Координаты центров тяжести и моменты инерции тел

Координаты $x_{c}$, $y_{c}$, $z_{c}$ центра тяжести тела, занимающего объем $V$, определяются формулами:

где $\rho$ — плотность тела в точке $(x,y,z)$, а $m$ — масса тела. В дальнейших задачах тело предполагается однородным и $\rho =1$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $x+y+z=a$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $z^{2}=xy$, $x=a$, $y=b$, $z=c$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $abz=c(a-x)(b-y)$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью $h^{2}(x^{2}+y^{2})=a^{2}z^{2}$; $0<z<h$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, представляющего собой сегмент шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$; $h<z<a$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}=ax$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}=z$, $x+y+z=0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}=a(a-2z)$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}=2a^{2}$, $x+y+z=2a$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=axyz$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{3}z$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$; $z>0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z}{c}$, $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}=\pm 1$, $\dfrac {x}{a}-\dfrac {y}{b}=\pm 1$, $z=0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}+\sqrt{\dfrac {z}{c}}=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью $\Big(\dfrac {x}{a}\Big)^{2/3}+\Big(\dfrac {y}{b}\Big)^{2/3}+\Big(\dfrac {z}{c}\Big)^{2/3}=1$; $x>0$, $y>0$, $z>0$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, где $l=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ — расстояние переменной точки тела до оси $Oz$, ограниченного поверхностями $x=0$, $x=a$, $y=0$, $y=b$, $z=0$, $z=c$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностями $z^{2}=2ax$, $z=0$, $x^{2}+y^{2}=ax$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностью $h^{2}(x^{2}+y^{2})=a^{2}z^{2}$; $0<z<h$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностями $x+y+z=a\sqrt{2}$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $z=0$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностью $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{3}z$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностью $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностями $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела ($\rho =1$), т. е. интеграл $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, ограниченного поверхностью $\Big(\dfrac {x}{a}\Big)^{2/3}+\Big(\dfrac {y}{b}\Big)^{2/3}+\Big(\dfrac {z}{c}\Big)^{2/3}=1$.

Найти моменты инерции однородного тора

относительно его оси вращения.

Найти момент инерции того же однородного тора

что и в предыдущей задаче, относительно его экваториального диаметра.

Найти момент инерции однородного эллиптического конуса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\dfrac {z^{2}}{h^{2}}$, $z=h$, относительно оси $Ox$.

Найти момент инерции однородного кругового цилиндра высоты $H$ и радиуса основания $a$ относительно диаметра основания.

Найти момент инерции однородного кругового конуса высоты $H$ и радиуса основания $R$ относительно диаметра основания.

Моменты инерции однородного тела ($\rho =1$) относительно координатных осей даются формулами $I_{x}=\iiint \limits_{V}(y^{2}+z^{2}) \, dx \, dy \, dz$, $I_{y}=\iiint \limits_{V}(z^{2}+x^{2}) \, dx \, dy \, dz$, $I_{z}=\iiint \limits_{V}(x^{2}+y^{2}) \, dx \, dy \, dz$, а центробежные моменты инерции — интегралами $I_{xy}=\iiint \limits_{V}xy \, dx \, dy \, dz$, $I_{yz}=\iiint \limits_{V}yz \, dx \, dy \, dz$, $I_{zx}=\iiint \limits_{V}zx \, dx \, dy \, dz$.

Определить высоту $h$ и радиус основания $a$ однородного цилиндра так, чтобы эллипсоид инерции для этого цилиндра обратился в шар.

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче (определить высоту $h$ и радиус основания так, чтобы эллипсоид инерции обратился в шар), для однородного конуса.

Определить высоту $h$ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат со стороной $a$, так, чтобы эллипсоид инерции для однородной массы, заполняющей этот параллелепипед, обратился в шар.

Доказать, что из всех однородных эллипсоидов лишь у шара эллипсоид инерции есть шар.

Доказать, что для однородных тел, симметричных относительно плоскости $yOz$, величина $J_{xy}=0$, где $J_{xy}$ — центробежный момент инерции $I_{xy}=\iiint \limits_{V}xy \, dx \, dy \, dz$ (обозначение из задачи 3751).

Доказать, что у однородных правильных многогранников эллипсоид инерции есть шар.

Доказать, что однородный эллипсоид может быть подобен своему эллипсоиду инерции лишь в том случае, когда эллипсоид есть шар.