9.12

Многократные интегралы

[12/58%]
Показать
LaTeX
Задача 3816

Найти многократный интеграл ∫⋯∫dx1 dx2…dxn\displaystyle \int \cdots \int dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}, взятый по области, где все xk>0x_{k}>0 и x1+x2+…+xn⩽1x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\leqslant 1.

?
Задача 3817

Найти многократный интеграл ∫⋯∫x1 dx1 dx2…dxn\displaystyle \int \cdots \int x_{1} \, dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}, взятый по области, где xk>0x_{k}>0 и x1+x2+…+xn⩽1x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\leqslant 1.

?
Задача 3818

Найти многократный интеграл

∫∣x1∣+∣x2∣+…+∣xn∣<a⋯∫dx1 dx2…dxn. \int \limits _{\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\ldots +\left|x_{n}\right|<a}\cdots \int dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}.
?
Задача 3819

Найти многократный интеграл ∫01∫01⋯∫01(x12+x22+…+xn2) dx1 dx2…dxn\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\cdots \int_{0}^{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}) \, dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}.

?
Задача 3820

Найти многократный интеграл ∫01∫01⋯∫01(x1x2+x1x3+…+xn−1xn) dx1 dx2…dxn\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\cdots \int_{0}^{1}(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}) \, dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}.

?
Задача 3821

Пусть

un(a)=∫x12+x22+…+xn2<a2⋯∫dx1 dx2…dxn,vn=un(1). u_{n}(a) = \int \limits _{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<a^{2}}\cdots \int dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}, \qquad v_{n}=u_{n}(1).

Доказать равенство un(a)=anvnu_{n}(a)=a^{n}v_{n}.

?
Задача 3822

При прежних обозначениях (задача 3821: un(a)=∫⋯∫dx1 dx2…dxnu_{n}(a)=\int \cdots \int dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n}, взятый по области x12+x22+…+xn2<a2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<a^{2}, и vn=un(1)v_{n}=u_{n}(1)) очевидны равенства:

vn=∬x12+x22<1dx1 dx2∫x32+x42+…+xn2<1−x12−x22⋯∫dx3 dx4…dxn= v_{n} = \iint \limits _{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1} dx_{1} \, dx_{2} \int \limits _{x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}\cdots \int dx_{3} \, dx_{4}\ldots dx_{n} ={} =∬x12+x22<1(1−x12−x22)n2−1vn−2 dx1 dx2. {}= \iint \limits _{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1} (1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2})^{\frac{n}{2}-1}v_{n-2} \, dx_{1} \, dx_{2}.

Пользуясь ими, доказать, что

un(a)=πn/2anΓ(n2+1). u_{n}(a) = \frac{\pi ^{n/2}a^{n}}{\Gamma \big(\frac{n}{2}+1\big)}.

В частности, u1=2au_{1}=2a, u2=πa2u_{2}=\pi a^{2}, u3=43πa3u_{3}=\dfrac {4}{3}\pi a^{3}, u4=π22a4,…u_{4}=\dfrac {\pi^{2}}{2}a^{4}, \ldots

?
Задача 3823

Если

un=∫x1+x2+…+xn<a0<x1,0<x2,…,0<xn⋯∫x1α1−1x2α2−1…xnαn−1 dx1 dx2…dxn, u_{n} = \int \limits _{\substack {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}<a \\ 0<x_{1},0<x_{2},\ldots ,0<x_{n}}}\cdots \int x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}-1} \, dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n},

то легко доказать, что un(a)=aα1+α2+…+αnvnu_{n}(a)=a^{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots +\alpha_{n}}v_{n}, где vn=un(1)v_{n}=u_{n}(1). Пользуясь этим и равенством

vn=∫01x1α1−1 dx1∫x22+x32+…+xn2<1−x120<x2,…,0<xn⋯∫x2α2−1x3α3−1…xnαn−1 dx2 dx3…dxn, v_{n} = \int \limits _{0}^{1} x_{1}^{\alpha _{1}-1} \, dx_{1} \int \limits _{\substack {x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}<1-x_{1}^{2} \\ 0<x_{2},\ldots ,0<x_{n}}}\cdots \int x_{2}^{\alpha _{2}-1}x_{3}^{\alpha _{3}-1}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}-1} \, dx_{2} \, dx_{3}\ldots dx_{n},

доказать, что

un(a)=Γ(α1)Γ(α2)…Γ(αn)Γ(1+α1+α2+…+αn)aα1+α2+…+αn. u_{n}(a) = \frac{\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})\ldots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (1+\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n})}a^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}.
?
Задача 3824

Доказать равенство:

∫0xdx1∫0x1dx2…∫0xn−1f(x) dxn=∫0xf(t)(x−t)n−1(n−1)! dt. \int \limits _{0}^{x} dx_{1} \int \limits _{0}^{x_{1}} dx_{2}\ldots \int \limits _{0}^{x_{n-1}} f(x) \, dx_{n} = \int \limits _{0}^{x} f(t)\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \, dt.
?
Задача 3825

Доказать равенство:

∫0xx1 dx1∫0x1x2 dx2…∫0xn−1xn dxn∫0xnf(t) dt= \int \limits _{0}^{x} x_{1} \, dx_{1} \int \limits _{0}^{x_{1}} x_{2} \, dx_{2}\ldots \int \limits _{0}^{x_{n-1}} x_{n} \, dx_{n} \int \limits _{0}^{x_{n}} f(t) \, dt ={} =12⋅4⋅…⋅2n∫0xf(t)(x2−t2)n dt. {}= \frac{1}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}\int \limits _{0}^{x} f(t)(x^{2}-t^{2})^{n} \, dt.
?
Задача 3826

Привести к простому интегралу кратный интеграл

∬⋯∫x1α1−1x2α2−1…xnαn−1F(x1+x2+…+xn) dx1 dx2…dxn, \iint \cdots \int x_{1}^{\alpha _{1}-1}x_{2}^{\alpha _{2}-1}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}-1}F(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}) \, dx_{1} \, dx_{2}\ldots dx_{n},

взятый по области, определяемой неравенствами

0<x1,0<x2,…,0<xn,x1+x2+…+xn<a. 0<x_{1}, \quad 0<x_{2}, \quad \ldots , \quad 0<x_{n}, \quad x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}<a.
?
Примечание.
?

Один из путей — замена переменных по формулам x1+x2+…+xn=ux_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=u, x1=x1x_{1}=x_{1}, x2=x2x_{2}=x_{2}, x3=x3,…,xn−1=xn−1x_{3}=x_{3},\ldots ,x_{n-1}=x_{n-1}.

Задача 3827

Точки M(x,y,z)M(x,y,z) и M1(ξ,η,ζ)M_{1}(\xi ,\eta ,\zeta ) независимо друг от друга пробегают весь объем тела с плотностью p=p(x,y,z)p=p(x,y,z). Потенциалом тела на себя называется интеграл

12∫ ⁣ ⁣∫ ⁣ ⁣∫ ⁣ ⁣∫ ⁣ ⁣∫ ⁣ ⁣∫p(x,y,z)p(ξ,η,ζ) dx dy dz dξ dη dζ(x−ξ)2+(y−η)2+(z−ζ)2. \frac{1}{2}\int \! \! \int \! \! \int \! \! \int \! \! \int \! \! \int \frac{p(x,y,z)p(\xi ,\eta ,\zeta ) \, dx \, dy \, dz \, d\xi \, d\eta \, d\zeta }{\sqrt{(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}.

Найти величину потенциала на себя однородного шара x2+y2+z2=a2x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}. Его величина измеряет работу, производимую при передвижении из бесконечности в одно тело частиц, притягивающихся по закону Ньютона.

?
Примечание.
?

Два пути быстро приводят к цели: 1) Воспользоваться тем, что интеграл по переменным (ξ,η,ζ)(\xi ,\eta ,\zeta ) дает потенциал шара во внутренней точке (x,y,z)(x,y,z), найденный в одной из прежних задач (задача 3799). 2) Учесть работу dAdA, совершаемую, если массы, приходящие из бесконечности, увеличивают радиус шара с rr на r+drr+dr, и проинтегрировать полученное по rr от 00 до aa.