Криволинейные интегралы

Если дано уравнение линии либо в виде одного уравнения $f(x,y)=0$, либо параметрически: $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$, то криволинейный интеграл по линии $AB$, обозначаемый через $\displaystyle \int_{AB} P(x,y) \, dx+Q(x,y) \, dy$, вычисляется приведением к обыкновенному определенному интегралу: если $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$ и параметр $t$ меняется от $a$ до $b$ при переходе из $A$ в $B$, то

При изменении направления пути интегрирования на обратное величина интеграла умножается на минус единицу: $\displaystyle \int_{AB} P \, dx+Q \, dy=-\int_{BA} P \, dx+Q \, dy$.

Найти величину интеграла $\displaystyle \int_{AB} x \, dy-y \, dx$ по параболе $y=x^{2}$ между точками $A(0,0)$ и $B(2,4)$.

Найти интеграл $\displaystyle \int_{AB}(x+y) \, dx+(x-y) \, dy$, если путь интегрирования — парабола $y=x^{2}$ между точками $(-1,1)$, $(1,1)$.

Найти интеграл $\displaystyle \int_{AB} x^{2} \, ds$, где путь интегрирования — верхняя половина окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ между точками $A(a,0)$ и $B(-a,0)$.

Найти величину интеграла $\displaystyle \int_{AB} x \, dy$, взятого на правой полуокружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ между точками $A(0,-a)$ и $B(0,a)$.

Найти величину интеграла $\displaystyle \int_{AB}(x^{2}+y^{2}) \, dx+(x^{2}-y^{2}) \, dy$, взятого по контуру треугольника с вершинами в точках $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$.

Из формулы Грина (см. задачу 3621) получить равенство: $S=\dfrac {1}{2}\int_{C}(x \, dy-y \, dx)$, где $C$ — контур, охватывающий площадь $S$ в положительном направлении.

Вычислить с помощью формулы задачи 3622 ($S=\dfrac {1}{2}\int_{C}(x\, dy-y\, dx)$) площадь эллипса $x=a\cos t$, $y=b\sin t$.

Вычислить с помощью формулы задачи 3622 ($S=\dfrac {1}{2}\int_{C}(x\, dy-y\, dx)$) площадь сектора гиперболы $x=a\operatorname {ch}t$, $y=b\operatorname {sh}t$, ограниченного осью $Ox$, дугой гиперболы до точки $M(x_{0},y_{0})$ и прямой $OM$.

Вычислить с помощью формулы задачи 3622 ($S=\dfrac {1}{2}\int_{C}(x\, dy-y\, dx)$) площадь сектора астроиды $x=a\cos^{3}t$, $y=a\sin^{3}t$, ограниченного прямыми $OM_{1}$ и $OM_{2}$ из начала координат и дугой $M_{1}M_{2}$ астроиды (значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$ отвечают точки $M_{1}$, $M_{2}$).

Найти площадь гипоциклоиды с тремя остриями:

Найти величину криволинейного интеграла $\displaystyle \int_{C} \dfrac {x \, dy-y \, dx}{x^{2}+y^{2}}$, взятого по замкнутому контуру $C$ в положительном направлении.

Кривые $X(x,y)=0$ и $Y(x,y)=0$ имеют несколько простых точек пересечения. Вычислить величину интеграла $\dfrac {1}{2\pi }\displaystyle \int_{C} \dfrac {X\, dY-Y\, dX}{X^{2}+Y^{2}}$, взятого в положительном направлении по замкнутому контуру $C$.

Одним из приложений криволинейных интегралов является нахождение центра тяжести $(x_{c}, y_{c}, z_{c})$ кривой. Для этого служат формулы:

где $\mu (x,y,z)$ — плотность кривой в точке $(x,y,z)$, а $M$ — масса кривой.

Найти координаты центра тяжести однородной дуги окружности радиуса $a$ при центральном угле $2\varphi$.

Найти координаты центра тяжести всей дуги однородной кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти координаты центра тяжести одной арки однородной циклоиды

Найти координаты центра тяжести дуги винтовой линии

для $0<t<m$.

Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой

для $0<t<\infty$.