Вычисление объемов

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=6$, $x=0$, $z=0$, $x+2y=4$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x-y+z=6$, $x+y=2$, $x=y$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=6$, $x=y$, $y=0$, $x=3$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=a+x$, $z=-x-a$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=xy$, $x=a$, $y=b$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=a$, $3x+y=a$, $3x+2y=2a$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x+y+z=a$, $x^{2}+y^{2}=b^{2}$, $z=0$; $a>b\sqrt{2}$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $y=\dfrac {b}{a}x$, $y=0$, $z=0$; $x>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $x^{2}z^{2}+a^{2}y^{2}=c^{2}x^{2}$, $0<x<a$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $y^{2}+z^{2}=x$, $x=y$; $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $y=x^{2}$; $0<y<1$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=\cos x \cos y$; $\left|x+y\right|<\dfrac {\pi }{2}$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=\sin (x^{2}+y^{2})$, $z=0$; $n\pi <x^{2}+y^{2}<(n+1)\pi$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=cz$, $x^{2}+y^{2}=ax$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=2ax$, $z=\alpha z$, $z=\beta x$; $\alpha <\beta$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=\alpha z^{2}$, $x^{2}+y^{2}=ax$; $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=az$, $x+z=2a$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $x^{2}+y^{2}=ax$, $z=0$; $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $z=x+y$.

Доказать, что объем, ограниченный плоскостью $z=mx+ny+p$ и параболоидом $z=x^{2}+y^{2}$, равен половине площади круга $x^{2}+y^{2}=mx+cy+p$, умноженной на разность величин $x^{2}+y^{2}$ и $mx+cy+p$, взятую в центре этого круга.

Доказать, что объем сегмента, отсекаемого плоскостью от эллиптического параболоида, равен площади основания сегмента, умноженной на половину высоты сегмента.

От кругового конуса с радиусом основания $R$ и высотой $H$ отсечена часть плоскостью, параллельной оси конуса. Определить объем отсеченной части, если сегмент в основании соответствует центральному углу $2\alpha$.

Правильная призма с квадратным основанием (со стороной $a$) и высотой $H$ пересекается круговым конусом так, что след его на одном основании есть вписанная в основание окружность, а на другом основании — описанная около него окружность. Какая часть объема призмы лежит вне конуса?

Правильная шестигранная призма (гайка) с шириной грани $a$ пересекается соосной конической поверхностью, образующая которой составляет с осью угол $\alpha =60^{\circ }$. Определить объем между боковой поверхностью призмы, ее основанием и конусом, если конус пересекается с основанием по окружности, вписанной в основание. В следующих задачах, как и в некоторых из предыдущих, полезно вводить полярные координаты.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}=cz$, $x^{4}+y^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=2xy$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$, $z=0$; $x>0$, $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}>\left|ax\right|$. (Задача Вивиани.)

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}+y^{2}$, $z^{2}=xy$; $x>0$, $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z(x+y)=ax+by$, $z=0$; $1<x^{2}+y^{2}<4$, $x>0$, $y>0$, $a>0$, $b>0$.

Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностями:

где $\varphi (x)$ — любая положительная интегрируемая функция, $a>0$ и $b>0$, равен $\dfrac {1}{2}\pi c^{2}(a+b)$.

Доказать, что объем, ограниченный поверхностями $z=0$ и $z=e^{-x^{2}-y^{2}}$, равен $\pi$.

Линейной заменой переменных найти величину объема, заключенного между поверхностями $z=0$ и $z=Ae^{-(ax^{2}+bxy+cy^{2})}$, где $a>0$, $b^{2}-4ac<0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{p}+\dfrac {y^{2}}{q}=2z$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, $z=0$; $x>0$, $y>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{k}+\dfrac {z}{c}=1$; $z>0$; $k>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {x}{h}$; $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z}{c}$, $\dfrac {x^{4}}{a^{4}}+\dfrac {y^{4}}{b^{4}}=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=2xy$, $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\dfrac {2xy}{c^{2}}$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z}{c}$, $\dfrac {x}{a}+\dfrac {z}{c}=2$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}$, $x+y=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=xy$, $x+y=1$; $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {xy}{ab}$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}=\dfrac {x}{a}$; $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}\right)^{8}+\left(\dfrac {z}{c}\right)^{2}=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностью $\left(\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}\right)^{4}+\left(\dfrac {z}{c}\right)^{2}=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=ye^{-\frac{xy}{a^{2}}}$, $xy=a^{2}$, $xy=2a^{2}$, $y=m$, $y=n$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $y^{2}=mx$, $y^{2}=nx$, $x=\alpha y$, $x=\beta y$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=xy$, $xy=a^{2}$, $xy=4a^{2}$, $x=2y$, $x=3y$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $cz=xy$, $y^{2}=2x$, $y^{2}=3x$, $x^{2}=y$, $x^{2}=2y$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z^{2}=xy$, $xy=1$, $xy=4$, $y^{2}=x$, $y^{2}=3x$, $z=0$.

Найти объем, ограниченный поверхностями $z=x^{2}y$, $y^{2}=a^{2}-2ax$, $y^{2}=m^{2}+2mx$, $y=0$, $z=0$.