}+y^{3}=3axy$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$; $0<t<2\pi$; $y=0$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $x^{4}+y^{4}=x^{2}y$ (правая петля).

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$, $x=0$, $y=0$.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линией $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {xy}{ab}$ (правая петля).

Доказать, что объем прямого цилиндра (или призмы), срезанного плоскостью, не обязательно параллельной основанию, равен площади основания, умноженной на высоту над центром тяжести основания.

Доказать, что объем тела, полученного при вращении площади $S$ вокруг оси, не пересекающей $S$ и лежащей в той же плоскости, равен площади $S$, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести площади $S$. (Теорема Паппа, называемая часто теоремой Гюльдена.)

Моментом инерции площади $S$ относительно какой-нибудь оси, лежащей в той же плоскости, называется интеграл $\displaystyle J=\iint \limits_{S} \delta^{2} \, dx \, dy$, где $\delta$ — расстояние переменной точки $(x,y)$ до оси, а интеграл взят по всей площади $S$. В частности, моменты инерции относительно осей $Ox$ и $Oy$ равны интегралам $J_{x}=\iint \limits_{S} y^{2} \, dx \, dy$ и $J_{y}=\iint \limits_{S} x^{2} \, dx \, dy$. Полярным моментом площади $S$ относительно некоторой точки называется интеграл $\iint \limits_{S} r^{2} \, dx \, dy$, где $r$ — расстояние точки $(x,y)$ до данной точки. В частности, полярный момент относительно начала равен $\iint \limits_{S}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy$. Центробежным моментом называют интеграл $K_{xy}=\iint \limits_{S} xy \, dx \, dy$. Кривая $J_{x}x^{2}-2K_{xy}xy+J_{y}y^{2}=1$ называется эллипсом инерции площади $S$.

Найти моменты инерции сектора с радиусом $a$ и с центральным углом $2\varphi$ относительно оси симметрии и относительно перпендикуляра к ней, проходящего через центр тяжести.

Найти момент инерции сегмента с радиусом $a$ и центральным углом $2\varphi$ относительно оси симметрии.

Может ли эллипс инерции для сектора обратиться в круг?

У равнобедренного треугольника основание равно $a$, а высота $h$. При каком соотношении между $a$ и $h$ эллипс инерции треугольника относительно центра тяжести обращается в круг?

Найти моменты инерции эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ относительно осей и найти уравнение эллипса инерции.

Кольцо между концентрическими кругами с радиусами 13 и 12 имеет ту же площадь, что и круг с радиусом 5. Во сколько раз момент инерции кольца больше, чем у круга, если оба момента берутся относительно диаметра?

Найти момент инерции относительно оси $Ox$ параллелограмма со сторонами $a_{1}x+b_{1}y=\pm h_{1}$, $a_{2}x+b_{2}y=\pm h_{2}$.

Найти центробежный момент инерции того же параллелограмма (со сторонами $a_{1}x+b_{1}y=\pm h_{1}$, $a_{2}x+b_{2}y=\pm h_{2}$).

Найти момент инерции площади кривой $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$ относительно оси $Ox$ и сравнить его величину с таким же моментом инерции квадрата $\left|x+y\right|+\left|x-y\right|=2$.

Жесткость при кручении стержня с односвязным поперечным сечением $S$ измеряется величиной $C=2\mu \iint \limits_{S} \psi (x,y) \, dx \, dy$, где $\mu$ — модуль сдвига вещества стержня, а $\psi (x,y)$ — функция напряжений. Функция $\psi (x,y)$ равна нулю на контуре поперечного сечения, а внутри его удовлетворяет уравнению $\dfrac {\partial^{2}\psi }{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}\psi }{\partial y^{2}}=-2$.

Найти жесткость $C$ для круглого сечения, когда $2\psi =a^{2}-x^{2}-y^{2}$.

Найти $C$ для эллиптического сечения, когда $(a^{2}+b^{2})\psi =a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}$, где $a$ и $b$ — полуоси эллипса.

Тот же вопрос (найти жесткость при кручении $C$), что и в задаче 3658, для равностороннего треугольника со сторонами $x\pm y\sqrt{3}=h$, $x=0$. В этом случае $2h\psi =x(h-x-y\sqrt{3})(h-x+y\sqrt{3})$.

Уровень жидкости — ось $Ox$, а ось $Oy$ направлена вниз. Доказать, что давление жидкости на вертикальную площадку $S$ равно $\gamma \iint \limits_{S} y \, dx \, dy$, где $\gamma$ — удельный вес жидкости. Доказать, что точка приложения равнодействующей сил давления лежит на глубине $h$, где $\displaystyle h\iint \limits_{S} y \, dx \, dy=\iint \limits_{S} y^{2} \, dx \, dy$.