Интегралы по поверхности, координаты центров тяжести и моменты инерции поверхностей

Интегралом по поверхности называется интеграл вида $\displaystyle \iint \limits_{\sigma } P \, dy \, dz+Q \, dz \, dx+R \, dx \, dy$. При его вычислении переменные $x$, $y$ и $z$ выражают через две независимые переменные, пользуясь уравнением поверхности $f(x,y,z)=0$ или ее параметрическими уравнениями $x=\varphi (u,v)$, $y=\psi (u,v)$, $z=\omega (u,v)$. Другая, более отчетливая запись интегралов по поверхности имеет вид $\displaystyle \iint \limits_{\sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma ) \, d\sigma$, где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы нормали с осями координат; при этом $d\sigma =\dfrac {dx\, dy}{\cos \gamma }$.

Нахождение координат центров тяжести частей однородных поверхностей, имеющих массу, выполняется с помощью интегралов по поверхности по формулам:

Здесь $S$ — данная часть поверхности.

Найти координаты центра тяжести части оболочки шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ при $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти координаты центра тяжести поверхности сегмента того же шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ при $h<z<a$.

Найти координаты центра тяжести поверхности геликоида $x=u\cos v$, $y=u\sin v$, $z=hv$ при $0<u<a$, $0<v<\pi$.

Найти координаты центра тяжести части поверхности $3z=2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})$, ограниченной плоскостями $x=0$, $y=0$, $x+y=1$.

Найти координаты центра тяжести поверхности $x^{2}=2c(c-z)$, ограниченной поверхностями: $y=kx$, $y=0$, $z=0$.

Найти координаты центра тяжести части поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, ограниченной поверхностями: $x^{2}+y^{2}=ax$, $z=0$.

Найти координаты центра тяжести части поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, ограниченной плоскостями: $x+y=\pm a$, $x-y=\pm a$.

Найти моменты инерции части однородной поверхности конуса $h^{2}(x^{2}+y^{2})=a^{2}z^{2}$ при $0<z<h$ относительно оси $Oz$.

Найти момент инерции поверхности шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ относительно диаметра.

Найти момент инерции поверхности параболоида $x^{2}+y^{2}=2az$ относительно $Oz$ при $0<z<a$.

Найти момент инерции поверхности шарового сегмента $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ при $h<z<a$ относительно $Oz$.

Вычислить двойной интеграл $\displaystyle \iint \dfrac {ds}{\rho }$, взятый по поверхности эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, где $\rho$ — расстояние центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу $ds$ поверхности эллипсоида.

Вычислить интеграл $\displaystyle \iint \dfrac {ds}{\rho^{n}}$, взятый по поверхности шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, если $\rho$ — расстояние элемента поверхности до точки $(0,0,c)$, расположенной вне шара.

Показать, что интеграл $\displaystyle w=\iint \limits_{S} \dfrac {\cos (\overrightarrow {r},\overrightarrow {n})}{r^{2}} \, ds=\iint \limits_{S} \dfrac {\partial \frac{1}{r}}{\partial n} \, ds$, взятый по поверхности $S$, равен телесному углу, под которым поверхность $S$ видна из начала координат. Здесь $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор из начала координат к элементу поверхности $ds$; $\overrightarrow {n}$ — нормаль к поверхности, образующая с вектором $\overrightarrow {r}$, идущим из начала, острый угол. Величина $\dfrac {\partial u}{\partial n}$ определена равенством