Вычисление поверхностей

Величина поверхности, заданной уравнением $F(x,y,z)=0$, выражается интегралом

где площадь $S$ есть проекция искомой части поверхности на плоскость $xOy$. Если поверхность задана параметрическими уравнениями $x=\varphi (u,v)$, $y=\psi (u,v)$, $z=\omega (u,v)$, а элемент длины дуги $ds$ кривой, лежащей на поверхности, выражается формулой $ds^{2}=E\, du^{2}+2F\, du\, dv+G\, dv^{2}$, где

то величина поверхности представляется интегралом $\displaystyle \iint \sqrt{EG-F^{2}} \, du \, dv$, распространенным на области значений $u$ и $v$, соответствующих точкам изучаемой части поверхности.

Найти величину поверхности $z^{2}=2xy$ при $z>0$, $0<x<a$, $0<y<b$.

Найти величину поверхности $x^{2}=2pz$ при $\alpha x>y>\beta x$, $0<x<a$.

Найти величину части поверхности $z^{2}=2px$, вырезанной поверхностями $y^{2}=2qx$, $x=a$.

Найти величину части цилиндра $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {z^{2}}{b^{2}}=1$, заключенной внутри цилиндра $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{c^{2}}=1$; $a>b$.

Найти величину части шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, заключенной внутри цилиндра $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$; $a>b$.

Найти величину части шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, расположенной вне цилиндров $x^{2}+y^{2}=\pm ax$. (Задача Вивиани.)

Найти величину части цилиндров $x^{2}+y^{2}=\pm ax$, расположенной внутри шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Найти величину части конуса $y^{2}+z^{2}=x^{2}$, расположенной внутри цилиндра $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Найти величину части того же конуса $y^{2}+z^{2}=x^{2}$, вырезанной поверхностью $x^{2}=ay$.

Найти величину части поверхности $z=\operatorname {arctg}\dfrac {y}{x}$, проекция которой на плоскость $xOy$ ограничена первым витком спирали Архимеда $r=\varphi$ и осью $Ox$.

Найти величину поверхности $2cz=y^{2}-x^{2}+2xy\operatorname {ctg}\alpha$ при условиях $z \geqslant 0$; $x^{2}+y^{2}<a^{2}$.

Найти величину части поверхности $x^{2}+y^{2}=2az$ внутри цилиндра $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти величину части поверхности $az=xy$ внутри цилиндра $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$.

Найти величину части поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ внутри цилиндра $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти величину части поверхности $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ внутри цилиндра $(x^{2}+y^{2})^{2}=2xy$ при $z \geqslant 0$.

Найти величину части поверхности $(x\cos \alpha +y\sin \alpha )^{2}+z^{2}=a^{2}$ при $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти величину части поверхности $(x+y)^{2}+z=1$ при $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти величину части поверхности $(x+y)^{2}+2z^{2}=2a^{2}$ при $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти величину части поверхности $(x^{2}+y^{2})z=x+y$ при $1<x^{2}+y^{2}<4$, $x>0$, $y>0$.

Найти величину части поверхности $\dfrac {x^{2}}{a}+\dfrac {y^{2}}{b}=2z$ внутри цилиндра $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти величину части поверхности $\dfrac {x^{2}}{a}-\dfrac {y^{2}}{b}=2z$ внутри цилиндра $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ при $z>0$.

Найти величину части поверхности $\dfrac {x^{2}}{a}+\dfrac {y^{2}}{b}=2z$ внутри цилиндра $\left(\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}$.

Найти величину части поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ при $0<x$, $0<y$, $x+y<a$, $z>0$.

Найти величину части поверхности $z^{2}=2xy$ при $0<x$, $0<y$, $0<z$, $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}<1$.

Найти величину части поверхности $\sin z=\operatorname {sh}x \operatorname {sh}y$ при $1<x<2$.

Найти величину части геликоида $x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$, $z=h\varphi$ для $0<r<a$, $0<\varphi <2\pi$.

Найти величину поверхности $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$.

Найти величину телесного угла, под которым виден из начала координат прямоугольник $0<y<b$, $0<z<c$, $x=a>0$. Иными словами, найти часть поверхности шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, на которую лучами из начала проектируются точки данного прямоугольника.