Интегралы теории поля и теории потенциала

Если $u(x,y,z)$ — функция точки, то вектор, проекции которого на оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ равны величинам $\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $\dfrac {\partial u}{\partial y}$, $\dfrac {\partial u}{\partial z}$, называется градиентом $u$ и обозначается $\operatorname {grad}u$.

Проверить, что $\operatorname {grad}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2\overrightarrow {r}$, где $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор точки $(x,y,z)$.

Проверить, что $\operatorname {grad}\dfrac {1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\dfrac {\overrightarrow {r}}{r^{3}}$, где $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор точки $(x,y,z)$, а $r=\left|\overrightarrow {r}\right|$.

Проверить, что $\operatorname {div}\operatorname {grad}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=6$, где для вектора $\overrightarrow {u}$ с проекциями $u_{x}$, $u_{y}$, $u_{z}$ дивергенцией (расхождением) поля называется скалярная величина $\operatorname {div}\overrightarrow {u}=\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}+\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}+\dfrac {\partial u_{z}}{\partial z}$.

Проверить, что $\operatorname {div}\dfrac {\overrightarrow {r}}{r^{3}}=0$, где $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор точки $(x,y,z)$, а $r=\left|\overrightarrow {r}\right|$.

Доказать, что если $u_{x}=-\dfrac {ay}{x^{2}+y^{2}}$, $u_{y}=\dfrac {ax}{x^{2}+y^{2}}$, $u_{z}=0$, то циркуляция $\overrightarrow {u}$ по замкнутой кривой (т. е. криволинейный интеграл $\int_{L} \overrightarrow {u}\cdot d\overrightarrow {r}=\int_{L} u_{x} \, dx+u_{y} \, dy+u_{z} \, dz$) равна нулю, если кривая не обходит ось $Oz$. Она равна $2\pi n$, если кривая $n$ раз обходит ось $Oz$ так, что ее проекция на плоскость $xOy$ обходит начало координат против часовой стрелки $n$ раз.

Доказать, что у вектора $\overrightarrow {u}$ предыдущей задачи ($u_{x}=-\dfrac {ay}{x^{2}+y^{2}}$, $u_{y}=\dfrac {ax}{x^{2}+y^{2}}$, $u_{z}=0$) ротор $\operatorname {rot}\overrightarrow {u}=0$ во всех точках, кроме точек оси $Oz$, где для вектора $\overrightarrow {u}$ с проекциями $u_{x}$, $u_{y}$, $u_{z}$ ротором (вихрем) поля называется вектор с проекциями на оси $Ox$, $Oy$, $Oz$, равными величинам $\dfrac {\partial u_{z}}{\partial y}-\dfrac {\partial u_{y}}{\partial z}$, $\dfrac {\partial u_{x}}{\partial z}-\dfrac {\partial u_{z}}{\partial x}$, $\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}-\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}$.

Среда совершает вращение, как твердое тело, вокруг оси $Oz$ с угловой скоростью $\omega$. Вектор скорости $\overrightarrow {v}$ имеет проекции на оси $v_{x}=-\omega y$, $v_{y}=\omega x$, $v_{z}=0$. Найти $\operatorname {rot}\overrightarrow {v}$.

Найти циркуляцию вектора $\overrightarrow {v}$ предыдущей задачи ($v_{x}=-\omega y$, $v_{y}=\omega x$, $v_{z}=0$, вектор скорости среды, вращающейся как твердое тело вокруг оси $Oz$ с угловой скоростью $\omega$) по окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ в положительном направлении.

Найти циркуляцию того же вектора $\overrightarrow {v}$ ($v_{x}=-\omega y$, $v_{y}=\omega x$, $v_{z}=0$, вектор скорости среды, вращающейся как твердое тело вокруг оси $Oz$ с угловой скоростью $\omega$) по окружности $(x-2)^{2}+y^{2}=2$.

Формула Остроградского-Гаусса связывает тройной интеграл по объему $V$ с двойным интегралом по ограничивающей его поверхности $\sigma$:

где $\overrightarrow {n}$ — единичный вектор внешней нормали к $\sigma$, а $P$, $Q$, $R$ — проекции вектора поля $\overrightarrow {u}$ на оси $Ox$, $Oy$, $Oz$; в векторной форме та же формула имеет вид $\iiint_{V}\operatorname {div}\overrightarrow {u} \, dv=\iint_{\sigma }\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {n} \, d\sigma =\iint_{\sigma }u_{n} \, d\sigma$.

Доказать равенство $\iint_{S}\cos (\overrightarrow {n},x) \, d\sigma =0$, где $S$ — замкнутая поверхность, $\overrightarrow {n}$ — внешняя нормаль к ней.

Найти величину интеграла $\displaystyle \iint \limits_{S}(x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma ) \, ds$, где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы внешней нормали к поверхности $S$, а интеграл берется по всей поверхности $S$ некоторого тела объема $v$.

Найти интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}(x^{3}\cos \alpha +y^{3}\cos \beta +z^{3}\cos \gamma ) \, ds$, взятый по поверхности шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$. Здесь $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы внешней нормали с осями.

Найти интеграл $\displaystyle \iint \limits_{S}\big((z^{n}-y^{n})\cos \alpha +(x^{n}-z^{n})\cos \beta +(y^{n}-x^{n})\cos \gamma \big) \, ds$, взятый по верхней половине поверхности шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$; $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы внешней к шару нормали.

Применяя формулу Остроградского-Гаусса

к вектору $u\operatorname {grad}v$, получить формулу Грина:

Здесь $\omega$ — объем; $\sigma$ — его поверхность; $\dfrac {\partial v}{\partial n}=\dfrac {\partial v}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac {\partial v}{\partial y}\cos \beta +\dfrac {\partial v}{\partial z}\cos \gamma$ — производная по внутренней нормали, и $\Delta v=\dfrac {\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}v}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}v}{\partial z^{2}}$.

Исходя из предыдущего результата (формулы Грина, задача 3772: $\iiint_{\omega }\big(u\Delta v+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}\big) \, d\omega = -\iint_{\sigma }u\frac{\partial u}{\partial n} \, d\sigma$), доказать вторую формулу Грина:

Функция $u$, для которой $\dfrac {\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}v}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}v}{\partial z^{2}}=0$, называется гармонической. Доказать, что для гармонических функций справедлива формула

Доказать формулу, подобную формуле Остроградского-Гаусса

Здесь $\sigma$ — площадь, а $S$ — линия, ограничивающая ее; $\alpha$ и $\beta$ — углы внешней нормали с осями.

Доказать формулу, подобную формуле Грина ($\iiint_{\omega }\big(u\Delta v+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}\big) \, d\omega = -\iint_{\sigma }u\frac{\partial u}{\partial n} \, d\sigma$, задача 3772):

Здесь $\sigma$ — площадь, $S$ — ее контур, $n$ — внутренняя нормаль, $\Delta v=\dfrac {\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}v}{\partial y^{2}}$.

Доказать равенство:

где $\sigma$ — площадь, $S$ — ее контур, $n$ — внутренняя нормаль, $\Delta v=\dfrac {\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}v}{\partial y^{2}}$ и аналогично для $\Delta u$ (обозначения задачи 3776).

Доказать, что для гармонических функций от двух переменных (т. е. функций $u$, для которых $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$) справедливо равенство

Доказать для тех же функций, что и в предыдущей задаче (гармонических функций от двух переменных), формулу

Доказать, что для гармонических функций от трех переменных

С помощью второй формулы Грина ($\iiint_{\omega }(u\Delta v-v\Delta u) \, d\omega = -\iint_{\sigma }\big(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\big) \, d\sigma$, см. 3773), примененной к области между поверхностью $\sigma$ и шаром радиуса $\rho \to 0$ с центром в точке $M(\xi ,\eta ,\zeta )$, лежащей внутри поверхности $\sigma$, доказать для гармонической функции от трех переменных равенство

где $r$ — расстояние точки $M$ до переменной точки поверхности, $\overrightarrow {n}$ — вектор внешней нормали.

Доказать, что

смотря по тому, лежит ли точка, из которой проводятся радиус-векторы $\overrightarrow {r}$ до точек поверхности, внутри поверхности или вне ее. Поверхность предполагается односвязной, замкнутой и без особых точек.

Доказать, что для гармонических функций от двух переменных справедлива формула

где производные взяты по внутренней нормали, а точка $M(x,y)$ — внутри контура $S$.

Доказать равенство

где $\varphi$ — угол, под которым линия $AB$ видна из точки $(\xi ,\eta )$, $r=\sqrt{(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}$, $\overrightarrow {n}$ — нормаль к линии $AB$.

Доказать, что для гармонических функций от трех переменных справедлива формула

где $\sigma$ — поверхность шара радиуса $r$ с центром в точке $(x,y,z)$. (Гаусс.)

Доказать для гармонических функций от двух переменных формулу

где $S$ — окружность радиуса $r$ с центром в точке $(x,y)$.

Доказать, что для функции $u(x,y,z)$, гармонической внутри шара объема $\omega$, имеет место формула

где $u_{c}$ — значение $u$ в центре шара; а для функции $u(x,y)$, гармонической внутри круга площади $\sigma$, доказать формулу

где $u_{c}$ — значение $u$ в центре круга.

Пользуясь разложением в ряд Тейлора, доказать равенство

где

и т. д., а интегрирование произведено по окружности радиуса $r$ с центром в точке $(x,y)$.

Доказать равенство

где

а интегрирование взято по поверхности шара радиуса $r$ с центром в точке $(x,y,z)$.

Доказать формулу Максвелла

Здесь $\sigma$ — поверхность объема $\omega$, в котором функция $u$ непрерывна со вторыми производными.

Доказать равенство Римана

Здесь $S$ — контур площади $\sigma$,

а выражения для $M$ и $N$ должны быть найдены.

Если проекции скорости жидкости в момент $t$ в точке $(x,y,z)$ равны функциям $u(x,y,z,t)$, $v(x,y,z,t)$ и $w(x,y,z,t)$, то количество жидкости, протекающей сквозь поверхность $\sigma$ за время от $t_{1}$ до $t_{2}$, равно интегралу

где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы нормали к поверхности $\sigma$ с осями. Вывести отсюда, что для несжимаемой жидкости должно выполняться условие

Изучить изменение функции $P(x)$, где $P(x)=\mu \int_{a}^{b}\left|y-x\right| \, dy$, при изменении $x$ в промежутке $(-\infty ,+\infty )$.

Найти вторую производную от

где функция $\mu (y)$ непрерывна.

Пользуясь интегралом Пуассона

найти логарифмический потенциал однородного круга, т. е. интеграл $\mu \iint_{\sigma } \ln r \, d\sigma$, где $r$ — расстояние между точкой $M$ и точкой на площади круга $\sigma$, радиус которого $R$.

Логарифмическим потенциалом однородного отрезка $(-1,1)$ называется интеграл $P=\int_{-1}^{+1}\ln r \, d\xi$, где $r$ — расстояние между точками $(x,y)$ и $(\xi ,0)$. Найти уравнение кривой, на которой $P(x,y)=P(1,0)$.

Логарифмическим потенциалом площади $\sigma$ в точке $(x,y)$ называется интеграл

Найти логарифмический потенциал круга $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, если плотность $\mu$ в точке $(x,y)$ есть данная функция радиус-вектора из начала: $\mu =f(r)$, где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Найти в точке $M(x,y,z)$ ньютонов потенциал однородной оболочки шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ с поверхностной плотностью $\mu$, равной некоторой постоянной, т. е. найти интеграл $\iint_{\sigma }\mu \dfrac {d\sigma }{r}$, где $\sigma$ — поверхность шара, а $r$ — расстояние от переменной точки $(\xi ,\eta ,\zeta )$ на этой поверхности до данной точки $M$.

Найти в точке $M(x,y,z)$ ньютонов потенциал однородного шара, т. е. интеграл

где $\omega$ — шар радиуса $a$ с центром в начале координат, $\mu$ — постоянная плотность, $(\xi ,\eta ,\zeta )$ — точка внутри шара, $r=\sqrt{(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}$ — расстояние от точки $(\xi ,\eta ,\zeta )$ до точки $(x,y,z)$.

Тот же вопрос (найти в точке $M(x,y,z)$ ньютонов потенциал шара, т. е. интеграл $P=\iiint_{\omega } \mu \, d\xi \, d\eta \, d\zeta / r$, где $\omega$ — шар радиуса $a$ с центром в начале координат, $r$ — расстояние от точки $(\xi ,\eta ,\zeta )$ внутри шара до точки $(x,y,z)$) для шара, у которого плотность $\mu$ равна данной функции $f(\rho )$, где $\rho^{2}=\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}$.

В точке $(0,0,z)$ найти ньютонов потенциал верхней половины поверхности шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ при постоянной плотности $\mu$.

Найти ньютонов потенциал однородного сферического слоя между двумя концентрическими сферами радиусов $a$ и $b$, где $a<b$.

Найти в вершине конуса ньютонов потенциал тела конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$.

Показать, что тело постоянной плотности и данной массы сильнее всего притягивает материальную точку (по закону Ньютона), если оно ограничено поверхностью $R=a\sqrt{\cos \theta }$ (материальная точка взята за начало координат, направление силы притяжения — за ось $Oz$; $R$, $\theta$ — сферические координаты). Найти эту силу и сравнить ее с силой притяжения шаром (той же массы) материальной точки, лежащей на его поверхности.

Найти в точке $M(x,y)$ ньютонов потенциал неоднородного отрезка $(-a,a)$, т. е. интеграл $\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{\mu (\xi ) \, d\xi }{\sqrt{(\xi -x)^{2}+y^{2}}}$, если $\mu (\xi )=\dfrac {\xi }{a}$.

Найти ньютонов потенциал однородной круговой пластинки $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $z=0$, в точке $(0,0,z)$.

Доказать равенство

Здесь $r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, $r$ — расстояние от точки $(x,y,z)$ до произвольной точки $(\xi ,\eta ,\zeta )$ внутри объема $\omega$.

Доказать тождество

где $\sigma$ — поверхность тела объема $\omega$; $\overrightarrow {n}$ — внешняя нормаль к $\sigma$; $\overrightarrow {r}$ — вектор от точки $(x,y,z)$ к точке $(\xi ,\eta ,\zeta )$; $r$ — его длина.

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче ($\sigma$ — поверхность тела объема $\omega$; $\overrightarrow {n}$ — внешняя нормаль к $\sigma$; $\overrightarrow {r}$ — вектор от точки $(x,y,z)$ к точке $(\xi ,\eta ,\zeta )$; $r$ — его длина), доказать тождество

Написать аналогичные тождества (см. задачу 3809) для площади $\sigma$ и ее контура $S$.

Доказать равенство $\displaystyle \int_{S} \frac{\cos (\overrightarrow {r},\overrightarrow {n})}{r} \, ds = 0$, если точка $(x,y)$ лежит вне области, ограниченной контуром $S$, и $=2\pi$, если контур $S$ совершает один полный обход вокруг точки $(x,y)$.

Проекции на оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ силы, с которой точка с массой $m$ притягивается по закону Ньютона телом с плотностью $\mu$, выражаются формулами:

где $P=\iiint_{\omega } \mu \dfrac {d\omega }{r}$, $r=\sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}$, $f$ — постоянная закона тяготения. Пользуясь этим, вычислить силу притяжения шаром радиуса $a$ с плотностью $\mu$ точки массы $m$, расположенной на его поверхности.

По закону Био-Савара каждый элемент $d\overrightarrow {s}$ тока силой $I$ создает в точке $M(x,y,z)$ магнитное поле, напряженность которого можно выразить векторным произведением $-\dfrac {kI}{r^{2}}d\overrightarrow {s}\times \overrightarrow {r}$, где $\overrightarrow {r}$ — вектор, идущий от $d\overrightarrow {s}$ к $M$. Доказать, что напряженность поля $\overrightarrow {H}$, создаваемая замкнутым током, идущим по контуру $S$, выражается векторным интегралом $\overrightarrow {H}=-kI\int_{S} \dfrac {d\overrightarrow {s}\times \overrightarrow {r}}{r^{2}}$; здесь $k$ — коэффициент пропорциональности.

Пользуясь предыдущим результатом (задача 3813: $\overrightarrow {H}=-kI\int_{S} \frac{d\overrightarrow {s}\times \overrightarrow {r}}{r^{2}}$, напряженность магнитного поля замкнутого тока по закону Био-Савара) и формулой Стокса

(циркуляция вектора по замкнутому контуру $L$ равна потоку вихря вектора сквозь поверхность $\sigma$, ограниченную контуром), доказать равенство $\overrightarrow {H}=-kI\operatorname {grad}W$, где $W$ — телесный угол, под которым из точки $M$ видна площадь $\sigma$ с контуром $S$, равный интегралу $\iint_{\sigma } \dfrac {\cos (\overrightarrow {r},\overrightarrow {n})}{r^{2}} \, d\sigma$.

Вычисляется интеграл $\displaystyle \int_{s_{1}} d\overrightarrow {s}_{1}\int_{s_{2}} \frac{d\overrightarrow {s}_{2}\times \overrightarrow {r}}{r^{3}}$, взятый по двум замкнутым контурам $s_{1}$ и $s_{2}$, где $\overrightarrow {r}$ — вектор, соединяющий переменные точки на контуре. Рассматривая $\dfrac {d\overrightarrow {s}_{1}\times d\overrightarrow {s}_{2}\cdot \overrightarrow {e}_{r}}{r^{2}}$ как телесный угол, доказать, что этот двойной интеграл равен $0$, если один контур не зацепляется с другим, и равен $\pm 4\pi$, если он зацепляется (один раз).