Вычисление площадей

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $y=x^{2}$, $x=y^{2}$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $y=2x-x^{2}$, $y=x^{2}$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $2y=x^{2}$, $x=y$.

Пользуясь формулой $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$, вычислить площадь, ограниченную кривыми $4y=x^{2}-4x$, $x-y-3=0$.

С помощью формулы $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$ и перехода к полярным координатам вычислить площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$ и окружностью $x^{2}+y^{2}=2ax$.

С помощью формулы $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy$ и перехода к полярным координатам вычислить площадь, ограниченную кардиоидой $(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$ и окружностью $x^{2}+y^{2}=ay\sqrt{3}$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную подэрой эллипса $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{4}+y^{4})$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь петли листа Декарта $x^{3}+y^{3}=axy$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=a(x^{3}+y^{3})$.

Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривой $x^{4}+y^{4}=2a^{2}xy$.

Пусть $\omega (x,y)$, $\varphi (x,y)$, $\psi (x,y)$ — однородные функции степеней $n$, $n-2$, $n-2$, одновременно обращающиеся в нуль лишь при $x=0$ и $y=0$ и положительные при других значениях $x$ и $y$. Обозначим через $S(a,b)$ площадь, ограниченную кривой

Доказать, что $S(a+\alpha , b+\beta )=S(a,b)+S(\alpha ,\beta )$.

В частности, если $\omega (x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}$, $\varphi (x,y)=x^{2}$, $\psi (x,y)=y^{2}$, то $S(a,b)=S(b,a)$. Получить отсюда, что $S(a,b)=\dfrac {\pi }{2}(a^{2}+b^{2})$ (см. задачу 3510: здесь $S(a,b)$ — площадь, ограниченная кривой $\omega (x,y)=a\varphi (x,y)+b\psi (x,y)$ для однородных функций $\omega$, $\varphi$, $\psi$ степеней $n$, $n-2$, $n-2$, одновременно обращающихся в нуль лишь при $x=0$, $y=0$ и положительных в остальных точках, а $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$).

В следующих задачах полезно применять обобщенные полярные координаты, полагая $x=ar\cos^{\sigma }\varphi$, $y=br\sin^{\sigma }\varphi$, где $a$, $b$ и $\sigma$ — соответственно выбранные постоянные; якобиан этой замены равен $J=ab\sigma r\cos^{\sigma -1}\varphi \sin^{\sigma -1}\varphi$.

Найти площадь, ограниченную кривой

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{2}=\dfrac {x}{a}-\dfrac {y}{b}$; $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{3}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}$; $y>0$, $a>0$, $b>0$.

Найти площадь петли кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{3}=\dfrac {xy}{c^{2}}$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}\right)^{4}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}-\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}+\left(\dfrac {y}{b}\right)^{2/3}\right)^{6}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left(\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}\right)^{8}=\dfrac {x^{2}}{h^{2}}+\dfrac {y^{2}}{k^{2}}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь петли кривой $\left(\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}\right)^{8}=\dfrac {xy}{c^{2}}$.

В следующих задачах границы площади заданы уравнениями вида $\varphi (x,y,a)=0$, $\varphi (x,y,b)=0$, $\psi (x,y,\alpha )=0$, $\psi (x,y,\beta )=0$. В них удобно выразить $x$ и $y$ через новые переменные $u$ и $v$ из уравнений $\varphi (x,y,u)=0$, $\psi (x,y,v)=0$. Найдя якобиан $J$, можем вычислить $S$ по формуле $\displaystyle S=\iint \limits_{S} dx \, dy=\int \limits_{a}^{b} du \int \limits_{\alpha }^{\beta } \left|J\right| \, dv$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $x+y=a$, $x+y=b$, $y=\alpha x$, $y=\beta x$; $a<b$, $\alpha <\beta$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $x^{2}=ay$, $x^{2}=by$, $y=m$, $y=n$; $a<b$, $m<n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}=1$, $\sqrt{\dfrac {x}{a}}+\sqrt{\dfrac {y}{b}}=2$, $\dfrac {x}{a}=\dfrac {y}{b}$, $\dfrac {x}{a}=9\dfrac {y}{b}$; $x>0$, $y>0$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $xy=b^{2}$, $y=m$, $y=n$; $a^{2}>b^{2}$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=mx$, $y^{2}=nx$, $x=\alpha y$, $x=\beta y$; $m>n$, $\alpha >\beta$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $xy=b^{2}$, $x=\alpha y$, $x=\beta y$; $x>0$, $y>0$, $a>b$, $\alpha >\beta$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=ax$, $y^{2}=bx$, $x^{2}=my$, $x^{2}=ny$; $a>b$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=a^{2}$, $xy=b^{2}$, $y^{2}=mx$, $y^{2}=nx$; $a^{2}>b^{2}$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми $y^{2}=a^{2}-2ax$, $y^{2}=b^{2}-2bx$, $y^{2}=m^{2}+2mx$, $y^{2}=n^{2}+2nx$; $y>0$, $a>b$, $m>n$.

Найти площадь, ограниченную кривыми

Найти площадь, ограниченную эллипсом $(ax+by+c)^{2}+(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})^{2}=h^{2}$; $ab_{1}-a_{1}b \neq 0$.

Найти площадь, ограниченную линией $\left|ax+by+c\right|+\left|a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right|=h$; $ab_{1}-a_{1}b \neq 0$.