Глава 14

Функции комплексной переменной

[426/43%]
Показать
LaTeX
§
14.1 · Уравнения Коши--Римана[16/75%]
Задача 5371

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: u=x2−y2+xyu = x^{2}-y^{2}+xy; w(0)=0w(0) = 0.

?
Задача 5372

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: u=x3+6x2y−3xy2−2y3u = x^{3}+6x^{2}y-3xy^{2}-2y^{3}; w(0)=0w(0) = 0.

?
Задача 5373

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: v=yx2+y2v = \frac{y}{x^{2}+y^{2}}; w(2)=0w(2) = 0.

?
Задача 5374

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: u=ex(xcos⁡y−ysin⁡y)u = e^{x}(x\cos y - y\sin y); w(0)=0w(0) = 0.

?
Задача 5375

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: u=2sin⁡2xe2y+e−2y−2cos⁡2xu = \frac{2\sin 2x}{e^{2y}+e^{-2y}-2\cos 2x}.

?
Задача 5376

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: u=φ(yx)u = \varphi \left(\frac{y}{x}\right), где φ\varphi --- некоторая функция.

?
Задача 5377

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: u=F(x+x2+y2)u = F(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}).

?
Задача 5378

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по следующим условиям: v=f(x2+y2)v = f(x^{2}+y^{2}).

?
Задача 5379

Доказать, что уравнение u(x,y)=Cu(x,y) = C может изображать семейство линий равного потенциала только в том случае, если отношение величин

∂2u∂x2+∂2u∂y2и(∂u∂x)2+(∂u∂y)2 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} \quad \text{и} \quad \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}

есть функция только одного uu.

?
Задача 5380

Доказать, что кривые xn+yn=Cx^{n}+y^{n} = C могут быть линиями равного потенциала только при n=1n = 1 и при n=2n = 2.

?
Задача 5381

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по условиям: линии Re(w(z))=c\mathrm{Re}\left(w(z)\right) = c --- окружности x2+y2=a2x^{2}+y^{2} = a^{2}.

?
Задача 5382

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по условиям: линии ∣w(z)∣=c\left|w(z)\right| = c --- окружности x2+y2=axx^{2}+y^{2} = ax.

?
Задача 5383

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по условиям: линии ∣w(z)∣=c\left|w(z)\right| = c --- лемнискаты r2=a2sin⁡2φr^{2} = a^{2}\sin 2\varphi.

?
Задача 5384

Найти аналитическую функцию w(z)w(z) по условиям: линии arg⁡w(z)=c\arg w(z) = c --- окружности x2+y2=a2x^{2}+y^{2} = a^{2}.

?
Задача 5385

Доказать равенство:

∂2∣w(z)∣∂x2+∂2∣w(z)∣∂y2=∣w′(z)∣2∣w(z)∣. \frac{\partial ^{2} \left|w(z)\right|}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} \left|w(z)\right|}{\partial y^{2}} = \frac{\left|w'(z)\right|^{2}}{\left|w(z)\right|}.
?
Задача 5386

Функция w=f(z)w = f(z) регулярна в односвязной области, ограниченной кривой ∣w(z)∣=c\left|w(z)\right| = c. Показать, что arg⁡w\arg w изменяется монотонно, если zz пробегает кривую ∣w(z)∣=c\left|w(z)\right| = c в положительном направлении.

?
§
14.2 · Особые точки функции. Ряд Тейлора и Маклорена[36/11%]
Задача 5387

Найти особые точки функции zz2+1\dfrac {z}{z^{2}+1}.

?
Задача 5388

Найти особые точки функции 1z−z3\dfrac {1}{z-z^{3}}.

?
Задача 5389

Найти особые точки функции 1sin⁡z\dfrac {1}{\sin z}.

?
Задача 5390

Найти особые точки функции 1ez−1−1z\dfrac {1}{e^{z}-1}-\dfrac {1}{z}.

?
Задача 5391

Найти особые точки функции sin⁡1z\sin \dfrac {1}{z}.

?
Задача 5392

Найти особые точки функции 1−z2\sqrt{1-z^{2}}.

?
Задача 5393

Найти особые точки функции 1−z3\sqrt{1-z^{3}}.

?
Задача 5394

Построить линии равного модуля и равного аргумента для функции w=e1zw = e^{\frac{1}{z}}.

?
Задача 5395

Показать, что при любом A≠0A \neq 0 уравнение e1/z=Ae^{1/z} = A в любой данной окрестности точки z=0z = 0 имеет бесконечное множество корней.

?
Задача 5396

Показать, что в той же области уравнение cos⁡1z=A\cos \dfrac {1}{z} = A имеет бесконечное множество корней при любом значении AA.

?
Задача 5397

Изучить изменение arg⁡z−an\arg \sqrt[n]{z-a}, если точка zz описывает простой замкнутый контур, обходящий точку z=az = a в положительном направлении.

?
Задача 5398

Изучить изменение функции 1−z2\sqrt{1-z^{2}}, если точка zz описывает простой замкнутый контур одного из трех видов:

?
(а)

обходящий одну из точек z=±1z = \pm 1,

(б)

обходящий обе эти точки,

(в)

оставляющий эти точки вне контура.

Задача 5399

Найти в точке z=−ez = -e значение функции w=zz=ezln⁡zw = z^{z} = e^{z\ln z}, если ln⁡1=0\ln 1 = 0 и если ww изменяется непрерывным образом при движении zz в верхней полуплоскости или при движении в нижней полуплоскости.

?
Задача 5400

Найти при z=e−φiz = e^{-\varphi i} значение той ветви функции z−eφi\sqrt{z-e^{\varphi i}}, которая при z=0z = 0 имеет значение ieφ2iie^{\frac{\varphi }{2}i} и которая непрерывно продолжается при движении zz вдоль по радиусу из начала координат в точку z=e−φiz = e^{-\varphi i}.

?
Задача 5401

В плоскости zz проведен разрез по линиям: y=0y = 0; ∣x∣>1\left|x\right| > 1 и x2+y2=1x^{2}+y^{2} = 1; y>0y > 0; функция ln⁡(1−z2)\ln (1-z^{2}) равна нулю при z=0z = 0. Найти ее значение при z=3z = 3.

?
Задача 5402

Показать, что функция w=ln⁡(z+z2−1)w = \ln (z+\sqrt{z^{2}-1}) однозначна в плоскости с разрезами по вещественной оси при −∞<x<−1-\infty < x < -1 и 1<x<∞1 < x < \infty. Найти значения ww при z=+iz = +i и z=−iz = -i, исходя из условия, что на верхнем краю правого разреза ww положительна.

?
Задача 5403

Пользуясь разложением в ряд для 1cos⁡z\dfrac {1}{\cos z} и zctg⁡zz\ctg z, доказать равенство:

ln⁡tg⁡(π4+z2)=∑n=0∞En(2n+1)!z2n+1;∣z∣<π2; \ln \tg \left(\frac{\pi }{4}+\frac{z}{2}\right) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{E_{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}; \quad \left|z\right| < \frac{\pi }{2};

EnE_{n} --- числа Эйлера (E0=1E_{0} = 1).

?
Задача 5404

Пользуясь разложением в ряд для 1cos⁡z\dfrac {1}{\cos z} и zctg⁡zz\ctg z, доказать равенство:

tg⁡z=∑n=1∞22n(22n−1)Bn(2n)!z2n−1;∣z∣<π2; \tg z = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}}{(2n)!}z^{2n-1}; \quad \left|z\right| < \frac{\pi }{2};

BnB_{n} --- числа Бернулли.

?
Задача 5405

Пользуясь разложением в ряд для 1cos⁡z\dfrac {1}{\cos z} и zctg⁡zz\ctg z, доказать равенство:

zsin⁡z=1+∑n=1∞(22n−2)Bn(2n)!z2n;∣z∣<π. \frac{z}{\sin z} = 1+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(2^{2n}-2)B_{n}}{(2n)!}z^{2n}; \quad \left|z\right| < \pi .
?
Задача 5406

Пользуясь разложением в ряд для 1cos⁡z\dfrac {1}{\cos z} и zctg⁡zz\ctg z, доказать равенство:

ln⁡sin⁡zz=−∑n=1∞22n−1Bnn(2n)!z2n;∣z∣<π. \ln \frac{\sin z}{z} = -\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^{2n-1}B_{n}}{n(2n)!}z^{2n}; \quad \left|z\right| < \pi .
?
Задача 5407

Пользуясь разложением в ряд для 1cos⁡z\dfrac {1}{\cos z} и zctg⁡zz\ctg z, доказать равенство:

ln⁡cos⁡z=−∑n=1∞22n−1(22n−1)Bnn⋅(2n)!z2n;∣z∣<π2. \ln \cos z = -\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{n}}{n\cdot (2n)!}z^{2n}; \quad \left|z\right| < \frac{\pi }{2}.
?
Задача 5408

Найти первые шесть коэффициентов в разложении функций и определить области сходимости этих рядов:

w1=zln⁡(1+z);w2=zarctg⁡z. w_{1} = \frac{z}{\ln (1+z)}; \quad w_{2} = \frac{z}{\arctg z}.
?
Задача 5409

Разложить в ряд по степеням zz ту ветвь функции z+i\sqrt{z+i}, значение которой при z=0z = 0 равно 1+i2\dfrac {1+i}{\sqrt{2}}.

?
Задача 5410

Найти круг сходимости для разложения по степеням zz для функций sin⁡πz2sin⁡πz\dfrac {\sin \pi z^{2}}{\sin \pi z} и cos⁡2πz2cos⁡πz\dfrac {\cos 2\pi z^{2}}{\cos \pi z}.

?
Задача 5411

Разложить функцию z(z2−4)(z2−1)\dfrac {z}{(z^{2}-4)(z^{2}-1)} в ряд Лорана при 1<∣z∣<21 < \left|z\right| < 2.

?
Задача 5412

Разложить функцию 1(z2−1)(z2−4)2\dfrac {1}{(z^{2}-1)(z^{2}-4)^{2}} в ряд Лорана при 1<∣z∣<21 < \left|z\right| < 2.

?
Задача 5413

Разложить функцию 1(z2−1)(z2−4)2\dfrac {1}{(z^{2}-1)(z^{2}-4)^{2}} в ряд Лорана при ∣z∣>2\left|z\right| > 2 (то же, что и в предыдущей задаче, при другом условии на область).

?
Задача 5414

Разложить функцию ctg⁡z\ctg z в ряд Лорана:

?
(а)

при ∣z∣<π\left|z\right| < \pi;

(б)

при π<∣z∣<2π\pi < \left|z\right| < 2\pi.

Задача 5415

Разложить функцию 1z−2ln⁡z−iz+i\dfrac {1}{z-2}\ln \dfrac {z-i}{z+i} в ряд Лорана при 1<∣z∣<21 < \left|z\right| < 2, считая при z=2iz = 2i величину логарифма вещественной.

?
Задача 5416

Разложить функцию 1z−2ln⁡z−iz+i\dfrac {1}{z-2}\ln \dfrac {z-i}{z+i} в ряд Лорана при ∣z∣>2\left|z\right| > 2 (то же, что и в предыдущей задаче, при другом условии на область, считая при z=2iz = 2i величину логарифма вещественной).

?
Задача 5417

Разложить функцию z5e1/zz^{5}e^{1/z} в ряд Лорана.

?
Задача 5418

Разложить функцию ez+1/ze^{z+1/z} в ряд Лорана.

?
Задача 5419

Доказать теорему: если ряд ∑n=0∞anzn\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n} имеет на краю круга сходимости лишь одну особую точку, а именно полюс порядка mm, то справедливо равенство: an=Anm−1z0n(1+ε(n))a_{n} = \dfrac {An^{m-1}}{z_{0}^{n}}\left(1+\varepsilon (n)\right), где ε(n)→0\varepsilon (n) \to 0 при n→∞n \to \infty, AA --- постоянная, z0z_{0} --- полюс.

?
Задача 5420

Доказать теорему: если радиус сходимости степенного ряда ∑anzn\sum a_{n}z^{n} равен единице, а особые точки на круге сходимости лишь полюсы, порядок которых не больше, чем mm, то коэффициенты ряда не превосходят Anm−1An^{m-1}, где AA --- постоянная.

?
Задача 5421

Доказать теорему: если у ряда ∑anzn\sum a_{n}z^{n} все an⩾0a_{n} \geqslant 0, а радиус круга равен 11, то z=1z = 1 является особой точкой.

?
Примечание.
?

Доказательство от противного, основанное на разложении суммы ряда по степеням z−az-a, где 0<a<10 < a < 1.

Задача 5422

Доказать теорему: если радиус сходимости рядов ∑anzn\sum a_{n}z^{n} и ∑Re(an)⋅zn\sum \mathrm{Re}\left(a_{n}\right)\cdot z^{n} равен 11 и все Re(an)⩾0\mathrm{Re}\left(a_{n}\right) \geqslant 0, то точка z=1z = 1 --- особая точка для сумм этих рядов.

?
§
14.3 · Вычеты и их применения[66/42%]
Задача 5423

Найти вычеты функции 1z3−z5\dfrac {1}{z^{3}-z^{5}} в точках z=0z = 0, z=±1z = \pm 1.

?
Задача 5424

Найти вычеты функции z2(z2+1)2\dfrac {z^{2}}{(z^{2}+1)^{2}} в точках z=±iz = \pm i.

?
Задача 5425

Найти вычеты функции z2n(z+1)n\dfrac {z^{2n}}{(z+1)^{n}} в точках z=−1z = -1 и z=∞z = \infty.

?
Задача 5426

Найти вычет функции ezln⁡z−αz−βe^{z}\ln \dfrac {z-\alpha }{z-\beta } в точке z=∞z = \infty.

?
Задача 5427

Вычислить интеграл ∫dzz4+1\displaystyle \int \frac{dz}{z^{4}+1} вдоль окружности x2+y2=2xx^{2}+y^{2} = 2x, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5428

Вычислить интеграл ∫dz(z−1)2(z2+1)\displaystyle \int \frac{dz}{(z-1)^{2}(z^{2}+1)} вдоль окружности x2+y2=2x+2yx^{2}+y^{2} = 2x+2y, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5429

Вычислить интеграл ∫dz(z2−1)2(z−3)2\displaystyle \int \frac{dz}{(z^{2}-1)^{2}(z-3)^{2}} по астроиде x23+y23=223x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5430

Вычислить интеграл ∫∣z∣=1dz(z−a)n(z−b)n\displaystyle \int_{\left|z\right|=1} \frac{dz}{(z-a)^{n}(z-b)^{n}}; ∣a∣<1\left|a\right| < 1, ∣b∣<1\left|b\right| < 1, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5431

Вычислить интеграл ∫dz(z2−1)(z3−1)\displaystyle \int \frac{dz}{(z^{2}-1)(z^{3}-1)} по окружности ∣z∣=r≠1\left|z\right| = r \neq 1, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5432

Вычислить интеграл ∫dzz3(z10−2)\displaystyle \int \frac{dz}{z^{3}(z^{10}-2)} по окружности ∣z∣=2\left|z\right| = 2, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5433

Вычислить интеграл ∫z2e2πiz3−1 dz\displaystyle \int \frac{z^{2}}{e^{2\pi i z^{3}}-1}\, dz по краю полуокружности ∣z∣=R\left|z\right| = R, при условиях n<R3<n+1n < R^{3} < n+1, где nn --- целое число, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5434

Найти интеграл ∫dt(z4+1)z2+1\displaystyle \int \frac{dt}{(z^{4}+1)\sqrt{z^{2}+1}}, взятый по параболе x=y2x = y^{2} в направлении возрастающих yy, считая, что значение z2+1\sqrt{z^{2}+1} равно единице при z=0z = 0.

?
Задача 5435

При каком соотношении между aa и bb будет однозначна функция

∫0tatsin⁡t+bcos⁡tt2 dt. \int _{0}^{t} \frac{at\sin t+b\cos t}{t^{2}}\, dt.
?
Задача 5436

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x2+1x4+1 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}\, dx.

?
Задача 5437

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x4+1x6+1 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}\, dx.

?
Задача 5438

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x2(x2+a2)2 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\, dx.

?
Задача 5439

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞dx(x2+a2)2(x2+b2)\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}(x^{2}+b^{2})}.

?
Задача 5440

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x2m1+x2n dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2m}}{1+x^{2n}}\, dx; m<nm < n.

?
Задача 5441

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫02πdφcos⁡φ+a\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \frac{d\varphi }{\cos \varphi +a}; a>1a > 1 (положить z=eiφz = e^{i\varphi }).

?
Задача 5442

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫02πcos⁡22φ1−2pcos⁡φ+p2 dφ\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \frac{\cos^{2} 2\varphi }{1-2p\cos \varphi +p^{2}}\, d\varphi; ∣p∣<1\left|p\right| < 1.

?
Задача 5443

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫02πcos⁡23φ1−2pcos⁡2φ+p2 dφ\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \frac{\cos^{2} 3\varphi }{1-2p\cos 2\varphi +p^{2}}\, d\varphi; ∣p∣<1\left|p\right| < 1.

?
Задача 5444

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫0πctg⁡(x−a) dx\displaystyle \int_{0}^{\pi } \ctg (x-a)\, dx; Im(a)≠0\mathrm{Im}\left(a\right) \neq 0.

?
Задача 5445

Доказать равенство lim⁡r→∞∫CemizQ(z) dz=0\displaystyle \lim_{r\to \infty } \int_{C} e^{miz}Q(z)\, dz = 0, где CC --- полуокружность: z=reφiz = re^{\varphi i}; 0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi; m>0m > 0, а функция Q(z)Q(z) равномерно стремится к нулю при ∣z∣→∞\left|z\right| \to \infty в угле 0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi и регулярна в верхней полуплоскости. (Лемма Жордана.)

?
Задача 5446

Вычислить интегралы I1=∫−∞∞eiazz−ir dzI_{1} = \displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{iaz}}{z-ir}\, dz; I2=∫−∞∞eiazz+ir dzI_{2} = \displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{iaz}}{z+ir}\, dz; Re(r)>0\mathrm{Re}\left(r\right) > 0; a>0a > 0.

?
Задача 5447

Вычислить интеграл ∫0∞xsin⁡axx2+r2 dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x\sin ax}{x^{2}+r^{2}}\, dx.

?
Задача 5448

Вычислить интеграл ∫0∞cos⁡axx2+r2 dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{x^{2}+r^{2}}\, dx.

?
Задача 5449

Вычислить интеграл ∫0∞sin⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx.

?
Задача 5450

Вычислить интеграл ∫0∞cos⁡ax1+x4 dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{1+x^{4}}\, dx; a>0a > 0.

?
Задача 5451

Вычислить интеграл ∫0∞sin⁡axx(x2+b2) dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin ax}{x(x^{2}+b^{2})}\, dx; a>0a > 0, b>0b > 0.

?
Задача 5452

Исходя из равенства ∫0∞e−x2 dx=12π\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi }, доказать формулы для интегралов Френеля:

∫0∞cos⁡(x2) dx=∫0∞sin⁡(x2) dx=12π2. \int _{0}^{\infty } \cos (x^{2})\, dx = \int _{0}^{\infty } \sin (x^{2})\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}.
?
Задача 5453

Доказать равенство: ∫0∞xs−1e−ix dx=Γ(s)e−πsi2\displaystyle \int_{0}^{\infty } x^{s-1}e^{-ix}\, dx = \Gamma (s)e^{-\frac{\pi si}{2}}; 0<Re(s)<10 < \mathrm{Re}\left(s\right) < 1.

?
Задача 5454

Доказать равенство: ∫0∞cos⁡xn dx=1nΓ(1n)cos⁡π2n\displaystyle \int_{0}^{\infty } \cos x^{n}\, dx = \frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi }{2n}; n>1n > 1.

?
Задача 5455

Доказать равенство: ∫0∞sin⁡xn dx=1nΓ(1n)sin⁡π2n\displaystyle \int_{0}^{\infty } \sin x^{n}\, dx = \frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\sin \frac{\pi }{2n}; ∣n∣>1\left|n\right| > 1.

?
Задача 5456

Доказать равенство: ∫0∞sin⁡xnxn dx=1n−1Γ(1n)cos⁡π2n\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin x^{n}}{x^{n}}\, dx = \frac{1}{n-1}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi }{2n}; 0<1n<20 < \frac{1}{n} < 2.

?
Задача 5457

Доказать равенство 12πi∫a−∞ia+∞iΓ(s)z−s ds=e−z\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \Gamma (s)z^{-s}\, ds = e^{-z}; a>0a > 0; Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right) > 0.

?
Примечание.
?

Воспользоваться теоремой:

lim⁡∣s∣→∞(ln⁡Γ(s)−(s−12)ln⁡s+s−12ln⁡2π)=0, \lim _{\left|s\right|\to \infty }\left(\ln \Gamma (s)-\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s+s-\frac{1}{2}\ln 2\pi \right) = 0,

если ss находится направо от любой данной вертикальной прямой.

Задача 5458

Доказать равенство

12πi∫a−∞ia+∞ixss ds={1,если x>1;0,если x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s}}{s}\, ds = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1; \\ 0, & \text{если } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Задача 5459

Доказать равенство

12πi∫a−∞ia+∞ixss2 ds={ln⁡x,если x>1;0,если x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s}}{s^{2}}\, ds = \begin{cases} \ln x, & \text{если } x > 1; \\ 0, & \text{если } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Задача 5460

Доказать равенство

12πi∫a−∞ia+∞ixs+2s(s+1)(s+2) ds={(x−1)22,если x>1;0,если x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s+2}}{s(s+1)(s+2)}\, ds = \begin{cases} \dfrac {(x-1)^{2}}{2}, & \text{если } x > 1; \\ 0, & \text{если } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Задача 5461

Доказать равенство ∫0π/2f(eiφ)−f(e−iφ)eiφ−e−iφ dφ=π2f(1)−∫01f(ix)+f(−ix)1+x2 dx\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \frac{f(e^{i\varphi })-f(e^{-i\varphi })}{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}\, d\varphi = \frac{\pi }{2}f(1)-\int_{0}^{1} \frac{f(ix)+f(-ix)}{1+x^{2}}\, dx, если f(x)f(x) голоморфна в правой половине круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1.

?
Задача 5462

Доказать равенство ∫0∞cos⁡x−e−xx dx=0\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\cos x-e^{-x}}{x}\, dx = 0.

?
Задача 5463

Доказать равенство ∫0∞x2−a2x2+a2⋅sin⁡xx dx=π(e−a−12)\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}\cdot \frac{\sin x}{x}\, dx = \pi \left(e^{-a}-\frac{1}{2}\right); a>0a > 0.

?
Задача 5464

Пользуясь контуром, который целиком или частью состоит из краев разреза вдоль положительной или отрицательной части OXOX и окружностей вокруг начала радиусов ρ→0\rho \to 0 и R→∞R \to \infty, доказать равенство: ∫0∞xp−11+x dx=πsin⁡πp\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x^{p-1}}{1+x}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}; 0<p<10 < p < 1.

?
Задача 5465

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство: v.p.∫0∞xa−11−x dx=πctg⁡aπ\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx = \pi \ctg a\pi; 0<a<10 < a < 1, где

v.p.∫0∞xa−11−x dx=lim⁡σ→+0(∫01−σxa−11−x dx+∫1+σ∞xa−11−x dx). \text{v.p.}\int _{0}^{\infty } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx = \lim _{\sigma \to +0}\left(\int _{0}^{1-\sigma } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx+\int _{1+\sigma }^{\infty } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx\right).
?
Задача 5466

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство:

∫−∞∞eax−ebx1−ex dx=π(ctg⁡aπ−ctg⁡bπ);0<a<1,0<b<1. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{e^{ax}-e^{bx}}{1-e^{x}}\, dx = \pi (\ctg a\pi -\ctg b\pi ); \qquad 0 < a < 1, \quad 0 < b < 1.
?
Задача 5467

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство:

∫−∞∞∑λνeaνx1−ex dx=π∑λνctg⁡πaν;0<aν<1,∑λν=0. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sum \lambda _{\nu }e^{a_{\nu }x}}{1-e^{x}}\, dx = \pi \sum \lambda _{\nu }\ctg \pi a_{\nu }; \qquad 0 < a_{\nu } < 1, \quad \sum \lambda _{\nu } = 0.
?
Задача 5468

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство:

∫0∞x−p1+2xcos⁡λ+x2 dx=πsin⁡πp⋅sin⁡pλsin⁡λ;−1<p<1,−π<λ<π. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{-p}}{1+2x\cos \lambda +x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\cdot \frac{\sin p\lambda }{\sin \lambda }; \qquad -1 < p < 1, -\pi < \lambda < \pi .
?
Задача 5469

Пользуясь контуром, в состав которого входит разрез по оси OXOX между точками z=0z=0 и z=1z=1, дополненный кружками радиуса ρ→0\rho \to 0 вокруг этих точек, получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p(1+x)3 dx=πp(1−p)8sin⁡πp⋅2p. \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{(1+x)^{3}}\, dx = \frac{\pi p(1-p)}{8\sin \pi p}\cdot 2^{p}.
?
Задача 5470

Тем же приемом получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p1+x2 dx=πsin⁡πp(2p2cos⁡πp4−1). \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\left(2^{\frac{p}{2}}\cos \frac{\pi p}{4}-1\right).
?
Задача 5471

Тем же приемом получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p(a+x)2 dx=πsin⁡πp(1+a−pa(1+aa)p−1−1). \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{(a+x)^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\left(\frac{1+a-p}{a}\left(\frac{1+a}{a}\right)^{p-1}-1\right).
?
Задача 5472

Тем же приемом получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p1+x dx=πsin⁡πp(1+p−2p). \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}(1+p-2^{p}).
?
Задача 5473

Тем же приемом доказать равенство:

∫−11(1+x)1−p(1−x)p1+x2 dx=πsin⁡πp(sin⁡πp2+cos⁡πp2−1). \int _{-1}^{1} \frac{(1+x)^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\left(\sin \frac{\pi p}{2}+\cos \frac{\pi p}{2}-1\right).
?
Задача 5474

Доказать равенство:

∫0∞dx(x2+a2)(ln⁡2x+π2)=π2a⋅1ln⁡2a+π24−11+a2;a>0. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})(\ln ^{2} x+\pi ^{2})} = \frac{\pi }{2a}\cdot \frac{1}{\ln ^{2} a+\frac{\pi ^{2}}{4}}-\frac{1}{1+a^{2}}; \quad a > 0.
?
Задача 5475

Доказать равенство:

∫0∞dx(x2+a2)(ln⁡2x+(2n+1)2π2)=12n+1⋅π2a∑k=−nn4k+1(ln⁡2a+(4k+1)2π24)−11+a2. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})(\ln ^{2} x+(2n+1)^{2}\pi ^{2})} = \frac{1}{2n+1}\cdot \frac{\pi }{2a}\sum _{k=-n}^{n} \frac{4k+1}{\left(\ln ^{2} a+(4k+1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4}\right)}-\frac{1}{1+a^{2}}.
?
Задача 5476

Доказать равенство

∫0∞xa−1φ(x) dx=2πi1−e2aπi∑\Resza−1(φ(z)), \int _{0}^{\infty } x^{a-1}\varphi (x)\, dx = \frac{2\pi i}{1-e^{2a\pi i}}\sum \Res z^{a-1}\left(\varphi (z)\right),

где ∑\Resza−1(φ(z))\sum \Res z^{a-1}\left(\varphi (z)\right) означает сумму вычетов функции za−1φ(z)z^{a-1}\varphi (z), взятую по всем полюсам рациональной функции φ(z)\varphi (z). Предполагается, что φ(z)→0\varphi (z) \to 0 при z→∞z \to \infty.

?
Задача 5477

Доказать равенство

∫0∞φ(x)ln⁡2x+π2 dx=∑\Res(φ(z))ln⁡z−πi, \int _{0}^{\infty } \frac{\varphi (x)}{\ln ^{2} x+\pi ^{2}}\, dx = \sum \Res \frac{\left(\varphi (z)\right)}{\ln z-\pi i},

где φ(z)\varphi (z) --- рациональная функция, не имеющая полюсов на положительной вещественной оси, zφ(z)→0z\varphi (z) \to 0 при z→∞z \to \infty и ln⁡z\ln z соответствует изменению arg⁡z\arg z от 00 до 2π2\pi.

?
Задача 5478

Доказать теорему: если ряд ∑−∞∞f(n)\sum_{-\infty }^{\infty } f(n) абсолютно сходится, а f(z)f(z) --- мероморфная функция, регулярная при всех целых zz, и существует последовательность расширяющихся контуров C1,C2,…,Cn,…C_{1}, C_{2}, \ldots , C_{n}, \ldots, удаляющихся по всем направлениям в бесконечность при n→∞n \to \infty так, что

∫Cnf(z)ctg⁡πz dz→0,(*) \int _{C_{n}} f(z)\ctg \pi z\, dz \to 0, \tag {*}

то справедливо равенство

∑n=−∞∞f(n)=−π∑\Resctg⁡πz(f(z)), \sum _{n=-\infty }^{\infty } f(n) = -\pi \sum \Res \ctg \pi z\left(f(z)\right),

где ∑\Resφ(z)(f(z))\sum \Res \varphi (z)\left(f(z)\right) означает сумму вычетов функции φ(z)f(z)\varphi (z)f(z), взятую по полюсам f(z)f(z).

?
Задача 5479

При подобных же условиях, что и в предыдущей задаче, где вместо условия (∗)(*) дано условие:

∫Cnf(z)sin⁡πz dz→0при n→∞, \int _{C_{n}} \frac{f(z)}{\sin \pi z}\, dz \to 0 \quad \text{при } n \to \infty ,

доказать, что справедливо равенство

∑n=−∞∞(−1)nf(n)=−∑\Resπsin⁡πz(f(z)). \sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^{n}f(n) = -\sum \Res \frac{\pi }{\sin \pi z}\left(f(z)\right).
?
Задача 5480

Доказать равенство:

∑n=−∞∞1(a+bn)2=π2b2cosec⁡2πab. \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(a+bn)^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{b^{2}}\operatorname {cosec}^{2}\frac{\pi a}{b}.
?
Задача 5481

Доказать равенство:

∑n=1∞1n2+a2=−12a2+π2acth⁡πa. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi }{2a}\cth \pi a.
?
Задача 5482

Доказать равенство:

∑n=1∞(−1)nn2+a2=−12a2+π2a⋅1sh⁡πa. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi }{2a}\cdot \frac{1}{\sh \pi a}.
?
Задача 5483

Доказать равенство:

∑n=1∞(−1)nnsh⁡πan=−12πa−1a2∑n=1∞(−1)nnsh⁡πna. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{\sh \pi an} = -\frac{1}{2\pi a}-\frac{1}{a^{2}}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{\sh \frac{\pi n}{a}}.
?
Задача 5484

Доказать равенство:

1eπ−e−π−2e2π−e−2π+3e3π−e−3π−…=18π. \frac{1}{e^{\pi }-e^{-\pi }}-\frac{2}{e^{2\pi }-e^{-2\pi }}+\frac{3}{e^{3\pi }-e^{-3\pi }}-\ldots = \frac{1}{8\pi }.
?
Задача 5485

Полагая по определению

f(u)=∫γe−πiz2+2πiuzeπiz−e−πiz dz, f(u) = \int _{\gamma } \frac{e^{-\pi i z^{2}+2\pi i uz}}{e^{\pi i z}-e^{-\pi i z}}\, dz,

где интегрирование идет снизу вверх по всей прямой x+y=12x+y = \frac{1}{2}, проверить тождество:

f(u+1)−f(u)=eπi(u+12)2∫γe−πiz2 dz. f\left(u+1\right)-f(u) = e^{\pi i \left(u+\frac{1}{2}\right)^{2}}\int _{\gamma } e^{-\pi i z^{2}}\, dz.
?
Задача 5486

Передвинув в предыдущей задаче контур интегрирования на прямую x+y=−12x+y = -\frac{1}{2}, где f(u)=∫γe−πiz2+2πiuzeπiz−e−πiz dzf(u) = \int_{\gamma } \dfrac {e^{-\pi i z^{2}+2\pi i uz}}{e^{\pi i z}-e^{-\pi i z}}\, dz (задача 5485), доказать равенство:

f(u)=e−2πiuf(u+1)+1. f(u) = e^{-2\pi i u}f(u+1)+1.
?
Задача 5487

Доказать, что ∫γe−πiz2 dz=e3πi4\displaystyle \int_{\gamma } e^{-\pi i z^{2}}\, dz = e^{\frac{3\pi i}{4}} (где γ\gamma --- прямая x+y=12x+y = \frac{1}{2}, интегрирование снизу вверх, задача 5485) и, пользуясь предыдущими результатами, вывести формулу Римана:

∫γe−πiz2+2πiuzeπiz−e−πiz dz=eπiu−eπiu2eπiu−e−πiu. \int _{\gamma } \frac{e^{-\pi i z^{2}+2\pi i uz}}{e^{\pi i z}-e^{-\pi i z}}\, dz = \frac{e^{\pi i u}-e^{\pi i u^{2}}}{e^{\pi i u}-e^{-\pi i u}}.
?
Задача 5488

Рассмотреть интеграл от функции e2πiz2n1−e2πiz\dfrac {e^{\frac{2\pi i z^{2}}{n}}}{1-e^{2\pi i z}}, где nn --- целое положительное, по краю области

0<x<n2,−ω<y<ω,∣z∣>ρ,∣z−n2∣>π. 0 < x < \frac{n}{2}, \quad -\omega < y < \omega , \quad \left|z\right| > \rho , \quad \left|z-\frac{n}{2}\right| > \pi .

Предельным переходом, при ρ→0\rho \to 0, ω→∞\omega \to \infty, получить формулу для суммы Гаусса:

∑ν=0n−1e2πiν2n=1+(−i)n1−i⋅n. \sum _{\nu =0}^{n-1} e^{\frac{2\pi i \nu ^{2}}{n}} = \frac{1+(-i)^{n}}{1-i}\cdot \sqrt{n}.
?
§
14.4 · Распределение нулей функции[23/26%]
Задача 5489

По теореме Руше функции φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z), регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре ∣φ(z)−ψ(z)∣<∣φ(z)∣\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1, для уравнения z4−5z+1=0z^{4}-5z+1 = 0.

?
Задача 5490

По теореме Руше функции φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z), регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре ∣φ(z)−ψ(z)∣<∣φ(z)∣\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1, для уравнения z6−6z+10=0z^{6}-6z+10 = 0.

?
Задача 5491

По теореме Руше функции φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z), регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре ∣φ(z)−ψ(z)∣<∣φ(z)∣\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1, для уравнения z8−4z5+z2−1=0z^{8}-4z^{5}+z^{2}-1 = 0.

?
Задача 5492

По теореме Руше функции φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z), регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре ∣φ(z)−ψ(z)∣<∣φ(z)∣\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1, для уравнения z=φ(z)z = \varphi (z), где ∣φ(z)∣<1\left|\varphi (z)\right| < 1 при ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1.

?
Задача 5493

Сколько корней в каждом квадрате имеет уравнение z4+2z3+3z2+z+2=0z^{4}+2z^{3}+3z^{2}+z+2 = 0.

?
Задача 5494

Сколько корней в каждом квадрате имеет уравнение 2z4−3z3+3z2−z+1=02z^{4}-3z^{3}+3z^{2}-z+1 = 0.

?
Задача 5495

Доказать, что при λ>1\lambda > 1 уравнение z=λ−e−zz = \lambda -e^{-z} в полуплоскости x>0x > 0 имеет единственный и притом вещественный корень.

?
Задача 5496

Доказать, что z=aezz = ae^{z} имеет при 0<a<1e0 < a < \frac{1}{e} лишь один корень в круге ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1.

?
Задача 5497

Доказать, что уравнение z2=aezz^{2} = ae^{z}, где 0<a<1e0 < a < \frac{1}{e}, в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1 имеет два корня. Они вещественны и разных знаков.

?
Задача 5498

Доказать, что уравнение 1+z+azn=01+z+az^{n} = 0, где nn --- целое число, большее единицы, имеет в круге ∣z∣⩽2\left|z\right| \leqslant 2 при любом aa по крайней мере один корень.

?
Задача 5499

Доказать, что уравнение z=tg⁡zz = \tg z имеет только вещественные корни --- трехкратный корень z=0z = 0 и корни zn=(2n+1)π2−ρnz_{n} = (2n+1)\frac{\pi }{2}-\rho_{n}, где ρn>0\rho_{n} > 0, ρn→0\rho_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty.

?
Задача 5500

Доказать, что уравнение ch⁡zcos⁡z=1\ch z\cos z = 1 имеет четырехкратный корень z=0z = 0 и корни вида ±rn\pm r_{n}, ±irn\pm ir_{n}, rn=(n+12)π+(−1)n−1ρnr_{n} = \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi +(-1)^{n-1}\rho_{n}, где ρn>0\rho_{n} > 0 и ρn→0\rho_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty.

?
Задача 5501

Доказать, что если последовательность функций {fn(z)}\left\{ f_{n}(z)\right\}, регулярных в области GG, равномерно сходится внутри этой области к некоторой функции f(z)≢0f(z) \not\equiv 0, то каждый нуль функции f(z)f(z) является пределом соответствующих нулей функций fn(z)f_{n}(z).

?
Задача 5502

Доказать, что если, в условиях предыдущей задачи (задача 5501), функция f(z)f(z) имеет внутри области GG нуль z=z0z = z_{0} кратности mm, то можно указать постоянные ρ0>0\rho_{0} > 0 и C>0C > 0 такие, что коль скоро на границе области GG выполняется соотношение ∣fn(z)−f(z)∣<ρ<ρ0\left|f_{n}(z)-f(z)\right| < \rho < \rho_{0}, то функция fn(z)f_{n}(z) имеет в круге ∣z−z0∣<Cρm\left|z-z_{0}\right| < C\sqrt[m]{\rho } ровно mm нулей.

?
Задача 5503

Доказать, что если Im(zν)>0\mathrm{Im}\left(z_{\nu }\right) > 0, а ∏ν=1n(z−zν)=φ(z)+iψ(z)\prod_{\nu =1}^{n}(z-z_{\nu }) = \varphi (z)+i\psi (z), где φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z) --- многочлены с вещественными коэффициентами, то корни этих многочленов будут вещественными, простыми и перемежающимися.

?
Задача 5504

Доказать, что при тех же условиях (задача 5503) и при a>0a > 0 такими же свойствами обладают и корни уравнений:

φ(z)sin⁡az+ψ(z)cos⁡az=0,φ(z)cos⁡az−ψ(z)sin⁡az=0. \varphi (z)\sin az+\psi (z)\cos az = 0, \quad \varphi (z)\cos az-\psi (z)\sin az = 0.
?
Задача 5505

Доказать, что число корней вещественного тригонометрического многочлена ∑ν=mn(aνcos⁡νφ+bνsin⁡νφ)\sum_{\nu =m}^{n}(a_{\nu }\cos \nu \varphi +b_{\nu }\sin \nu \varphi ), в интервале 0⩽φ<2π0 \leqslant \varphi < 2\pi не меньше 2m2m и не больше 2n2n.

?
Примечание.
?

Рассмотреть многочлен P(z)=∑ν=mn(aν−ibν)zνP(z) = \sum_{\nu =m}^{n}(a_{\nu }-ib_{\nu })z^{\nu }.

Задача 5506

Доказать, что при a0<a1<a2<⋯<ana_{0} < a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n} легко доказать умножением на 1−z1-z, что многочлен ∑ν=0naνzν\sum_{\nu =0}^{n} a_{\nu }z^{\nu } не имеет корней в области ∣z∣⩾1\left|z\right| \geqslant 1. Пользуясь этим, показать, что тригонометрический многочлен ∑ν=0naνcos⁡νφ\sum_{\nu =0}^{n} a_{\nu }\cos \nu \varphi, с теми же aνa_{\nu }, имеет в интервале 0⩽φ<2π0 \leqslant \varphi < 2\pi ровно 2n2n различных корней (так же, как и многочлен ∑ν=1naνsin⁡νφ\sum_{\nu =1}^{n} a_{\nu }\sin \nu \varphi).

?
Задача 5507

Пусть при 0<t<a0 < t < a функция f(t)f(t) положительна и не убывает, а интеграл ∫0af(t) dt\int_{0}^{a} f(t)\, dt имеет смысл. Доказать, что целая функция f(z)=∫0af(t)cos⁡zt dtf(z) = \int_{0}^{a} f(t)\cos zt\, dt имеет только вещественные нули. (Теорема Полиа.)

?
Задача 5508

Доказать, что при тех же условиях (задача 5507) и при b>0b > 0 целые функции

φ(z)=∫0af(t)cos⁡t(z+b) dt;ψ(z)=∫0af(t)sin⁡z(t+b) dt \varphi (z) = \int _{0}^{a} f(t)\cos t(z+b)\, dt; \quad \psi (z) = \int _{0}^{a} f(t)\sin z(t+b)\, dt

тоже имеют только вещественные нули.

?
Задача 5509

Пусть f(z)f(z) регулярна в круге ∣z∣⩽r\left|z\right| \leqslant r и имеет внутри круга корни a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, отличные от нуля. Соединяя каждый из нулей aνa_{\nu } разрезом с окружностью ∣z∣=r\left|z\right| = r и интегрируя по полученному контуру соответствующую функцию, доказать формулу Иенсена:

ln⁡f(0)+∑ν=1nln⁡r∣aν∣=12π∫02πln⁡∣f(reiφ)∣ dφ. \ln f(0)+\sum _{\nu =1}^{n} \ln \frac{r}{\left|a_{\nu }\right|} = \frac{1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi } \ln \left|f(re^{i\varphi })\right|\, d\varphi .
?
Задача 5510

Доказать, что если в условиях предыдущей задачи (задача 5509) максимум ∣f(z)∣\left|f(z)\right| равен MM, ∣f(0)∣=m\left|f(0)\right| = m и NN --- число нулей f(z)f(z) в круге ∣z∣⩽re\left|z\right| \leqslant \frac{r}{e}, то

N⩽ln⁡Mm. N \leqslant \ln \frac{M}{m}.
?
Задача 5511

Доказать теорему: корни функции

f(z)=Aeax+Bebx+…+Memx, f(z) = Ae^{ax}+Be^{bx}+\ldots +Me^{mx},

где a>b>⋯>ma > b > \cdots > m, а числа AA и MM отличны от нуля, расположены в полосе −σ<Re(z)<σ-\sigma < \mathrm{Re}\left(z\right) < \sigma, а NN --- число их в прямоугольнике −σ<Re(z)<σ-\sigma < \mathrm{Re}\left(z\right) < \sigma, 0<Im(z)<T0 < \mathrm{Im}\left(z\right) < T --- выражается формулой

N=a−m2π⋅T+O(1), N = \frac{a-m}{2\pi }\cdot T+O(1),

где O(1)O(1) ограничено при T→∞T \to \infty.

?
§
14.5 · Разложение функций на простейшие дроби[30/0%]
Задача 5512

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

ctg⁡(z−a)+ctg⁡a=∑n=−∞∞(1z−a−nπ+1a+nπ). \ctg (z-a)+\ctg a = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \left(\frac{1}{z-a-n\pi }+\frac{1}{a+n\pi }\right).
?
Задача 5513

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

1sin⁡z=1z+∑n=1∞(−1)n2zz2−n2π2. \frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}2z}{z^{2}-n^{2}\pi ^{2}}.
?
Задача 5514

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

1cos⁡z=π∑n=1∞(−1)n(2n−1)z2−(2n−1)2π24. \frac{1}{\cos z} = \pi \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2n-1)}{z^{2}-(2n-1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4}}.
?
Задача 5515

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

sin⁡zcos⁡2z=∑n=−∞∞(−1)n(z−(2n+1)π2)2. \frac{\sin z}{\cos ^{2} z} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\left(z-(2n+1)\frac{\pi }{2}\right)^{2}}.
?
Задача 5516

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

π2cos⁡2πz=∑n=−∞∞1(z+12−n)2. \frac{\pi ^{2}}{\cos ^{2} \pi z} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{\left(z+\frac{1}{2}-n\right)^{2}}.
?
Задача 5517

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

eazez−1=1z+∑n=1∞2zcos⁡2πna−4πnsin⁡2πnaz2+4n2π2;0<a<1. \frac{e^{az}}{e^{z}-1} = \frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2z\cos 2\pi na-4\pi n\sin 2\pi na}{z^{2}+4n^{2}\pi ^{2}}; \quad 0 < a < 1.
?
Задача 5518

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

sin⁡azsin⁡πz=2π∑n=1∞(−1)nn⋅sin⁡naz2−n2;−π<a<π. \frac{\sin az}{\sin \pi z} = \frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n\cdot \sin na}{z^{2}-n^{2}}; \quad -\pi < a < \pi .
?
Задача 5519

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

ch⁡azsh⁡πz=1πz+1π∑n=1∞(−1)n2zcos⁡naz2+n2;−π⩽a⩽π. \frac{\ch az}{\sh \pi z} = \frac{1}{\pi z}+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}2z\cos na}{z^{2}+n^{2}}; \quad -\pi \leqslant a \leqslant \pi .
?
Задача 5520

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

1ch⁡2z−cos⁡2z=14z2+4z2∑n=1∞(−1)nnsh⁡πn⋅14z4+n4π4. \frac{1}{\ch 2z-\cos 2z} = \frac{1}{4z^{2}}+4z^{2}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{\sh \pi n}\cdot \frac{1}{4z^{4}+n^{4}\pi ^{4}}.
?
Задача 5521

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

zsin⁡zsin⁡z−zcos⁡z=3z+∑n=1∞2zz2−λn2;tg⁡λn=λn>0. \frac{z\sin z}{\sin z-z\cos z} = \frac{3}{z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2z}{z^{2}-\lambda _{n}^{2}}; \quad \tg \lambda _{n} = \lambda _{n} > 0.
?
Задача 5522

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

cos⁡πz2=∏n=0∞(1−z2(2n+1)2). \cos \frac{\pi z}{2} = \prod _{n=0}^{\infty } \left(1-\frac{z^{2}}{(2n+1)^{2}}\right).
?
Задача 5523

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

sin⁡z−asin⁡a=e−zctg⁡a∏n=−∞∞(1−za+nπ)⋅eza+nπ. \frac{\sin z-a}{\sin a} = e^{-z\ctg a}\prod _{n=-\infty }^{\infty } \left(1-\frac{z}{a+n\pi }\right)\cdot e^{\frac{z}{a+n\pi }}.
?
Задача 5524

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

cos⁡πz−cos⁡πa=−π22(z2−a2)∏n=1∞(1−(z+a2n)2)⋅(1−(z−a2n)2). \cos \pi z-\cos \pi a = -\frac{\pi ^{2}}{2}(z^{2}-a^{2})\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\left(\frac{z+a}{2n}\right)^{2}\right)\cdot \left(1-\left(\frac{z-a}{2n}\right)^{2}\right).
?
Задача 5525

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

ez−ea=ez+a2⋅(z−a)⋅∏n=1∞(1+(z−a2πn)2). e^{z}-e^{a} = e^{\frac{z+a}{2}}\cdot (z-a)\cdot \prod _{n=1}^{\infty } \left(1+\left(\frac{z-a}{2\pi n}\right)^{2}\right).
?
Задача 5526

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

ch⁡z−cos⁡z=z2∏n=1∞(1+z44π4n4). \ch z-\cos z = z^{2}\prod _{n=1}^{\infty } \left(1+\frac{z^{4}}{4\pi ^{4}n^{4}}\right).
?
Задача 5527

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

sin⁡z−zcos⁡z=z23∏n=1∞(1−z2λn2);tg⁡λn=λn>0. \sin z-z\cos z = \frac{z^{2}}{3}\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{z^{2}}{\lambda _{n}^{2}}\right); \quad \tg \lambda _{n} = \lambda _{n} > 0.
?
Задача 5528

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

sin⁡πzπz(1−z)=∏n=1∞(1+z−z2n+n2). \frac{\sin \pi z}{\pi z(1-z)} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1+\frac{z-z^{2}}{n+n^{2}}\right).
?
Задача 5529

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

∏n=1∞(1−zan)=∑n=0∞cnzn;∣a∣>1;∏ν=1n(aν−1)=(−1)ncn. \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{z}{a^{n}}\right) = \sum _{n=0}^{\infty } c_{n}z^{n}; \quad \left|a\right| > 1; \quad \prod _{\nu =1}^{n} (a^{\nu }-1) = \frac{(-1)^{n}}{c_{n}}.
?
Задача 5530

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

∑ν=0∞zν(3ν)!=∏ν=1∞(1+z8rν3). \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{z^{\nu }}{(3\nu )!} = \prod _{\nu =1}^{\infty } \left(1+\frac{z}{8r_{\nu }^{3}}\right). 2cos⁡rν3+e−3rν=0,rν>0. 2\cos r_{\nu }\sqrt{3}+e^{-3r_{\nu }} = 0, \quad r_{\nu } > 0.
?
Задача 5531

При Re(s)>0\mathrm{Re}\left(s\right) > 0 для гамма-функции Эйлера существует представление в виде интеграла Γ(s)=∫0∞e−xxs−1 dx\Gamma (s) = \int_{0}^{\infty } e^{-x}x^{s-1}\, dx. Легко доказать, что при 0<x<n0 < x < n справедливы формулы:

e−x(1−x2n)<(1−xn)n<e−x. e^{-x}\left(1-\frac{x^{2}}{n}\right) < \left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} < e^{-x}.

Пользуясь этим, доказать данное Эйлером представление Γ(s)\Gamma (s) в виде бесконечного произведения:

Γ(s)=lim⁡n→∞1⋅2⋅3⋯n⋅nss(s+1)⋯(s+n). \Gamma (s) = \lim _{n\to \infty } \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n\cdot n^{s}}{s(s+1)\cdots (s+n)}.
?
Задача 5532

Пользуясь предыдущим представлением Γ(s)=lim⁡n→∞1⋅2⋅3⋯n⋅nss(s+1)⋯(s+n)\Gamma (s) = \lim_{n\to \infty } \dfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n\cdot n^{s}}{s(s+1)\cdots (s+n)} (задача 5531), а также формулой

lim⁡n→∞(1+12+13+…+1n−ln⁡n)=C, \lim _{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}-\ln n\right) = C,

где CC --- постоянная Эйлера, доказать формулу Вейерштрасса

1Γ(s)=seCs∏ν=1∞(1+sν)e−sν. \frac{1}{\Gamma (s)} = se^{Cs}\prod _{\nu =1}^{\infty } \left(1+\frac{s}{\nu }\right)e^{-\frac{s}{\nu }}.
?
Задача 5533

Доказать равенство:

∏n=1∞n(a+b+n)(a+n)(b+n)=Γ(a+1)Γ(b+1)Γ(a+b+1). \prod _{n=1}^{\infty } \frac{n(a+b+n)}{(a+n)(b+n)} = \frac{\Gamma (a+1)\Gamma (b+1)}{\Gamma (a+b+1)}.
?
Задача 5534

Доказать равенство:

Γ′(s)Γ(s)=−C−1s+∑n=1∞(1n−1n+s). \frac{\Gamma '(s)}{\Gamma (s)} = -C-\frac{1}{s}+\sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+s}\right).
?
Задача 5535

Доказать равенство:

(Γ′(s)Γ(s))′=∑ν=0∞1(s+ν)2. \left(\frac{\Gamma '(s)}{\Gamma (s)}\right)' = \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{1}{(s+\nu )^{2}}.
?
Задача 5536

Доказать равенство:

ln⁡sΓ(s)=(1+12+13+14−C)s+ln⁡1⋅2⋅3⋅4(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)+∑ν=2∞(−1)νsννσν, \ln s\Gamma (s) = \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-C\right)s+\ln \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}+\sum _{\nu =2}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }s^{\nu }}{\nu }\sigma _{\nu },

где σν=15ν+16ν+17ν+…\sigma_{\nu } = \dfrac {1}{5^{\nu }}+\dfrac {1}{6^{\nu }}+\dfrac {1}{7^{\nu }}+\ldots.

?
Задача 5537

Доказать равенство:

lg⁡10xΓ(x)=lg⁡101⋅2⋅3⋅4(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+0,65409856x−0,00005089x5+ \lg _{10} x\Gamma (x) = \lg _{10} \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)}+0{,}65409856x-0{,}00005089x^{5}+ +0,04805967x2+0,00000740x6−0,00353152x3−0,00000116x7+ +0{,}04805967x^{2}+0{,}00000740x^{6}-0{,}00353152x^{3}-0{,}00000116x^{7}+ +0,00038775x4+0,00000019x8−0,00000003x9… +0{,}00038775x^{4}+0{,}00000019x^{8}-0{,}00000003x^{9}\ldots

Здесь ∣x∣<5\left|x\right| < 5.

?
Задача 5538

Из эйлеровского произведения для Γ(s)\Gamma (s) следует, что

S=−∑ν=0mln⁡(s+ν)+ln⁡m!+sln⁡m→ln⁡Γ(s). S = -\sum _{\nu =0}^{m} \ln (s+\nu )+\ln m!+s\ln m \to \ln \Gamma (s).

Если множитель −1-1, имеющийся в сумме, заменить по формуле −1=(s+ν−12)−(s+ν+12)-1 = \left(s+\nu -\frac{1}{2}\right)-\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right), то легко получить равенства:

S=∑ν=0m((s+ν+12)ln⁡s+ν+1s+ν−1)+(s−12)ln⁡s−(s+m+12)ln⁡(s+m+1)+ S = \sum _{\nu =0}^{m} \left(\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right)\ln \frac{s+\nu +1}{s+\nu }-1\right)+\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-\left(s+m+\frac{1}{2}\right)\ln (s+m+1)+ +ln⁡m!+sln⁡m+m+1= +\ln m!+s\ln m+m+1 = =∑ν=0m((s+ν+12)ln⁡s+ν+1s+ν−1)+(s−12)ln⁡s−s+m+ln⁡m!−mln⁡m−12ln⁡m+Mm, = \sum _{\nu =0}^{m} \left(\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right)\ln \frac{s+\nu +1}{s+\nu }-1\right)+\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-s+m+\ln m!-m\ln m-\frac{1}{2}\ln m+\frac{M}{m},

где MM ограничено при m→∞m \to \infty. Пользуясь сказанным, получить ряд Гудермана:

ln⁡Γ(s)=(s−12)ln⁡s−s+A+∑ν=0∞((s+ν+12)ln⁡s+ν+1s+ν−1), \ln \Gamma (s) = \left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-s+A+\sum _{\nu =0}^{\infty } \left(\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right)\ln \frac{s+\nu +1}{s+\nu }-1\right),

где AA --- соответствующая постоянная, а равенство справедливо при всех ss, отличных от чисел 0,−1,−2,−3,…0, -1, -2, -3, \ldots.

?
Задача 5539

Применяя разложение cos⁡πz2\cos \dfrac {\pi z}{2} в бесконечное произведение (задача 5522), доказать формулу Валлиса:

π2=lim⁡n→∞(2⋅4⋅6⋯2n3⋅5⋅7⋯(2n+1))2⋅(2n+2), \frac{\pi }{2} = \lim _{n\to \infty } \left(\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}{3\cdot 5\cdot 7\cdots (2n+1)}\right)^{2}\cdot (2n+2),

а пользуясь ею, доказать, что постоянная AA в ряде Гудермана (задача 5538) равна ln⁡2π\ln \sqrt{2\pi }.

?
Задача 5540

С помощью ряда Гудермана (задача 5538) доказать, что

ln⁡Γ(s)−((s−12)ln⁡s−s)→ln⁡2π, \ln \Gamma (s)-\left(\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-s\right) \to \ln \sqrt{2\pi },

если расстояние точки ss до отрицательной части вещественной оси безгранично растет, а Re(s)\mathrm{Re}\left(s\right) ограничена снизу.

?
Задача 5541

Доказать справедливость разложения:

Γ(a)Γ(x)Γ(a+x)=1x+∑n=1∞(−1)n(a−1)(a−2)…(a−n)1⋅2⋅3⋯n⋅1x+n;a>0. \frac{\Gamma (a)\Gamma (x)}{\Gamma (a+x)} = \frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(a-1)(a-2)\ldots (a-n)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}\cdot \frac{1}{x+n}; \quad a > 0.
?
§
14.6 · Другие разложения в ряды[36/53%]
Задача 5542

Разложить по возрастающим степеням ww тот корень уравнения w=2z+z2w = 2z+z^{2} относительно zz, который обращается в 00 при w=0w = 0.

?
Примечание.
?

Некоторые из задач этого параграфа решаются с помощью теоремы о ряде Лагранжа. В силу этой теоремы, если в области SS расположена точка z=az=a, а на контуре имеется неравенство ∣tf(z)∣<∣z−a∣\left|tf(z)\right| < \left|z-a\right|, то уравнение относительно zz: z=a+tf(z)z = a+tf(z) имеет в этой области единственный корень, представляющий функцию tt. Если F(z)F(z) --- функция этого корня, регулярная в SS, то имеет место разложение (ряд Лагранжа):

F(z)=F(a)+∑n=1∞{F′(a)[f(a)]n}(n−1)n!tn. F(z) = F(a)+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left\{ F'(a)[f(a)]^{n}\right\} ^{(n-1)}}{n!}t^{n}.

В частности, например:

z=a+∑n=1∞{[f(a)]n}(n−1)n!tn. z = a+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left\{ [f(a)]^{n}\right\} ^{(n-1)}}{n!}t^{n}.
Задача 5543

Разложить по возрастающим степеням ww тот корень уравнения w=ze−zw = ze^{-z} относительно zz, который обращается в 00 при w=0w = 0.

?
Задача 5544

Разложить по возрастающим степеням ww тот корень уравнения (1−z2)w=2z(1-z^{2})w = 2z относительно zz, который обращается в 00 при w=0w = 0.

?
Задача 5545

Разложить по возрастающим степеням ww тот корень уравнения (zm+1−b)w=−z(z^{m+1}-b)w = -z относительно zz, который обращается в 00 при w=0w = 0.

?
Задача 5546

Разложить eze^{z} по возрастающим степеням ww, если

(z+1)2w=z. (z+1)^{2}w = z.
?
Задача 5547

Найти подобное же разложение (задача 5546) для e−ze^{-z}, где zw=z−azw = z-a.

?
Задача 5548

Разложить в ряд по степеням эксцентриситета ee эллиптической орбиты эксцентрическую аномалию EE, связанную со средней аномалией MM уравнением Кеплера:

E=M+esin⁡E. E = M+e\sin E.
?
Задача 5549

Найти особые точки уравнения y3−3y+2x=0y^{3}-3y+2x = 0.

?
Примечание.
?

Алгебраические функции удовлетворяют уравнению f(x,y)=0f(x,y) = 0, где f(x,y)f(x,y) --- многочлен относительно комплексных переменных xx и yy. Если обе эти переменные остаются вещественными, то написанное уравнение изображает алгебраическую кривую. Если уравнение имеет степень nn относительно yy, то оно определяет nn ветвей y1,y2,…,yny_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n} многозначной функции от xx. Они представляют регулярные функции от xx в области, где их значения конечные и неравные. Если x0x_{0} --- точка, лежащая в такой области, то каждая из функций yνy_{\nu } разлагается по целым степеням x−x0x-x_{0}. Если же в точке x0x_{0} несколько из yνy_{\nu } равны, то в окрестности этой точки функции yνy_{\nu } разлагаются по дробным степеням x−x0x-x_{0} по формуле

y=∑μ=μ0∞aν(x−x0)μm, y = \sum _{\mu =\mu _{0}}^{\infty } a_{\nu }(x-x_{0})^{\frac{\mu }{m}},

где число μ0\mu_{0} может быть и отрицательным, а mm не превосходит nn. Значения aνa_{\nu } можно найти подстановкой этих рядов в уравнение. Сами особые точки могут быть найдены из уравнений:

f(x,y)=0,∂f∂y=0. f(x,y) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0.
Задача 5550

Найти особые точки уравнения y3−3y2+x6=0y^{3}-3y^{2}+x^{6} = 0.

?
Задача 5551

Найти особые точки уравнения y3−3y+2x2(2−x2)=0y^{3}-3y+2x^{2}(2-x^{2}) = 0.

?
Задача 5552

Найти особые точки уравнения y3−3y+2x3(2−x3)=0y^{3}-3y+2x^{3}(2-x^{3}) = 0.

?
Задача 5553

Найти первые два члена в разложении yy по возрастающим степеням xx для проходящих через начало ветвей кривой x3−3xy+y3=0x^{3}-3xy+y^{3} = 0.

?
Задача 5554

Найти первые два члена в разложении yy по возрастающим степеням xx для проходящих через начало ветвей кривой y4−4y=xy^{4}-4y = x.

?
Задача 5555

Найти особые точки уравнения y5+ax4−b2xy2=0y^{5}+ax^{4}-b^{2}xy^{2} = 0.

?
Задача 5556

Найти особые точки уравнения 4(x−1)y5+2xy3−3x3y+x4=04(x-1)y^{5}+2xy^{3}-3x^{3}y+x^{4} = 0.

?
Задача 5557

Доказать теорему: функция f(z)f(z), регулярная внутри эллипса с фокусами z=±1z = \pm 1 и контуром CC, разлагается в этом эллипсе в ряд:

f(z)=∑n=1∞An(z+z2−1)n−(z−z2−1)nz2−1, f(z) = \sum _{n=1}^{\infty } A_{n}\frac{\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}-\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}}{\sqrt{z^{2}-1}},

где

An=12πi∫Cf(z)(z−z2−1)n dz;∣z+z2−1∣⩾1. A_{n} = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} f(z)\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}\, dz; \quad \left|z+\sqrt{z^{2}-1}\right| \geqslant 1.
?
Задача 5558

Доказать, что при тех же условиях (задача 5557) справедливо разложение:

f(z)=B0+∑n=1∞Bn((z+z2−1)n+(z−z2−1)n), f(z) = B_{0}+\sum _{n=1}^{\infty } B_{n}\left(\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}+\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}\right),

где

Bn=12πi∫Cf(z)(z−z2−1)nz2−1 dz. B_{n} = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} f(z)\frac{\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}}{\sqrt{z^{2}-1}}\, dz.
?
Задача 5559

Применяя разложение Коши (см. ниже) при ψ(z)=eπz+1\psi (z) = e^{\pi z}+1; φ(z)=−1\varphi (z) = -1, получить разложение:

f(x)=∑n=0∞2π∫−π/2π/2cos⁡(2n+1)(x−μ)⋅f(μ) dμ;−π2<x<π2. f(x) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{2}{\pi }\int _{-\pi /2}^{\pi /2} \cos (2n+1)(x-\mu )\cdot f(\mu )\, d\mu ; \qquad -\frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}.
?
Примечание.
?

По теореме Коши для функции f(x)f(x), удовлетворяющей в интервале a<x<ba < x < b условиям Дирихле внутри этого промежутка, имеет место разложение:

f(x+0)+f(x−0)2=∑n=1∞φ(λn)ψ′(λn)eλnx∫abe−λnμf(μ) dμ. \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi (\lambda _{n})}{\psi '(\lambda _{n})}e^{\lambda _{n}x}\int _{a}^{b} e^{-\lambda _{n}\mu }f(\mu )\, d\mu .

Здесь φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z) --- целые функции, нули функции ψ(z)\psi (z) простые и равны числам λn\lambda_{n}, а при −π2<θ<π2-\frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2} справедливы равенства:

lim⁡r→∞(ψ(reiθ)−φ(reiθ)ψ(reiθ)e(x−a)reiθ)=lim⁡r→∞(φ(−reiθ)ψ(−reiθ)e(b−x)reiθ)=0. \lim _{r\to \infty } \left(\frac{\psi (re^{i\theta })-\varphi (re^{i\theta })}{\psi (re^{i\theta })}e^{(x-a)re^{i\theta }}\right) = \lim _{r\to \infty } \left(\frac{\varphi (-re^{i\theta })}{\psi (-re^{i\theta })}e^{(b-x)re^{i\theta }}\right) = 0.
Задача 5560

С помощью функций ψ(z)=eaz−z\psi (z) = e^{az}-z; φ(z)=eaz\varphi (z) = e^{az}; a>0a > 0, получить разложение:

f(x)=∑n=0∞λnaλn−1eλnx∫−a/2a/2e−λnμf(μ) dμ;−a2<x<a2, f(x) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\lambda _{n}}{a\lambda _{n}-1}e^{\lambda _{n}x}\int _{-a/2}^{a/2} e^{-\lambda _{n}\mu }f(\mu )\, d\mu ; \qquad -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2},

где λn\lambda_{n} --- корни уравнения z=eazz = e^{az}.

?
Задача 5561

Доказать равенство при прежних λn\lambda_{n} (задача 5560, корнях уравнения z=eazz = e^{az}):

ex=∑n=1∞2λnsh⁡a(1−λn)2(aλn−1)(1−λn)eλnx. e^{x} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2\lambda _{n}\sh \frac{a(1-\lambda _{n})}{2}}{(a\lambda _{n}-1)(1-\lambda _{n})}e^{\lambda _{n}x}.
?
Задача 5562

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

∑n=1∞zn(1−zn)(1−zn+1)={z(1−z)2при ∣z∣<1;1(1−z)2при ∣z∣>1. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{(1-z^{n})(1-z^{n+1})} = \begin{cases} \dfrac {z}{(1-z)^{2}} & \text{при } \left|z\right| < 1; \\ \dfrac {1}{(1-z)^{2}} & \text{при } \left|z\right| > 1. \end{cases}
?
Задача 5563

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

11−z+∑n=1∞z2n−1z2n−1={1при ∣z∣<1;0при ∣z∣>1. \frac{1}{1-z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{2^{n-1}}}{z^{2^{n}}-1} = \begin{cases} 1 & \text{при } \left|z\right| < 1; \\ 0 & \text{при } \left|z\right| > 1. \end{cases}
?
Задача 5564

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

1−z+z(z−1)1⋅2−z(z−1)(z−2)1⋅2⋅3+…=0 при Re(z)>0; или=∞ при Re(z)<0. 1-z+\frac{z(z-1)}{1\cdot 2}-\frac{z(z-1)(z-2)}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots = 0 \text{ при } \mathrm{Re}\left(z\right) > 0; \text{ или} = \infty \text{ при } \mathrm{Re}\left(z\right) < 0.
?
Задача 5565

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

1−z21+z2(z2−1)2!2−z2(z2−1)(z2−4)3!2+…=sin⁡πzπz. 1-\frac{z^{2}}{1}+\frac{z^{2}(z^{2}-1)}{2!^{2}}-\frac{z^{2}(z^{2}-1)(z^{2}-4)}{3!^{2}}+\ldots = \frac{\sin \pi z}{\pi z}.
?
Задача 5566

Найти область сходимости ряда ∑n=1∞zn(1+z)(1+z2)…(1+zn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{(1+z)(1+z^{2})\ldots (1+z^{n})}.

?
Задача 5567

Найти область сходимости ряда ∑n=1∞(−1)nz+n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{z+n}.

?
Задача 5568

Найти область сходимости ряда ∑n=1∞(z(z+n)n)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \left(\frac{z(z+n)}{n}\right)^{n}.

?
Задача 5569

Найти область сходимости ряда ∑n=0∞1n!⋅11+a2nz2\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}\cdot \frac{1}{1+a^{2n}z^{2}}; ∣a∣>1\left|a\right| > 1.

?
Задача 5570

Доказать, что функция

f(z)=∑m,n=−∞∞1(m+nz)2,m2+n2>0, f(z) = \sum _{m,n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(m+nz)^{2}}, \quad m^{2}+n^{2} > 0,

рассматриваемая в верхней полуплоскости Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0, там регулярна и имеет вещественную ось существенной купюрой.

?
Задача 5571

Доказать, что функция ∑n=1∞1n2⋅1z−e2πni2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}\cdot \frac{1}{z-e^{2\pi ni\sqrt{2}}}, регулярная при ∣z∣<1\left|z\right| < 1, не продолжается за окружность ∣z∣=1\left|z\right| = 1.

?
Задача 5572

Доказать, что такой же особенностью (задача 5571, отсутствием продолжения за границу круга сходимости) отличаются ряды:

∑n=0∞zn!;∑n=0∞12nz2n;∑n=0∞anz2n, \sum _{n=0}^{\infty } z^{n!}; \qquad \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{2^{n}}z^{2^{n}}; \qquad \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}z^{2^{n}},

если ∑n=0∞an\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} расходится.

?
Задача 5573

Пусть aa, bb, cc --- числа, изображаемые тремя вершинами треугольника, а xx, yy, zz --- правильные дроби. Ряд:

∑m=0∞∑n=0∞∑p=0∞xmynzpma+nb+pcm+n+p−ζ,m+n+p>0, \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{p=0}^{\infty } \frac{x^{m}y^{n}z^{p}}{\dfrac {ma+nb+pc}{m+n+p}-\zeta }, \quad m+n+p > 0,

представляет вне треугольника аналитическую функцию ζ\zeta, которая не продолжается внутри треугольника. Доказать, что, вопреки сказанному в книге Эрмита <<Курс анализа>>, ряд сходится и внутри треугольника на всюду плотном множестве точек.

?
Задача 5574

Доказать теорему: если общий ряд Дирихле сходится при σ=σ0\sigma = \sigma_{0}, то он сходится при любом ss, у которого σ>σ0\sigma > \sigma_{0}.

?
Примечание.
?

Преобразование Абеля состоит в тождестве:

∑ν=1naνbν=∑ν=1n−1sν(bν−bν+1)+bnsn, \sum _{\nu =1}^{n} a_{\nu }b_{\nu } = \sum _{\nu =1}^{n-1} s_{\nu }(b_{\nu }-b_{\nu +1})+b_{n}s_{n},

где sν=a1+a2+…+aνs_{\nu } = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{\nu }.

Рядом Дирихле называется ряд вида ∑n=1∞anns\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{n^{s}}, где ana_{n} --- коэффициент. Обобщенным рядом Дирихле называется ряд вида ∑n=1∞anpns\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{p_{n}^{s}}, где p1,p2,…,pn,…p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots --- некоторая бесконечно возрастающая последовательность чисел. Положим еще s=σ+iτs = \sigma +i\tau. Равенство u=O(v)u = O(v) означает, что отношение ∣u/v∣\left|u/v\right| остается ограниченным при бесконечном возрастании vv.

У всякого ряда Дирихле ∑n=1∞anns\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{n^{s}} существует число s0s_{0} такое, что ряд сходится при s>s0s > s_{0} и расходится при s<s0s < s_{0}. Оно называется абсциссой сходимости.

Задача 5575

Доказать теорему: если для величины An=∑ν=1naνA_{n} = \sum_{\nu =1}^{n} a_{\nu } имеется равенство An=O(nσ0)A_{n} = O(n^{\sigma_{0}}), σ0⩾0\sigma_{0} \geqslant 0, то ряд Дирихле ∑anns\sum \dfrac {a_{n}}{n^{s}} сходится при σ>σ0\sigma > \sigma_{0}, сходится абсолютно и равномерно при σ>σ0+1+δ\sigma > \sigma_{0}+1+\delta, где δ\delta --- любая положительная постоянная.

?
Задача 5576

Доказать теорему: если ряд ∑n=1∞anns\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{n^{s}} сходится при σ=σ0⩾0\sigma = \sigma_{0} \geqslant 0, то An=O(nσ0)A_{n} = O(n^{\sigma_{0}}).

?
Задача 5577

Пользуясь теоремой Прингсхейма, доказать, что абсциссой сходимости общего ряда Дирихле ∑pn−s\sum p_{n}^{-s} является lim⁡‾ln⁡nln⁡pn\overline{\lim }\dfrac {\ln n}{\ln p_{n}}.

?
Примечание.
?

Верхний предел бесконечной последовательности чисел vνv_{\nu } обозначается через lim⁡‾vν\overline{\lim } v_{\nu }. Он представляет наибольшую из точек сгущения последовательности vνv_{\nu }.

Теорема Прингсхейма: у сходящегося ряда положительных убывающих слагаемых ∑uν\sum u_{\nu } должно выполняться условие nun→0nu_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty.

§
14.7 · Производящие функции и специальные многочлены[11/0%]
Задача 5578

Доказать равенство:

tetz−1et−1=∑n=1∞φn(z)n!tn. t\frac{e^{tz}-1}{e^{t}-1} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi _{n}(z)}{n!}t^{n}.

Здесь φn(z)\varphi_{n}(z) --- многочлены Бернулли, для которых

φn(z+1)−φn(z)=nzn−1. \varphi _{n}(z+1)-\varphi _{n}(z) = nz^{n-1}.

При целом z>0z > 0 имеем

1nφn(z)=1n−1+2n−1+…+(z−1)n−1. \frac{1}{n}\varphi _{n}(z) = 1^{n-1}+2^{n-1}+\ldots +(z-1)^{n-1}.
?
Примечание.
?

Функция Φ(z,t)\Phi (z,t) называется для функций φn(z)\varphi_{n}(z) производящей, если

Φ(z,t)=∑n=0∞φn(z)tn. \Phi (z,t) = \sum _{n=0}^{\infty } \varphi _{n}(z)t^{n}.

Если Φ(z,t)\Phi (z,t) сравнительно проста, то из ее свойств можно получить ряд свойств функций φn(z)\varphi_{n}(z).

Далее приводятся примеры производящих функций для некоторых важных классов многочленов с указанием основных свойств этих многочленов, которые требуется доказать, пользуясь производящими функциями, а также и другими путями.

Задача 5579

Доказать, что производящая функция

e−tz−t22=∑n=0∞Hn(z)tn e^{-tz-\frac{t^{2}}{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } H_{n}(z)t^{n}

определяет многочлены Чебышева--Эрмита Hn(z)H_{n}(z), главнейшие свойства которых выражаются равенствами:

Hn(z)=1n!ez22dne−z22dzn;Hn′(z)=−Hn−1(z); H_{n}(z) = \frac{1}{n!}e^{\frac{z^{2}}{2}}\frac{d^{n}e^{-\frac{z^{2}}{2}}}{dz^{n}}; \quad H_{n}'(z) = -H_{n-1}(z); nHn(z)+zHn−1(z)+Hn−2(z)=0; nH_{n}(z)+zH_{n-1}(z)+H_{n-2}(z) = 0; Hn′′(z)−zHn′(z)+nHn(z)=0. H_{n}''(z)-zH_{n}'(z)+nH_{n}(z) = 0. ∫−∞∞e−z22Hn(z)Hm(z) dz={0,если m≠n;2πm!,если m=n. \int _{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{z^{2}}{2}}H_{n}(z)H_{m}(z)\, dz = \begin{cases} 0, & \text{если } m \neq n; \\ \dfrac {\sqrt{2\pi }}{m!}, & \text{если } m = n. \end{cases}
?
Задача 5580

Доказать, что производящая функция

e−zt1−t(1−t)a+1=∑n=0∞Ln(a)(z)tn \frac{e^{-\frac{zt}{1-t}}}{(1-t)^{a+1}} = \sum _{n=0}^{\infty } L_{n}^{(a)}(z)t^{n}

определяет обобщенные многочлены Чебышева--Лагерра Ln(a)(z)L_{n}^{(a)}(z) со свойствами:

Ln(a)(z)=1n!ezz−adnzn+ae−zdzn, L_{n}^{(a)}(z) = \frac{1}{n!}e^{z}z^{-a}\frac{d^{n}z^{n+a}e^{-z}}{dz^{n}}, nLn(a)(z)+(z−2n−a+1)Ln−1(a)(z)+(n+a−1)Ln−2(a)(z)=0, nL_{n}^{(a)}(z)+(z-2n-a+1)L_{n-1}^{(a)}(z)+(n+a-1)L_{n-2}^{(a)}(z) = 0, z(Ln(a)(z))′′+(a+1−z)(Ln(a)(z))′+nLn(a)(z)=0, z\left(L_{n}^{(a)}(z)\right)''+(a+1-z)\left(L_{n}^{(a)}(z)\right)'+nL_{n}^{(a)}(z) = 0, ∫0∞zae−zLn(a)(z)Lm(a)(z) dz={0при m≠n;Γ(a+n+1)n!при m=n. \int _{0}^{\infty } z^{a}e^{-z}L_{n}^{(a)}(z)L_{m}^{(a)}(z)\, dz = \begin{cases} 0 & \text{при } m \neq n; \\ \dfrac {\Gamma (a+n+1)}{n!} & \text{при } m = n. \end{cases}

При a=0a = 0 получаются обычные многочлены Лагерра.

?
Задача 5581

Доказать, что производящая функция

2α+βr(1−t+r)−α(1+t+r)−β=∑n=0∞Pnα,β(x)tn;r=1−2xt+t2 \frac{2^{\alpha +\beta }}{r}(1-t+r)^{-\alpha }(1+t+r)^{-\beta } = \sum _{n=0}^{\infty } P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)t^{n}; \qquad r = \sqrt{1-2xt+t^{2}}

определяет многочлены Якоби Pnα,βP_{n}^{\alpha ,\beta } со свойствами:

(1−x)α(1+x)βPnα,β(x)=(−1)n2n⋅n!dn(1−x)n+α(1+x)n+βdxn. (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{n}^{\alpha ,\beta }(x) = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!}\frac{d^{n}(1-x)^{n+\alpha }(1+x)^{n+\beta }}{dx^{n}}. ∫−11(1−x)α(1+x)βPnα,β(x)Pmα,β(x) dx=0, если m≠n. \int _{-1}^{1} (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)P_{m}^{\alpha ,\beta }(x)\, dx = 0, \text{ если } m \neq n. ∫−11(1−x)α(1+x)β(Pnα,β(x))2 dx=2α+β+1α+β+2n+1⋅Γ(α+n+1)Γ(β+n+1)Γ(n+1)Γ(α+β+n+1); \int _{-1}^{1} (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)\right)^{2}\, dx = \frac{2^{\alpha +\beta +1}}{\alpha +\beta +2n+1}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +n+1)\Gamma (\beta +n+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}; (n+1)(n+α+β+1)(2n+α+β)Pn+1α,β(x)− (n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )P_{n+1}^{\alpha ,\beta }(x)- −12(2n+α+β+1)((2n+α+β+2)(2n+α+β)x+(α2−β2))Pnα,β(x)+ -\frac{1}{2}(2n+\alpha +\beta +1)\left((2n+\alpha +\beta +2)(2n+\alpha +\beta )x+(\alpha ^{2}-\beta ^{2})\right)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)+ +(n+α)(n+β)(2n+α+β+2)×Pn−1α,β(x)=0. +(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)\times P_{n-1}^{\alpha ,\beta }(x) = 0. (1−x2)y′′+(β−α−(α+β+2)x)y′+n(n+α+β+1)y=0;y=Pnα,β(x). (1-x^{2})y''+\left(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x\right)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y = 0; \qquad y = P_{n}^{\alpha ,\beta }(x).
?
Задача 5582

Доказать, что производящая функция

11−2tx+t2=∑n=0∞Pn(x)tn \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^{2}}} = \sum _{n=0}^{\infty } P_{n}(x)t^{n}

определяет многочлены Лежандра Pn(x)P_{n}(x), которые получаются из многочленов Якоби (задача 5581) при α=β=0\alpha = \beta = 0.

?
Задача 5583

Доказать, что производящая функция

4−t24−4tx+t2=∑n=0∞Tn(x)tn \frac{4-t^{2}}{4-4tx+t^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } T_{n}(x)t^{n}

определяет многочлены Чебышева Tn(x)T_{n}(x):

T0(x)=1,Tn(x)=12n−1cos⁡(narccos⁡x)(n=1,2,…). T_{0}(x) = 1, \quad T_{n}(x) = \frac{1}{2^{n-1}}\cos (n\arccos x) \quad (n = 1,2,\ldots ).
?
Задача 5584

Доказать равенство

11−2tx−t2=∑n=0∞un(x)tn, \frac{1}{1-2tx-t^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } u_{n}(x)t^{n},

где

un(x)=(x+x2+1)n+1−(x−x2+1)n+121+x2. u_{n}(x) = \frac{(x+\sqrt{x^{2}+1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^{2}+1})^{n+1}}{2\sqrt{1+x^{2}}}.
?
Задача 5585

Используя разложение (1−2xt+t2)−1/2=∑ν=0∞Pν(x)t−ν−1(1-2xt+t^{2})^{-1/2} = \sum_{\nu =0}^{\infty } P_{\nu }(x)t^{-\nu -1}, доказать для многочленов Лежандра (задача 5582) равенство:

Pn(cos⁡θ)=12πi∫Ctn1−2tcos⁡θ+t2 dt, P_{n}(\cos \theta ) = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} \frac{t^{n}}{\sqrt{1-2t\cos \theta +t^{2}}}\, dt,

где CC --- замкнутый контур, внутри которого обе особые точки подынтегральной функции.

?
Задача 5586

Из предыдущего (задача 5585) получить формулу Дирихле--Мелера:

Pn(cos⁡θ)=2π∫0θcos⁡(n+12)t2(cos⁡t−cos⁡θ) dt. P_{n}(\cos \theta ) = \frac{2}{\pi }\int _{0}^{\theta } \frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right)t}{\sqrt{2(\cos t-\cos \theta )}}\, dt.
?
Задача 5587

Пользуясь разложением

(1−2xt+t2)−12=∑ν=0∞Pν(x)t−ν−1, (1-2xt+t^{2})^{-\frac{1}{2}} = \sum _{\nu =0}^{\infty } P_{\nu }(x)t^{-\nu -1},

получить формулу Лапласа (для многочленов Лежандра, задача 5582):

Pn(z)=1π∫−11(z+σz2−1)ndσ1−σ2. P_{n}(z) = \frac{1}{\pi }\int _{-1}^{1} \left(z+\sigma \sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}\frac{d\sigma }{\sqrt{1-\sigma ^{2}}}.
?
Задача 5588

Применяя производящую функцию (задача 5582) и тождество

1−2tcos⁡θ+t2=(1−teθi)(1−te−θi), 1-2t\cos \theta +t^{2} = (1-te^{\theta i})(1-te^{-\theta i}),

доказать равенство:

Pn(cos⁡θ)=1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯2n× P_{n}(\cos \theta ) = \frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots 2n}\times ×(2cos⁡nθ+12⋅2n2n−1⋅2cos⁡(n−2)θ+1⋅32⋅4⋅2n(2n−2)(2n−1)(2n−3)⋅2cos⁡(n−4)θ+…). \times \left(2\cos n\theta +\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n-1}\cdot 2\cos (n-2)\theta +\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{2n(2n-2)}{(2n-1)(2n-3)}\cdot 2\cos (n-4)\theta +\ldots \right).
?
§
14.8 · Конформные преобразования[56/73%]
Задача 5589

Какая кривая описывается точкой zz плоскости комплексной переменной, если z=e(a+bi)tz = e^{(a+bi)t}, где zz выражена через вещественную переменную tt, меняющуюся от −∞-\infty до ∞\infty, а коэффициенты aa, bb --- вещественные?

?
Задача 5590

Какая кривая описывается точкой zz плоскости комплексной переменной, если z=at+beiωtz = at+be^{i\omega t}, где zz выражена через вещественную переменную tt, меняющуюся от −∞-\infty до ∞\infty, а коэффициенты aa, bb, ω\omega --- вещественные?

?
Задача 5591

Какая кривая описывается точкой zz плоскости комплексной переменной, если z=aeit+a−1e−itz = ae^{it}+a^{-1}e^{-it}, где zz выражена через вещественную переменную tt, меняющуюся от −∞-\infty до ∞\infty, а коэффициент aa --- вещественный?

?
Задача 5592

Какая кривая описывается точкой zz плоскости комплексной переменной, если z=a(1+eit)−2z = a(1+e^{it})^{-2}, где zz выражена через вещественную переменную tt, меняющуюся от −∞-\infty до ∞\infty, а коэффициент aa --- вещественный?

?
Задача 5593

Какая кривая описывается точкой zz плоскости комплексной переменной, если z=a(1+it)e−itz = a(1+it)e^{-it}, где zz выражена через вещественную переменную tt, меняющуюся от −∞-\infty до ∞\infty, а коэффициент aa --- вещественный?

?
Задача 5594

Какая линия или область в плоскости переменной zz определяется условием ∣z−2∣<∣z∣\left|z-2\right| < \left|z\right|?

?
Задача 5595

Какая линия или область в плоскости переменной zz определяется условием ∣z−1∣⩾2∣z−i∣\left|z-1\right| \geqslant 2\left|z-i\right|?

?
Задача 5596

Какая линия или область в плоскости переменной zz определяется условием ∣z2−1∣<1\left|z^{2}-1\right| < 1?

?
Задача 5597

Какая линия или область в плоскости переменной zz определяется условием Im(z−1)=2\mathrm{Im}\left(z^{-1}\right) = 2?

?
Задача 5598

Какая линия или область в плоскости переменной zz определяется условием 0<arg⁡z−iz+i<π40 < \arg \dfrac {z-i}{z+i} < \dfrac {\pi }{4}?

?
Задача 5599

Какая линия или область в плоскости переменной zz определяется условием ∣2z∣<∣1+z2∣\left|2z\right| < \left|1+z^{2}\right|?

?
Задача 5600

Показать, что все корни уравнения

(z−a)n−Kn(z−b)n=0 (z-a)^{n}-K^{n}(z-b)^{n} = 0

лежат на одной окружности.

?
Задача 5601

Показать, что функция w=z2w = z^{2} отображает данную область плоскости z=x+iyz = x+iy конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости w=u+ivw = u+iv: первый квадрант плоскости zz --- в верхнюю полуплоскость ww.

?
Задача 5602

Показать, что функция w=ezw = e^{z} отображает данную область плоскости z=x+iyz = x+iy конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости w=u+ivw = u+iv: полосу 0<y<π20 < y < \dfrac {\pi }{2} --- в первый квадрант плоскости ww.

?
Задача 5603

Показать, что функция w=ln⁡zw = \ln z отображает данную область плоскости z=x+iyz = x+iy конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости w=u+ivw = u+iv: область x2+y2=1x^{2}+y^{2} = 1; y>0y > 0 --- в полосу u>0u > 0, 0<v<π0 < v < \pi.

?
Задача 5604

Показать, что функция w=cos⁡zw = \cos z отображает данную область плоскости z=x+iyz = x+iy конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости w=u+ivw = u+iv: полосу −π2<x<π2-\dfrac {\pi }{2} < x < \dfrac {\pi }{2} --- в полуплоскость v>0v > 0.

?
Задача 5605

Показать, что функция w=1z+iw = \dfrac {1}{z+i} отображает данную область плоскости z=x+iyz = x+iy конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости w=u+ivw = u+iv: полуплоскость y⩾0y \geqslant 0 --- в круг u2+v2+v⩽0u^{2}+v^{2}+v \leqslant 0.

?
Задача 5606

Показать, что функция w=i−zi+zw = \dfrac {i-z}{i+z} отображает данную область плоскости z=x+iyz = x+iy конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости w=u+ivw = u+iv: первый квадрант zz --- в верхний полукруг ∣w∣<1\left|w\right| < 1.

?
Задача 5607

Во что переходят линии ∣z∣=C\left|z\right| = C и arg⁡z=C\arg z = C и область ∣z∣>C>1\left|z\right| > C > 1; a<arg⁡z<π−aa < \arg z < \pi -a, где 0<a<π20 < a < \dfrac {\pi }{2} при конформном преобразовании 2w=z+z−12w = z+z^{-1}?

?
Задача 5608

Во что преобразуется верхняя полуплоскость zz на плоскости ww, если cos⁡w=ch⁡acos⁡z\cos w = \ch a\cos z и при z=π2z = \dfrac {\pi }{2} величина w=π2w = \dfrac {\pi }{2}.

?
Задача 5609

Функция w=arctg⁡zw = \arctg z преобразует круг ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на полосу в плоскости ww. Найти ширину этой полосы.

?
Задача 5610

На какую область отображается круг ∣z∣<1\left|z\right| < 1 функцией w=a(nz−zn)w = a(nz-z^{n}), где a>0a > 0, n>1n > 1 --- целое? Найти площадь этой области.

?
Задача 5611

Функция w=(1+zn)nw = \left(1+\dfrac {z}{n}\right)^{n} отображает некоторую область SnS_{n} в верхнюю полуплоскость. Найти SnS_{n} и lim⁡n→∞Sn\lim_{n\to \infty } S_{n}.

?
Задача 5612

Точка w=a2zw = \dfrac {a^{2}}{z} называется отражением точки zz относительно окружности ∣z∣=a\left|z\right| = a. Найти отражение в этой окружности полуплоскости Re(z)>2a\mathrm{Re}\left(z\right) > 2a.

?
Задача 5613

Доказать, что при дробно-линейном преобразовании w=az+bcz+dw = \dfrac {az+b}{cz+d}, где ad−bc≠0ad-bc \neq 0, точка и ее отражение относительно окружности переходят в точку и ее отражение относительно преобразованной окружности.

?
Задача 5614

Доказать, что равенство

w3−w2w3−w1⋅w−w1w−w2=z3−z2z3−z1⋅z−z1z−z2 \frac{w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}\cdot \frac{w-w_{1}}{w-w_{2}} = \frac{z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}\cdot \frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}

дает дробно-линейную функцию w(z)w(z), переводящую точки z1z_{1}, z2z_{2}, z3z_{3} в точки w1w_{1}, w2w_{2}, w3w_{3}.

?
Задача 5615

Доказать, что круг ∣z∣<1\left|z\right| < 1 переходит в себя при дробно-линейном отображении лишь при w=eiθ⋅z−a1−a‾zw = e^{i\theta }\cdot \dfrac {z-a}{1-\overline{a}z}, где ∣a∣<1\left|a\right| < 1.

?
Задача 5616

Найти условия, при которых дробно-линейная функция w=az+bcz+dw = \dfrac {az+b}{cz+d} переводит круг ∣z∣<1\left|z\right| < 1 в верхнюю полуплоскость.

?
Задача 5617

Найти функцию, дающую конформное отображение круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на полуплоскость Im(w)<0\mathrm{Im}\left(w\right) < 0 так, чтобы точки 11, ii, −i-i переходили в точки w=+1,0,−1w = +1, 0, -1.

?
Задача 5618

Найти функцию, дающую конформное отображение того же круга (задача 5617) в себя так, чтобы точки z=−1,i,1z = -1, i, 1 переходили в точки w=−1,3i+45,1w = -1, \dfrac {3i+4}{5}, 1.

?
Задача 5619

Найти функцию, дающую конформное отображение двуугольника, ограниченного дугами окружностей, пересекающихся в точках z=az = a, z=bz = b под углом πα\dfrac {\pi }{\alpha }, на полуплоскость Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0 так, чтобы точки z=az = a, z=bz = b переходили в w=0w = 0, w=∞w = \infty.

?
Задача 5620

Найти функцию, дающую конформное отображение верхнего полукруга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на верхнюю полуплоскость Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0 так, чтобы при z=0,1,−1z = 0, 1, -1 было w=0,1,−1w = 0, 1, -1.

?
Задача 5621

Найти функцию, дающую конформное отображение квадранта 0<arg⁡z<π20 < \arg z < \dfrac {\pi }{2} на круг ∣w∣<1\left|w\right| < 1 так, чтобы при z=1+i,0z = 1+i, 0 было бы w=0,1w = 0, 1.

?
Задача 5622

Найти функцию, дающую конформное отображение круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на плоскость с разрезом вдоль положительной части вещественной оси.

?
Задача 5623

Найти функцию, дающую конформное отображение плоскости с разрезом вдоль всей вещественной оси, кроме отрезка между точками aa и bb, на область Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0.

?
Задача 5624

Найти функцию, дающую конформное отображение плоскости с разрезом вдоль отрезка a<z<ba < z < b на Im(w)<0\mathrm{Im}\left(w\right) < 0.

?
Задача 5625

Найти функцию, дающую конформное отображение круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 с вырезом по отрезку 0<z<10 < z < 1 на полуплоскость Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0.

?
Задача 5626

Найти функцию, дающую конформное отображение полосы 0<Re(z)<a0 < \mathrm{Re}\left(z\right) < a на полуплоскость Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0.

?
Задача 5627

Найти функцию, дающую конформное отображение области ∣z−a∣>a\left|z-a\right| > a; ∣z−b∣<b\left|z-b\right| < b, где 0<a<b0 < a < b, на полосу 0<Im(w)<π0 < \mathrm{Im}\left(w\right) < \pi.

?
Задача 5628

Найти функцию, дающую конформное отображение области 0<a<∣z∣<b0 < a < \left|z\right| < b, 0<arg⁡z<π0 < \arg z < \pi на прямоугольник.

?
Задача 5629

Найти функцию, дающую конформное отображение области ∣z−3∣>9\left|z-3\right| > 9; ∣z−8∣<16\left|z-8\right| < 16 на кольцо между кругами: ρ<∣w∣<1\rho < \left|w\right| < 1.

?
Задача 5630

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренней области эллипса 4x2+5y2=204x^{2}+5y^{2} = 20 с разрезом между фокусами на внутренность кольца 1<∣w∣<A1 < \left|w\right| < A, и найти AA.

?
Задача 5631

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренней части параболы y2=4xy^{2} = 4x на полуплоскость Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0.

?
Задача 5632

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренней части гиперболы x2sin⁡2α−y2cos⁡2α=sin⁡22αx^{2}\sin^{2}\alpha -y^{2}\cos^{2}\alpha = \sin^{2} 2\alpha на полуплоскость Im(w)>0\mathrm{Im}\left(w\right) > 0.

?
Задача 5633

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренности правой половины лемнискаты z2=2a2cos⁡2φz^{2} = 2a^{2}\cos 2\varphi на круг ∣w∣⩽1\left|w\right| \leqslant 1.

?
Задача 5634

Доказать, что функция w=∫0zz13−1(1−z)13−1 dzw = \int_{0}^{z} z^{\frac{1}{3}-1}(1-z)^{\frac{1}{3}-1}\, dz отображает верхнюю полуплоскость zz на равносторонний треугольник со стороной 32πΓ3(13)\dfrac {\sqrt{3}}{2\pi }\Gamma^{3}\left(\dfrac {1}{3}\right).

?
Примечание.
?

Следующие задачи связаны с интегралами Кристоффеля--Шварца. Полуплоскость Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0 может быть отображена на многоугольник с помощью функции

w=A∫0z(z−a)α−1(z−b)β−1,…,(z−l)λ−1 dz+B, w = A\int _{0}^{z} (z-a)^{\alpha -1}(z-b)^{\beta -1}, \ldots , (z-l)^{\lambda -1}\, dz+B,

где AA и BB --- постоянные, απ,βπ,…,λπ\alpha \pi , \beta \pi , \ldots , \lambda \pi --- углы многоугольника, a,b,…,la, b, \ldots , l --- точки на оси OXOX.

Та же функция дает отображение внутренности круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на многоугольник с такими же углами, если точки a,b,…,la, b, \ldots , l лежат на окружности ∣z∣=1\left|z\right| = 1. Чтобы многоугольник был замкнутым, должно выполняться условие: α+β+…+λ=n−2\alpha +\beta +\ldots +\lambda = n-2, где nn --- число величин a,b,…,la, b, \ldots , l. Если условие не выполнено, то получается отображение на область, расположенную по определенную сторону от ломаной.

Задача 5635

Доказать, что функция w=∫0zdz1−z4w = \int_{0}^{z} \dfrac {dz}{\sqrt{1-z^{4}}} отображает круг ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на квадрат со стороной

14πΓ2(14). \frac{1}{4\sqrt{\pi }}\Gamma ^{2}\left(\frac{1}{4}\right).
?
Задача 5636

Доказать, что функция

w=∫0z(1−z2)−13(1+z2)−23 dz w = \int _{0}^{z} (1-z^{2})^{-\frac{1}{3}}(1+z^{2})^{-\frac{2}{3}}\, dz

отображает внутренность круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на площадь ромба с углом 60°60° и со стороной 14πΓ(13)Γ(16)\dfrac {1}{4\sqrt{\pi }}\Gamma \left(\dfrac {1}{3}\right)\Gamma \left(\dfrac {1}{6}\right).

?
Задача 5637

Доказать, что функция

w=∫0zdz(1−zn)2n w = \int _{0}^{z} \frac{dz}{(1-z^{n})^{\frac{2}{n}}}

отображает внутренность круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на площадь правильного nn-угольника, длина стороны которого равна

2πnΓ2(1n)Γ(n−2n)sin⁡2πn. \frac{2}{\pi n}\Gamma ^{2}\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{n-2}{n}\right)\sin ^{2}\frac{\pi }{n}.
?
Задача 5638

На какую область отображает внутренность круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 функция (−1<λ<1−2n)\left(-1 < \lambda < 1-\dfrac {2}{n}\right)

w=∫0z(1+zn)λ(1−zn)2n+λ dz? w = \int _{0}^{z} \frac{(1+z^{n})^{\lambda }}{(1-z^{n})^{\frac{2}{n}+\lambda }}\, dz?
?
Задача 5639

Найти функцию, дающую конформное отображение круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на правильную пятиконечную звезду.

?
Задача 5640

Найти функцию, дающую конформное отображение того же круга (задача 5639) на внешность правильного nn-угольника.

?
Задача 5641

Найти функцию, дающую конформное отображение полуплоскости Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0 на ту же полуплоскость с разрезом между точками w=0w = 0 и w=iw = i.

?
Задача 5642

Найти функцию, дающую конформное отображение полуплоскости Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0 на плоскость с вертикальными разрезами от точек w=nπw = n\pi вниз до бесконечности.

?
Задача 5643

Найти функцию, дающую конформное отображение круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 на круг ∣w∣<1\left|w\right| < 1 с радиальным разрезом между точками w=12w = \dfrac {1}{2} и w=1w = 1.

?
Задача 5644

Найти функцию, дающую конформное отображение плоскости с разрезом по оси OXOX от точки z=1z = 1 до ∞\infty на круг ∣w∣<1\left|w\right| < 1.

?
§
14.9 · Принцип максимума модуля[29/0%]
Задача 5645

Применяя интеграл Коши к функции (f(z))n\left(f(z)\right)^{n}, где nn --- целое и стремится к ∞\infty, доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна внутри контура CC, а на контуре справедливо неравенство ∣f(z)∣⩽M\left|f(z)\right| \leqslant M, то оно остается в силе и внутри контура.

?
Задача 5646

Доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна внутри круга ∣z∣⩽R\left|z\right| \leqslant R, причем ∣f(z)∣<M\left|f(z)\right| < M, а f(0)=0f(0) = 0, то при ∣z∣<R\left|z\right| < R выполняется неравенство ∣f(z)∣<MR⋅∣z∣\left|f(z)\right| < \dfrac {M}{R}\cdot \left|z\right|, в котором равенство хотя бы в одной точке возможно только тогда, когда f(z)f(z) имеет вид f(z)=MReiαzf(z) = \dfrac {M}{R}e^{i\alpha }z. (Лемма Шварца.)

?
Задача 5647

Доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна при r<∣z∣<Rr < \left|z\right| < R, то при r<ρ<Rr < \rho < R имеется равенство

12π∫02π∣f(ρeφi)∣2 dφ=∑∣an∣2ρ2n, \frac{1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi } \left|f(\rho e^{\varphi i})\right|^{2}\, d\varphi = \sum \left|a_{n}\right|^{2}\rho ^{2n},

где ana_{n} --- коэффициент ряда Лорана.

?
Задача 5648

Доказать теорему: если f(z)=∑n=0∞anznf(z) = \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n} сходится при ∣z∣<R\left|z\right| < R и притом ∣f(z)∣⩽M\left|f(z)\right| \leqslant M, то ∑∣an∣2R2n⩽M2\sum \left|a_{n}\right|^{2}R^{2n} \leqslant M^{2}.

?
Задача 5649

Доказать, что если равенство w=∑n=0∞anznw = \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n} дает отображение круга ∣z∣<R\left|z\right| < R на площадь SS, то S=π∑n=0∞n∣an∣2R2nS = \pi \sum_{n=0}^{\infty } n\left|a_{n}\right|^{2}R^{2n}.

?
Задача 5650

Доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна в круге ∣z∣<R\left|z\right| < R и отлична от постоянной, то функция

I(r)=∫02π∣f(reφi)∣2 dφ I(r) = \int _{0}^{2\pi } \left|f(re^{\varphi i})\right|^{2}\, d\varphi

возрастает вместе с rr при 0<r<R0 < r < R.

?
Задача 5651

Доказать теорему: из всех функций f(z)f(z), регулярных внутри круга ∣z∣<R\left|z\right| < R и удовлетворяющих условиям ∫02π∣f(Reφi)∣2 dφ=M\int_{0}^{2\pi } \left|f(Re^{\varphi i})\right|^{2}\, d\varphi = M, линейная функция дает наименьшую площадь, в какую отображается круг ∣z∣<R\left|z\right| < R.

?
Задача 5652

Доказать теорему: для функции f(z)f(z), регулярной при r<∣z∣<Rr < \left|z\right| < R, величина

I(ρ)=∫02π∣f(ρeφi)∣2 dφ=K(ln⁡ρ) I(\rho ) = \int _{0}^{2\pi } \left|f(\rho e^{\varphi i})\right|^{2}\, d\varphi = K(\ln \rho )

представляет выпуклую функцию ln⁡ρ\ln \rho, т.е. выполняется неравенство (при m>0m > 0, n>0n > 0):

K(mln⁡ρ1+nln⁡ρ2m+n)⩽mK(ln⁡ρ1)+nK(ln⁡ρ2)m+n. K\left(\frac{m\ln \rho _{1}+n\ln \rho _{2}}{m+n}\right) \leqslant \frac{mK(\ln \rho _{1})+nK(\ln \rho _{2})}{m+n}.
?
Задача 5653

Доказать теорему: если f(z)f(z), кроме прежних условий (задача 5652), отлично от нуля при r<∣z∣<Rr < \left|z\right| < R, то величина

Iσ(ρ)=∫02π∣f(ρeφi)∣σ dφ I_{\sigma }(\rho ) = \int _{0}^{2\pi } \left|f(\rho e^{\varphi i})\right|^{\sigma }\, d\varphi

при любом σ>0\sigma > 0 есть тоже выпуклая функция ln⁡ρ\ln \rho.

?
Задача 5654

Показать, что от условия f(z)≠0f(z) \neq 0 в предыдущей задаче (задача 5653) можно освободиться.

?
Задача 5655

Доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна при ∣z∣<R\left|z\right| < R, то величина Iσ(ρ)I_{\sigma }(\rho ) (задача 5653) возрастает вместе с ρ\rho.

?
Задача 5656

Доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна при r<∣z∣<Rr < \left|z\right| < R, а M(ρ)M(\rho ) есть максимум модуля f(ρeφi)f(\rho e^{\varphi i}), то при r<ρ<Rr < \rho < R величина M(ρ)M(\rho ) есть выпуклая функция от ln⁡ρ\ln \rho (теорема Адамара о трех кругах).

?
Примечание.
?

Указание. Полезно рассмотреть функцию znf(z)=F(z)z^{n}f(z) = F(z), подобрав nn так, чтобы величины M(r)M(r) и M(R)M(R) для F(z)F(z) были одинаковы.

Задача 5657

Доказать теорему: если многочлен f(z)f(z) степени nn в интервале −1⩽z⩽1-1 \leqslant z \leqslant 1 по модулю не превосходит MM, то для любого zz справедливо неравенство: ∣f(z)∣⩽M(a+b)n\left|f(z)\right| \leqslant M(a+b)^{n}, где aa и bb --- полуоси эллипса, проходящего через точку zz и имеющего фокусы в точках z=±1z = \pm 1.

?
Примечание.
?

Указание. Положить z=12(ζ+1ζ)z = \dfrac {1}{2}\left(\zeta +\dfrac {1}{\zeta }\right) и применить теорему о модуле к функции

ζ−nf(ζ2+12ζ). \zeta ^{-n}f\left(\frac{\zeta ^{2}+1}{2\zeta }\right).
Задача 5658

Доказать теорему: если при ∣z∣<1\left|z\right| < 1 функция f(z)f(z) регулярна и ∣f(z)∣<M\left|f(z)\right| < M, а f(α)=0f(\alpha ) = 0, где ∣α∣<1\left|\alpha \right| < 1, то при ∣z∣<1\left|z\right| < 1 имеет место неравенство:

∣f(z)∣⩽M⋅∣z−α1−α‾z∣. \left|f(z)\right| \leqslant M\cdot \left|\frac{z-\alpha }{1-\overline{\alpha }z}\right|.
?
Задача 5659

Доказать теорему: если f(z)f(z) регулярна при ∣z∣<1\left|z\right| < 1; f(0)≠0f(0) \neq 0; ∣f(z)∣<M\left|f(z)\right| < M и f(z)=0f(z) = 0 при z=z1,z2,z3,…z = z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots, то бесконечное произведение ∏ν=1∞∣zν∣\prod_{\nu =1}^{\infty } \left|z_{\nu }\right| сходится.

?
Примечание.
?

Указание. Рассмотреть неравенство

∣f(z)∣⩽M∣z−z11−z1‾z⋅z−z21−z2‾z⋯z−zn1−zn‾z∣. \left|f(z)\right| \leqslant M\left|\frac{z-z_{1}}{1-\overline{z_{1}}z}\cdot \frac{z-z_{2}}{1-\overline{z_{2}}z}\cdots \frac{z-z_{n}}{1-\overline{z_{n}}z}\right|.
Задача 5660

Доказать теорему: если при ∣z∣<1\left|z\right| < 1 функция f(z)f(z) регулярна и ограничена, а при a<φ<ba < \varphi < b величина f(reφi)f(re^{\varphi i}) при r→1r \to 1 равномерно стремится к нулю, то f(z)f(z) тождественно равна нулю.

?
Примечание.
?

Указание. Рассмотреть функцию f(z)⋅f(ωz)…f(ωn−1z)f(z)\cdot f(\omega z)\ldots f(\omega^{n-1}z), где ω=e2πi/n\omega = e^{2\pi i/n}, а nn достаточно велико.

Задача 5661

Доказать теорему: если последовательность fn(z)f_{n}(z) при ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1 равномерно ограничена и стремится к 00 при n→∞n \to \infty на множестве точек, имеющих точкой сгущения начало, то fn(z)→0f_{n}(z) \to 0 при n→∞n \to \infty в любой внутренней точке круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1.

?
Примечание.
?

Указание. Пусть z1,z2,…,zmz_{1}, z_{2}, \ldots , z_{m} --- точки, лежащие внутри фиксированного круга ∣z∣>ρ\left|z\right| > \rho, в которых fn(z)→0f_{n}(z) \to 0. Рассматривая формулу

fn(z)=∑ν=1nfn(zν)ω′(zν)⋅ω(z)z−zν+ω(z)2πi∫∣t∣=1fn(t)ω(t)(t−z) dt;ω(z)=∏ν=1m(z−zν), f_{n}(z) = \sum _{\nu =1}^{n} \frac{f_{n}(z_{\nu })}{\omega '(z_{\nu })}\cdot \frac{\omega (z)}{z-z_{\nu }}+\frac{\omega (z)}{2\pi i}\int _{\left|t\right|=1} \frac{f_{n}(t)}{\omega (t)(t-z)}\, dt; \qquad \omega (z) = \prod _{\nu =1}^{m} (z-z_{\nu }),

фиксировать при заданном ε>0\varepsilon > 0 достаточно малое ρ\rho, потом соответственно большое mm и затем устремить nn к ∞\infty.

Задача 5662

Доказать теорему: если функции fn(z)f_{n}(z) регулярны внутри контура CC и равномерно ограничены на нем, а внутри контура имеется точка сгущения точек, в которых fn(z)→0f_{n}(z) \to 0 при n→∞n \to \infty, то и в любой точке внутри контура fn(z)→0f_{n}(z) \to 0. (Теорема Витали.)

?
Задача 5663

Доказать теорему: если функции fn(z)f_{n}(z) регулярны в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1, не имеют в нем корней, а по модулю не больше, чем 11, и, кроме того, fn(0)→0f_{n}(0) \to 0 при n→∞n \to \infty, то во всей внутренности круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 функции fn(z)→0f_{n}(z) \to 0 при n→∞n \to \infty.

?
Примечание.
?

Указание. Воспользоваться интегралом Пуассона для ln⁡∣fn(z)∣\ln \left|f_{n}(z)\right|.

Задача 5664

Пусть zνz_{\nu } --- корни целой функции f(z)f(z) и

0<∣z1∣⩽∣z2∣⩽∣z3∣⩽⋯⩽∣zN−1∣⩽R<∣zN∣, 0 < \left|z_{1}\right| \leqslant \left|z_{2}\right| \leqslant \left|z_{3}\right| \leqslant \cdots \leqslant \left|z_{N-1}\right| \leqslant R < \left|z_{N}\right|,

а для функции f(z)f(z) справедливо неравенство:

∣f(z)∣<Ce∣z∣σ. \left|f(z)\right| < Ce^{\left|z\right|^{\sigma }}.

Доказать, что при ∣z∣⩽3R\left|z\right| \leqslant 3R

∣f(0)∣<∣f(z)∏ν=1N−1(1−zzν)∣<Ce(3R)σ2N−1. \left|f(0)\right| < \left|\frac{f(z)}{\prod _{\nu =1}^{N-1} \left(1-\dfrac {z}{z_{\nu }}\right)}\right| < \frac{Ce^{(3R)^{\sigma }}}{2^{N-1}}.
?
Задача 5665

Доказать, что при тех же условиях (задача 5664) ряд ∑ν=1∞1∣zν∣n\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{1}{\left|z_{\nu }\right|^{n}} сходится при n>σn > \sigma.

?
Задача 5666

При тех же условиях (задача 5664) доказать разложение в бесконечное произведение Вейерштрасса:

f(z)=eg(z)∏ν=1∞φν(z), f(z) = e^{g(z)}\prod _{\nu =1}^{\infty } \varphi _{\nu }(z),

где g(z)g(z) --- некоторая целая функция, а

φν(z)=(1−zzν)ezzν+z22zν2+…+zn−1(n−1)zνn−1. \varphi _{\nu }(z) = \left(1-\frac{z}{z_{\nu }}\right)e^{\frac{z}{z_{\nu }}+\frac{z^{2}}{2z_{\nu }^{2}}+\ldots +\frac{z^{n-1}}{(n-1)z_{\nu }^{n-1}}}.
?
Задача 5667

Пусть

f(z)=∑n=0∞anzn f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n}

удовлетворяет в круге ∣z∣⩽R\left|z\right| \leqslant R условию: Re(f(z))⩽M\mathrm{Re}\left(f(z)\right) \leqslant M, где M>0M > 0. Тогда

∣a1∣<2∣M−Re(a0)∣R. \left|a_{1}\right| < \frac{2\left|M-\mathrm{Re}\left(a_{0}\right)\right|}{R}.
?
Примечание.
?

Указание. Рассмотреть сначала случай a0=0a_{0} = 0, используя разложение f(z)2M−f(z)=a12Mz+bz2+⋯\dfrac {f(z)}{2M-f(z)} = \dfrac {a_{1}}{2M}z+bz^{2}+\cdots и соотношение ∣f(z)∣<∣2M−f(z)∣\left|f(z)\right| < \left|2M-f(z)\right|.

Задача 5668

Рассматривая при тех же условиях (задача 5667) функцию

F(z)=1n∑ν=1n(f(ωνz)−a0), F(z) = \frac{1}{n}\sum _{\nu =1}^{n} \left(f(\omega ^{\nu }z)-a_{0}\right),

где ω=e2πin\omega = e^{\frac{2\pi i}{n}}, доказать неравенство:

∣an∣⩽2∣M−Re(a0)∣Rn. \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{2\left|M-\mathrm{Re}\left(a_{0}\right)\right|}{R^{n}}.
?
Задача 5669

При прежнем условии относительно роста f(z)f(z) (см. задачу 5664) доказать, что при ∣z∣⩽2R\left|z\right| \leqslant 2R, а следовательно, и ∣z∣⩽R\left|z\right| \leqslant R, имеем:

∣ψ(z)∣=∣f(z)∏ν=1N(1−zzν)∣<Ce(2R)σ, \left|\psi (z)\right| = \left|\frac{f(z)}{\prod _{\nu =1}^{N} \left(1-\dfrac {z}{z_{\nu }}\right)}\right| < Ce^{(2R)^{\sigma }},

где в произведении ∣zν∣⩽R\left|z_{\nu }\right| \leqslant R.

?
Задача 5670

Пользуясь тем, что ln⁡ψ(z)\ln \psi (z) --- регулярная функция zz при ∣z∣⩽R\left|z\right| \leqslant R (задача 5669), доказать, что при z=0z = 0 величина

(ln⁡f(z))(n)−∑ν=1N(ln⁡φν(z))(n) \left(\ln f(z)\right)^{(n)}-\sum _{\nu =1}^{N} \left(\ln \varphi _{\nu }(z)\right)^{(n)}

по абсолютному значению меньше, чем cRn−σ\dfrac {c}{R^{n-\sigma }}, где cc --- соответствующая постоянная.

?
Задача 5671

Доказать теорему Адамара: если f(z)f(z) удовлетворяет при любом zz условию ∣f(z)∣<Ce∣z∣σ\left|f(z)\right| < Ce^{\left|z\right|^{\sigma }}, где σ<n\sigma < n и f(0)≠0f(0) \neq 0, то справедливо разложение Вейерштрасса

f(z)=eg(z)⋅∏ν=1∞φν(z), f(z) = e^{g(z)}\cdot \prod _{\nu =1}^{\infty } \varphi _{\nu }(z),

где g(z)g(z) --- многочлен, степень которого меньше nn.

?
Задача 5672

Доказать теорему Каратеодори: если f(z)=∑n=0∞an(z−a)nf(z) = \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}(z-a)^{n} регулярна в круге ∣z−a∣⩽R\left|z-a\right| \leqslant R и в нем имеет место Re(f(z))<M\mathrm{Re}\left(f(z)\right) < M, где M>0M > 0, то при ∣z−a∣=r<R\left|z-a\right| = r < R справедливо неравенство:

∣f(z)∣<∣a0∣+2∣M−Re(a0)∣⋅rR−r. \left|f(z)\right| < \left|a_{0}\right|+\frac{2\left|M-\mathrm{Re}\left(a_{0}\right)\right|\cdot r}{R-r}.
?
Задача 5673

Доказать теорему Линделефа: если ∣f(z)∣⩽C\left|f(z)\right| \leqslant C на краях области −a<x<a-a < x < a, а внутри этой области ∣f(z)∣<eλ∣y∣\left|f(z)\right| < e^{\lambda \left|y\right|}, где λ\lambda --- некоторая постоянная, то и внутри области ∣f(z)∣⩽C\left|f(z)\right| \leqslant C, причем знак равенства во внутренней точке возможен только тогда, когда f(z)≡Cf(z) \equiv C.

?
Примечание.
?

Указание. Полезно изучить функцию f(z)eεz2f(z)e^{\varepsilon z^{2}} при ε>0\varepsilon > 0.

§
14.10 · Дифференциальные уравнения при комплексной переменной[46/48%]
Задача 5674

Решить по способу Коши уравнение y′′−2y′+y=f(x)y''-2y'+y = f(x); y0=ay_{0} = a, y0′=by_{0}' = b, при данных начальных условиях.

?
Примечание.
?

Способ Коши для нахождения интегралов линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dxmdt+∑ν=1nαmνxν=φm(t),m=1,2,…,n(*) \frac{dx_{m}}{dt}+\sum _{\nu =1}^{n} \alpha _{m\nu }x_{\nu } = \varphi _{m}(t), \quad m = 1,2,\ldots ,n \tag {*}

состоит в следующем:

  1. Введя символ δμν=0\delta_{\mu \nu } = 0 при μ≠ν\mu \neq \nu и δνν=1\delta_{\nu \nu } = 1, решаем уравнения

    ∑ν=1n(αμν+sδμν)Aν=ξμ;μ=1,2,…,n;(**) \sum _{\nu =1}^{n} (\alpha _{\mu \nu }+s\delta _{\mu \nu })A_{\nu } = \xi _{\mu }; \quad \mu = 1,2,\ldots ,n; \tag {**}

    при этом получится:

    Aν=∑μ=1nBνμ(s)ξμΔ(s), A_{\nu } = \frac{\sum _{\mu =1}^{n} B_{\nu \mu }(s)\xi _{\mu }}{\Delta (s)},

    где Δ(s)\Delta (s) — определитель системы (∗∗)(**).

  2. Составляем функции

    ωm(s)=∑μ=1nBmμ(s)(ξμ+∫0tφμ(τ)e−sτ dτ)esτ. \omega _{m}(s) = \sum _{\mu =1}^{n} B_{m\mu }(s)\left(\xi _{\mu }+\int _{0}^{t} \varphi _{\mu }(\tau )e^{-s\tau }\, d\tau \right)e^{s\tau }.

Тогда уравнения (∗)(*) имеют систему частных интегралов:

xm=12πi∫Cωm(s)Δ(s) ds,m=1,2,…,n. x_{m} = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} \frac{\omega _{m}(s)}{\Delta (s)}\, ds, \quad m = 1,2,\ldots ,n.

Здесь интегрирование берется в положительном направлении по кругу ∣s∣=R\left|s\right| = R, настолько большому, что все корни уравнения Δ(s)=0\Delta (s) = 0 лежат внутри круга. При t=0t = 0 величины xmx_{m} обращаются в ξm\xi_{m}.

Для одного уравнения

y(n)+a1y(n−1)+…+any=f(x) y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{n}y = f(x)

правило Коши обращается в такое:

  1. Составляем функцию

    φ(s)=∑ν=0n−1y0(ν)ψν(s), \varphi (s) = \sum _{\nu =0}^{n-1} y_{0}^{(\nu )}\psi _{\nu }(s),

    где ψν(s)=sn−ν−1+a1sn−ν−2+…+an−ν−1\psi_{\nu }(s) = s^{n-\nu -1}+a_{1}s^{n-\nu -2}+\ldots +a_{n-\nu -1}.

  2. Тогда

    y=12πi∫∑ν=0n−1y0(ν)ψν(s)⋅esx+∫0xe(x−t)sf(t) dtsn+a1sn−1+…+an ds. y = \frac{1}{2\pi i}\int \frac{\sum _{\nu =0}^{n-1} y_{0}^{(\nu )}\psi _{\nu }(s)\cdot e^{sx}+\int _{0}^{x} e^{(x-t)s}f(t)\, dt}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\ldots +a_{n}}\, ds.

Здесь y0,y0′,…,y0(n−1)y_{0}, y_{0}', \ldots , y_{0}^{(n-1)} --- значения при x=0x = 0, а интегрирование идет по кругу ∣s∣=R\left|s\right| = R, внутри которого лежат все корни знаменателя.

Задача 5675

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений x′−x+y=0x'-x+y = 0, y′+x+z=0y'+x+z = 0, z′−x+y=0z'-x+y = 0; x0=ax_{0} = a, y0=by_{0} = b, z0=cz_{0} = c при данных начальных условиях.

?
Задача 5676

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений x′+x+y=etx'+x+y = e^{t}, y′−x+3y=e−ty'-x+3y = e^{-t}; x0=−y0=1x_{0} = -y_{0} = 1 при данных начальных условиях.

?
Задача 5677

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений x′=4x+2y+2zx' = 4x+2y+2z, y′+x+z=0y'+x+z = 0, z′+2x+y=0z'+2x+y = 0; −x0=y0=z0=1-x_{0} = y_{0} = z_{0} = 1 при данных начальных условиях.

?
Задача 5678

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений x′′=3x+4yx'' = 3x+4y, y′′+x+y=0y''+x+y = 0; x0=y0′=1x_{0} = y_{0}' = 1, y0=x0′=0y_{0} = x_{0}' = 0 при данных начальных условиях.

?
Задача 5679

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения y′′−xy=0y''-xy = 0.

?
Задача 5680

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения y′′−x2y=0y''-x^{2}y = 0.

?
Задача 5681

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения y′′′+xy=0y'''+xy = 0.

?
Задача 5682

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения y′′′+x3y=0y'''+x^{3}y = 0.

?
Задача 5683

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения (1−x2)y′′−4xy′−2y=0(1-x^{2})y''-4xy'-2y = 0.

?
Задача 5684

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения xy′′+y′+y=0xy''+y'+y = 0.

?
Задача 5685

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения xy′′+2y′+xy=0xy''+2y'+xy = 0.

?
Задача 5686

Доказать, что уравнению (1−x2)y′′−5xy′−4y=0(1-x^{2})y''-5xy'-4y = 0 удовлетворяют ряды

∑n=0∞(n!)2(2n)!(2x)2nи∑n=0∞(2n+1)!(n!)2⋅(x2)2n+1, \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}(2x)^{2n} \quad \text{и} \quad \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1},

первый из которых равен 12((arcsin⁡x)2)′′\dfrac {1}{2}\left((\arcsin x)^{2}\right)''.

?
Задача 5687

Доказать, что общий интеграл уравнения

(1−x2)y′′−(α+β+1)xy′−αβy=0 (1-x^{2})y''-(\alpha +\beta +1)xy'-\alpha \beta y = 0

равен C1y1+C2y2C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}, где

y1=1+∑n=1∞α(α+2)⋯(α+2n−2)β(β+2)⋯(β+2n−2)(2n)!x2n, y_{1} = 1+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\alpha (\alpha +2)\cdots (\alpha +2n-2)\beta (\beta +2)\cdots (\beta +2n-2)}{(2n)!}x^{2n}, y2=∑n=0∞(1(2n−1)!(α+1)(α+3)⋯(α+2n−1)(β+1)(β+3)⋯(β+2n−1)x2n+1). y_{2} = \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{(2n-1)!}(\alpha +1)(\alpha +3)\cdots (\alpha +2n-1)(\beta +1)(\beta +3)\cdots (\beta +2n-1)x^{2n+1}\right).
?
Задача 5688

Доказать, что уравнению x2y′+(x−1)y+1=0x^{2}y'+(x-1)y+1 = 0, общий интеграл которого

y=Cxe−1x−1xe−1x∫xe1x dx, y = \frac{C}{x}e^{-\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}e^{-\frac{1}{x}}\int xe^{\frac{1}{x}}\, dx,

формально удовлетворяет ряд ∑n=0∞n!xn\sum_{n=0}^{\infty } n!x^{n}, расходящийся при любом x≠0x \neq 0.

?
Задача 5689

Найти интеграл уравнения

(1−x2)y′′−2xy′+n(n+1)y=0, (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y = 0,

где 2n2n --- нецелое число, в виде ряда по положительным степеням xx.

?
Задача 5690

Найти интеграл уравнения (1−x2)y′′−2xy′+n(n+1)y=0(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y = 0, где 2n2n --- нецелое число (задача 5689), в виде ряда по отрицательным степеням xx.

?
Задача 5691

Найти общий интеграл уравнения

4x(x−1)y′′+4((a+2)x−a−1)y′+(2a+1)y=0, 4x(x-1)y''+4\left((a+2)x-a-1\right)y'+(2a+1)y = 0,

представив его равенством y=C1φ(x,a)+C2x−aφ(−a,x)y = C_{1}\varphi (x,a)+C_{2}x^{-a}\varphi (-a,x), где φ(a,x)\varphi (a,x) --- ряд по степеням xx, равный 11 при x=0x = 0.

?
Задача 5692

Найти интегралы предыдущего уравнения (задача 5691) при a=0a = 0 в виде рядов, сходящихся в окрестности точки x=1x = 1.

?
Задача 5693

Найти интеграл уравнения Бесселя

x2y′′+xy′+(x2−n2)y=0, x^{2}y''+xy'+(x^{2}-n^{2})y = 0,

полагая y=C1y1+C2y2y = C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}, где y1y_{1} и y2y_{2} --- обобщенные степенные ряды вида xσ(a0+a1x+a2x2+⋯ )x^{\sigma }(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ), где σ\sigma --- некоторая постоянная, не обязательно целая. Число nn предполагается отличным от целого числа.

?
Задача 5694

Показать, что общий интеграл уравнения Гаусса

x(x−1)y′′+((α+β+1)x−γ)y′+αβy=0 x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y = 0

при ∣x∣<1\left|x\right| < 1 может быть представлен формулой

y=C1F(α,β,γ;x)+C2x1−γF(α−γ+1,β−γ+1,2−γ;x), y = C_{1}F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)+C_{2}x^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\beta -\gamma +1,2-\gamma ;x),

где через F(α,β,γ;x)F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x) обозначен гипергеометрический ряд:

F(α,β,γ;x)=1+α1⋅βγx+α(α+1)1⋅2⋅β(β+1)γ(γ+1)x2+…. F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x) = 1+\frac{\alpha }{1}\cdot \frac{\beta }{\gamma }x+\frac{\alpha (\alpha +1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots .
?
Задача 5695

При помощи преобразования Лапласа проинтегрировать уравнение xy′′+(2n+1)y′+xy=0xy''+(2n+1)y'+xy = 0.

?
Примечание.
?

Дифференциальные операторы

M(u)=∑ν=0npνdn−νudxn−ν,M‾(v)=∑ν=0n(−1)n−νdn−ν(pνv)dxn−ν M(u) = \sum _{\nu =0}^{n} p_{\nu }\frac{d^{n-\nu }u}{dx^{n-\nu }}, \qquad \overline{M}(v) = \sum _{\nu =0}^{n} (-1)^{n-\nu }\frac{d^{n-\nu }(p_{\nu }v)}{dx^{n-\nu }}

называются сопряженными. Если vv --- интеграл уравнения M‾(v)=0\overline{M}(v) = 0, то vM(u)vM(u) --- полный дифференциал выражения P(u,v)P(u,v), билинейного относительно u,u′,…,u(n−1),v,v′,…,v(n−1)u, u', \ldots , u^{(n-1)}, v, v', \ldots , v^{(n-1)}.

Преобразование Лапласа для уравнения M(u)=0M(u) = 0 состоит в том, что полагают y=∫αβextv(t) dty = \int_{\alpha }^{\beta } e^{xt}v(t)\, dt и ищут функции v(t)v(t) и пределы α\alpha и β\beta так, чтобы yy оказался интегралом данного уравнения. Для этого достаточно взять за v(t)v(t) интеграл сопряженного уравнения M‾(v)=0\overline{M}(v) = 0, а пределы α\alpha и β\beta выбрать так, чтобы величины

v(t),v′(t),…,v(n−1)(t) v(t), v'(t), \ldots , v^{(n-1)}(t)

обращались в нуль при t=αt = \alpha и при t=βt = \beta.

Задача 5696

При помощи преобразования Лапласа (задача 5695) проинтегрировать уравнение xy′′−(α+β)(1+x)y′+αβxy=0xy''-(\alpha +\beta )(1+x)y'+\alpha \beta xy = 0.

?
Задача 5697

При помощи преобразования Лапласа (задача 5695) проинтегрировать уравнение xy′′+2ay′−q2xy=0xy''+2ay'-q^{2}xy = 0; a>0a > 0.

?
Задача 5698

Доказать, что при 0<a<20 < a < 2 общий интеграл уравнения xy′′+ay′−q2xy=0xy''+ay'-q^{2}xy = 0 можно представить формулой

y=∫0πexqcos⁡φ(Asin⁡a−1φ+Bx1−asin⁡1−aφ) dφ, y = \int _{0}^{\pi } e^{xq\cos \varphi }(A\sin ^{a-1}\varphi +Bx^{1-a}\sin ^{1-a}\varphi )\, d\varphi ,

а при a=1a = 1 формулой:

y=∫0πexqcos⁡φ(A+Bln⁡(xsin⁡2φ)) dφ. y = \int _{0}^{\pi } e^{xq\cos \varphi }\left(A+B\ln (x\sin ^{2}\varphi )\right)\, d\varphi .
?
Задача 5699

Найти два частных интеграла уравнения xy′′′−y=0xy'''-y = 0, полагая:

y1=∫sin⁡xt⋅u(t) dt;y2=∫cos⁡xt⋅v(t) dt. y_{1} = \int \sin \frac{x}{t}\cdot u(t)\, dt; \quad y_{2} = \int \cos \frac{x}{t}\cdot v(t)\, dt.
?
Задача 5700

Найти две пары частных интегралов системы

2xy′+2z′+y=0;2y′=2xz′+z;Im(x)<1, 2xy'+2z'+y = 0; \quad 2y' = 2xz'+z; \quad \mathrm{Im}\left(x\right) < 1,

отыскивая одну из неизвестных в виде интеграла ∫u(t)sin⁡xt dt\int u(t)\sin xt\, dt, а другую в виде интеграла ∫v(t)cos⁡xt dt\int v(t)\cos xt\, dt.

?
Задача 5701

Доказать, что интеграл уравнения Лежандра

(1−x2)y′′−2xy′+n(n+1)y=0 (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y = 0

можно представить в одной из форм:

y=∫01t−n+12(1−t)−n+22(x2−t)n2 dt;n>0, y = \int _{0}^{1} t^{-\frac{n+1}{2}}(1-t)^{-\frac{n+2}{2}}(x^{2}-t)^{\frac{n}{2}}\, dt; \quad n > 0, y=∫01tn2(1−t)n−12(x2−t)−n+12 dt;n>−1. y = \int _{0}^{1} t^{\frac{n}{2}}(1-t)^{\frac{n-1}{2}}(x^{2}-t)^{-\frac{n+1}{2}}\, dt; \quad n > -1.
?
Задача 5702

Пусть φ(x,t)=tβ−1(1−t)γ−β−1(1−tx)−α\varphi (x,t) = t^{\beta -1}(1-t)^{\gamma -\beta -1}(1-tx)^{-\alpha }. Доказать, что каждый из интегралов

∫1∞φ(x,t) dt;α+1>γ>β; \int _{1}^{\infty } \varphi (x,t)\, dt; \qquad \alpha +1 > \gamma > \beta ; ∫01/xφ(x,t) dt;β>0, α<1; \int _{0}^{1/x} \varphi (x,t)\, dt; \qquad \beta > 0, \ \alpha < 1; ∫01φ(x,t) dt;γ>β>0, α<1; \int _{0}^{1} \varphi (x,t)\, dt; \qquad \gamma > \beta > 0, \ \alpha < 1; ∫0−∞φ(x,t) dt;β>0, α+1>γ, α<1; \int _{0}^{-\infty } \varphi (x,t)\, dt; \qquad \beta > 0, \ \alpha +1 > \gamma , \ \alpha < 1; ∫11/xφ(x,t) dt;γ>β, α<1; \int _{1}^{1/x} \varphi (x,t)\, dt; \qquad \gamma > \beta , \ \alpha < 1; ∫1/x∞φ(x,t) dt;α+1>γ, α<1 \int _{1/x}^{\infty } \varphi (x,t)\, dt; \qquad \alpha +1 > \gamma , \ \alpha < 1

есть частный интеграл гипергеометрического уравнения

x(x−1)y′′+((α+β+1)x−γ)y′+αβy=0. x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y = 0.
?
Задача 5703

Показать, что уравнение

(Ax2+Bx+C)y′′+(Dx+E)y′+Fy=0 (Ax^{2}+Bx+C)y''+(Dx+E)y'+Fy = 0

простой заменой переменных приводится к гипергеометрическому уравнению.

?
Задача 5704

Доказать равенство: (1+x)n=F(−n,β,β,−x)(1+x)^{n} = F(-n,\beta ,\beta ,-x), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5705

Доказать равенство: ex=lim⁡n→∞F(1,n,1,xn)e^{x} = \lim_{n\to \infty } F\left(1,n,1,\dfrac {x}{n}\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5706

Доказать равенство: ln⁡(1+x)=xF(1,1,2,−x)\ln (1+x) = xF(1,1,2,-x), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5707

Доказать равенство: 12xln⁡1+x1−x=F(12,1,32,x2)\dfrac {1}{2x}\ln \dfrac {1+x}{1-x} = F\left(\dfrac {1}{2},1,\dfrac {3}{2},x^{2}\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5708

Доказать равенство: (1+x)n+(1−x)n=2F(−n2,1−n2,12,x2)(1+x)^{n}+(1-x)^{n} = 2F\left(-\dfrac {n}{2},\dfrac {1-n}{2},\dfrac {1}{2},x^{2}\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5709

Доказать равенство: ch⁡x=lim⁡α,β→∞F(α,β,12,x24αβ)\ch x = \lim_{\alpha ,\beta \to \infty } F\left(\alpha ,\beta ,\dfrac {1}{2},\dfrac {x^{2}}{4\alpha \beta }\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5710

Доказать равенство: cos⁡narccos⁡x=F(n,−n,12,1−x2)\cos n\arccos x = F\left(n,-n,\dfrac {1}{2},\dfrac {1-x}{2}\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5711

Доказать равенство:

Jn(x)=lim⁡α,β→∞(x2)n1Γ(n+1)F(α,β,n+1,−(x2αβ)2), J_{n}(x) = \lim _{\alpha ,\beta \to \infty } \left(\frac{x}{2}\right)^{n}\frac{1}{\Gamma (n+1)}F\left(\alpha ,\beta ,n+1,-\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha \beta }}\right)^{2}\right),

где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694), а Jn(x)J_{n}(x) --- функция Бесселя, равная

∑ν=0∞(−1)ν(x2)n+2νν!Γ(n+ν+1). \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }\left(\dfrac {x}{2}\right)^{n+2\nu }}{\nu !\Gamma (n+\nu +1)}.
?
Задача 5712

Обозначая F(α+n,β+n,γ+n,1−x2)F\left(\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\dfrac {1-x}{2}\right) (задача 5694) через FnF_{n}, доказать, что

((1−x)γ(1+x)α+β−γ+1F1)′=−2γ(1−x)γ−1(1+x)α+β−γF0. \left((1-x)^{\gamma }(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma +1}F_{1}\right)' = -2\gamma (1-x)^{\gamma -1}(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma }F_{0}.
?
Задача 5713

Пользуясь предыдущим (задача 5712), показать, что

((1−x)γ+n−1(1+x)α+β−γ+nFn)(n)=(−1)n2nγ(γ+1)⋯(γ+n−1)(1−x)γ−1(1+x)α+β−γF0. \left((1-x)^{\gamma +n-1}(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma +n}F_{n}\right)^{(n)} = (-1)^{n}2^{n}\gamma (\gamma +1)\cdots (\gamma +n-1)(1-x)^{\gamma -1}(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma }F_{0}.
?
Задача 5714

Полагая γ=β+1\gamma = \beta +1, β=−n\beta = -n, α=p+q+n+1\alpha = p+q+n+1 для многочлена Якоби (задача 5581)

Q=n!(p+1)⋯(p+n)Pn(p,q)(x)=F(p+q+n+1,−n,p+1,1−x2), Q = \frac{n!}{(p+1)\cdots (p+n)}P_{n}^{(p,q)}(x) = F\left(p+q+n+1,-n,p+1,\frac{1-x}{2}\right),

доказать равенство:

(1−x)p(1+x)qQ=(−1)n2n(p+1)⋯(p+n)dndxn((1−x)p+n(1+x)q+n). (1-x)^{p}(1+x)^{q}Q = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}(p+1)\cdots (p+n)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left((1-x)^{p+n}(1+x)^{q+n}\right).
?
Задача 5715

В частном случае при p=q=0p = q = 0 (задача 5714) получить формулу Родрига для многочленов Лежандра (задача 5582):

Pn(x)=(−1)n2n⋅n!dn(1−x2)ndxn. P_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!}\frac{d^{n}(1-x^{2})^{n}}{dx^{n}}.
?
Задача 5716

Доказать тождество для многочленов Чебышева (задача 5583):

Tn(x)=cos⁡narccos⁡x2n−1=12n−1F(n,−n,12,1−x2)=(−1)n1⋅3⋯(2n−1)⋅1−x22n−1⋅dn(1−x)n−12dxn. T_{n}(x) = \frac{\cos n\arccos x}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{n-1}}F\left(n,-n,\frac{1}{2},\frac{1-x}{2}\right) = \frac{(-1)^{n}}{1\cdot 3\cdots (2n-1)}\cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n-1}}\cdot \frac{d^{n}(1-x)^{n-\frac{1}{2}}}{dx^{n}}.
?
Задача 5717

Доказать равенство: ∫0xup−1(1−u)q−1 du=xppF(1−q,p,p+1,x)\displaystyle \int_{0}^{x} u^{p-1}(1-u)^{q-1}\, du = \frac{x^{p}}{p}F(1-q,p,p+1,x), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5718

Доказать равенство: ∫0xup−1e−u du=xpplim⁡n→∞F(1−n,p,p+1,xn)\displaystyle \int_{0}^{x} u^{p-1}e^{-u}\, du = \frac{x^{p}}{p}\lim_{n\to \infty } F\left(1-n,p,p+1,\frac{x}{n}\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
Задача 5719

Доказать равенство: ∫01du(1−u2)(1−k2u2)=π2F(12,12,1,k2)\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})}} = \frac{\pi }{2}F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,k^{2}\right), где FF --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?
§
14.11 · Приложения к задачам математической физики[77/69%]
Задача 5720

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения w=azw = az; a>0a > 0.

?
Примечание.
?

Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости характеризуется аналитической функцией w(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)w(z) = \varphi (x,y)+i\psi (x,y), где φ\varphi --- потенциал скоростей, а ψ\psi --- функция тока. Проекции скорости на оси координат vxv_{x} и vyv_{y} равны частным производным ∂φ∂x\dfrac {\partial \varphi }{\partial x} и ∂φ∂y\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}. Поэтому dwdz=vx−ivy\dfrac {dw}{dz} = v_{x}-iv_{y}. Каждая частица жидкости движется по линии тока ψ(x,y)=C\psi (x,y) = C. Разность значений величины ψ\psi в двух точках представляет объем жидкости, протекающей в единицу времени через цилиндр единичной высоты, стенки которого расположены на линии, соединяющей в плоскости XOYXOY данные точки. Любая линия тока или часть ее может быть заменена твердой стенкой без нарушения движения жидкости.

Задача 5721

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения w=iazw = iaz; a>0a > 0.

?
Задача 5722

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения w=z2w = z^{2}.

?
Задача 5723

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения w=1zw = \dfrac {1}{z}.

?
Задача 5724

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения w=1z2w = \dfrac {1}{z^{2}}.

?
Задача 5725

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения w=ln⁡zw = \ln z.

?
Задача 5726

Потенциал скорости имеет вид

φ=ln⁡∣z2−a2∣−ln⁡∣z2+a2∣. \varphi = \ln \left|z^{2}-a^{2}\right|-\ln \left|z^{2}+a^{2}\right|.

Найти уравнение линий тока и показать, что дуги окружности ∣z∣=a\left|z\right| = a и оси координат вне точек z=±az = \pm a, z=±iaz = \pm ia суть линии тока.

?
Задача 5727

Функция тока имеет вид

ψ=ln⁡(r4−2a2r2cos⁡2θ+a4), \psi = \ln (r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta +a^{4}),

где z=reθiz = re^{\theta i}. Найти потенциал φ\varphi.

?
Задача 5728

Функция тока определяется уравнением:

th⁡πxa⋅tg⁡ψ=tg⁡πya;a>0. \th \frac{\pi x}{a}\cdot \tg \psi = \tg \frac{\pi y}{a}; \quad a > 0.

Найти функцию движения ww.

?
Задача 5729

Линии тока --- окружности x2+y2=2axx^{2}+y^{2} = 2ax. Найти отношение скорости жидкости в точках (2a,0)(2a,0) и (a,a)(a,a).

?
Задача 5730

Такой же вопрос (задача 5729, отношение скорости жидкости в двух точках) для лемнискаты r2=a2cos⁡2θr^{2} = a^{2}\cos 2\theta и точек (a,0)(a,0) и (a38,a8)\left(a\sqrt{\dfrac {3}{8}}, \dfrac {a}{\sqrt{8}}\right).

?
Задача 5731

Для источника z=az = a обильности EE найти линии равного тока и равного потенциала.

?
Примечание.
?

Назовем потоком сквозь замкнутый контур CC количество жидкости EE, протекающей в единицу времени сквозь цилиндр с высотой единица и с основанием, расположенным по контуру CC. Величина EE дается формулой:

E=∫Cvx dy−vy dx. E = \int _{C} v_{x}\, dy-v_{y}\, dx.

Циркуляцией скорости по тому же контуру CC называется величина Γ=∫Cvx dx+vy dy\Gamma = \int_{C} v_{x}\, dx+v_{y}\, dy. Так как Γ+iE=∫Cdwdz⋅dz\Gamma +iE = \int_{C} \dfrac {dw}{dz}\cdot dz, то EE и Γ\Gamma удобно находятся с помощью вычетов. Если же w=E2πln⁡(z−a)w = \dfrac {E}{2\pi }\ln (z-a), где EE --- вещественно, то точка aa называется источником обильности EE. Если же w=Γ2πiln⁡(z−a)w = \dfrac {\Gamma }{2\pi i}\ln (z-a), где Γ\Gamma вещественно, то точка aa называется вихрем интенсивности Γ\Gamma.

Задача 5732

Движение жидкости вызывается источником обильности EE (задача 5731), помещенным в точке aa. Доказать, что поток сквозь простой замкнутый контур CC равен нулю, если точка aa вне контура, и равен EE, если точка aa внутри контура.

?
Задача 5733

При тех же условиях (задача 5732) доказать, что циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.

?
Задача 5734

Получить соответствующие результаты (задачи 5732--5733) для движения, вызванного вихрем интенсивности Γ\Gamma в точке aa (задача 5731).

?
Задача 5735

Движение жидкости создается источником EE и вихрем Γ\Gamma, помещенными в точке aa (задача 5731). Доказать, что линии тока --- логарифмические спирали.

?
Задача 5736

Функция движения w=ln⁡sh⁡πzw = \ln \sh \pi z. Найти величину потока сквозь окружность 2∣z∣=32\left|z\right| = 3 и циркуляцию по ней.

?
Задача 5737

Функция движения w=2iln⁡(z2−a2)w = 2i\ln (z^{2}-a^{2}). Найти циркуляцию по окружностям ∣z−a∣=a\left|z-a\right| = a; ∣z+a∣=a\left|z+a\right| = a.

?
Задача 5738

Функция движения w=ln⁡(z2+z−2)w = \ln (z^{2}+z^{-2}). Каковы источники?

?
Задача 5739

Доказать, что вещественная ось есть линия тока, если движение создается источниками обильности EE, помещенными в точках a±bia \pm bi.

?
Задача 5740

Доказать, что отражением в вещественной оси вихря Γ\Gamma в точке a+bia+bi является вихрь −Γ-\Gamma в точке a−bia-bi.

?
Примечание.
?

Замечание. Если линия тока CC делит плоскость на две части, а движение создается источниками и вихрями, то совокупность источников и вихрей по одну сторону линии CC называется отражением источников и вихрей по другую сторону той же линии.

Задача 5741

В точке aa вне круга ∣z∣=R\left|z\right| = R помещен источник EE. Доказать, что его отражением в окружности (задача 5740) являются два источника: источник EE в точке R2a‾\dfrac {R^{2}}{\overline{a}} и источник с обильностью −E-E в точке z=0z = 0.

?
Задача 5742

Вихрь интенсивности Γ\Gamma помещен вне круга ∣z∣=R\left|z\right| = R. Доказать, что его отражением в окружности (задача 5740) является вихрь −Γ-\Gamma в точке R2a‾\dfrac {R^{2}}{\overline{a}}.

?
Задача 5743

Найти движение жидкости вне круга ∣z∣=1\left|z\right| = 1, вызываемое источником обильности EE в точке aa, где a>1a > 1.

?
Задача 5744

То же (задача 5743) для вихря интенсивности Γ\Gamma.

?
Задача 5745

Найти движение жидкости в области ∣z∣>1\left|z\right| > 1, Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0, вызванное вихрем в точке z=aiz = ai, a>1a > 1 с интенсивностью Γ\Gamma.

?
Задача 5746

Положительные части осей координат --- непроницаемые стенки. Только в точке z=1z = 1 имеется точечный источник (точнее, источник вдоль по щели, перпендикулярной к плоскости XOYXOY и проходящей через z=1z = 1), из которого в пространстве высотой 11 в первый квадрант втекает QQ единиц в 11 секунду. Найти движение жидкости.

?
Задача 5747

Найти движение жидкости в области 0<y<x30 < y < x\sqrt{3}, вызванное источником обильности EE в точке z=aeπi6z = ae^{\frac{\pi i}{6}}; a>0a > 0.

?
Задача 5748

Найти движение жидкости в первом квадранте, если в точках z=1z = 1 и z=iz = i в стенках квадранта имеются точечные источники, через которые соответственно входит и выходит QQ единиц объема жидкости в секунду.

?
Задача 5749

Источники обильности ±Ea\pm \dfrac {E}{a} находятся в точках z=±az = \pm a, где a→0a \to 0 (диполь). Найти предельное движение жидкости.

?
Задача 5750

На окружности, непроницаемой в остальных точках для жидкости, помещены два источника обильности EE и −E-E. Доказать, что линии тока внутри круга представляют дуги окружностей, проходящих через оба источника.

?
Задача 5751

Два вихря Γ\Gamma и −Γ-\Gamma помещены в двух точках. Доказать, что в движении, вызванном ими, линии тока --- окружности.

?
Задача 5752

Движение жидкости вызвано потоком из бесконечности, имеющим скорость, равную aa и направленную в отрицательную сторону оси OxOx, и источником E=1E = 1 в начале координат. Доказать, что жидкость, поступающая из источника, заполняет область внутри кривой xtg⁡2πay=yx\tg 2\pi ay = y.

?
Задача 5753

Движение в полуплоскости y>0y > 0 вызвано источником в точке z=aiz = ai. Доказать, что линии тока являются гиперболами x2−y2+a2=Cxyx^{2}-y^{2}+a^{2} = Cxy.

?
Задача 5754

Движение жидкости создано наложением источников z=0,±πi,±2πi,…z = 0, \pm \pi i, \pm 2\pi i, \ldots с обильностью E=2πE = 2\pi каждый. Доказать, что скорость движения стремится к единице при удалении от OYOY и направлена от оси OYOY почти перпендикулярно к ней.

?
Задача 5755

В тех же точках (задача 5754) расположены вихри интенсивности Γ\Gamma. Доказать, что в точках, далеких от оси OYOY, скорость по величине близка к Γ2π\dfrac {\Gamma }{2\pi }, а по направлению почти параллельна оси OYOY.

?
Задача 5756

Движение жидкости создано наложением источников с обильностью E=2πE = 2\pi в точках z=0,±πi,±2πi,…z = 0, \pm \pi i, \pm 2\pi i, \ldots и течения со скоростью v>1v > 1, параллельного отрицательному направлению оси OXOX. Доказать, что наибольшая абсцисса точек, куда заходит жидкость из источников, равна 12ln⁡v+1v−1\dfrac {1}{2}\ln \dfrac {v+1}{v-1}.

?
Задача 5757

Доказать, что при условиях предыдущей задачи (задача 5756) область, заполняемая жидкостью из источника z=0z = 0, ограничена кривой cth⁡x⋅tg⁡y=tg⁡vy\cth x\cdot \tg y = \tg vy, расстояние между ветвями которой стремится к 2πv+1\dfrac {2\pi }{v+1} при x→−∞x \to -\infty.

?
Задача 5758

Источник обильности E=2πE = 2\pi расположен в точке z=aiz = ai, где 0<a<π20 < a < \dfrac {\pi }{2}. Доказать, что движение, созданное им в полосе 0<y<π20 < y < \dfrac {\pi }{2}, имеет функцию движения:

w=ln⁡sh⁡((z+ia)sh⁡(z−ia)). w = \ln \sh \left((z+ia)\sh (z-ia)\right).
?
Задача 5759

Источник обильности E=2πE = 2\pi расположен в точке z0=a+biz_{0} = a+bi, где a>0a > 0; 0<b<π20 < b < \dfrac {\pi }{2}. Доказать, что функция движения, созданного им в области 0<y<π20 < y < \dfrac {\pi }{2}; x>0x > 0, дается формулой:

w=ln⁡(sh⁡(z−z0)sh⁡(z+z0)sh⁡(z−z0‾)sh⁡(z+z0‾)). w = \ln \left(\sh (z-z_{0})\sh (z+z_{0})\sh (z-\overline{z_{0}})\sh (z+\overline{z_{0}})\right).
?
Задача 5760

Движение жидкости в области ∣z∣>1\left|z\right| > 1, вызванное источником обильности EE в точке a>1a > 1, характеризуется функцией w=E2πln⁡(z+1z−a−1a)w = \dfrac {E}{2\pi }\ln \left(z+\dfrac {1}{z}-a-\dfrac {1}{a}\right). Полагая E=2πb(a+1a)E = 2\pi b\left(a+\dfrac {1}{a}\right) и a→∞a \to \infty, найти движение при обтекании круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1 потоком, у которого скорость на бесконечности v∞=vv_{\infty } = v и направлена в сторону отрицательной оси OXOX.

?
Задача 5761

Вдоль вещественной оси --- непроницаемая стенка. На расстоянии hh от нее помещен вихрь интенсивности Γ\Gamma. Доказать, что он движется параллельно оси OXOX со скоростью Γ4πh\dfrac {\Gamma }{4\pi h}.

?
Примечание.
?

Если движение жидкости в односвязной области, определяемое функцией w(z)w(z), вызывается вихрем интенсивности Γ\Gamma, находящимся в данный момент в точке z=az = a, то этот вихрь перемещается со скоростью

dadt=(dw1dz‾)z=a, \frac{da}{dt} = \left(\overline{\frac{dw_{1}}{dz}}\right)_{z=a},

где

w1=w−Γ2πiln⁡(z−a)=φ(x,y)+iψ(x,y). w_{1} = w-\frac{\Gamma }{2\pi i}\ln (z-a) = \varphi (x,y)+i\psi (x,y).

Траектория вихря дается уравнением

ψ(ξ,η)=C,где a=ξ+iη, \psi (\xi ,\eta ) = C, \quad \text{где } a = \xi +i\eta ,

а скорость жидкости на бесконечности предполагается равной нулю.

Задача 5762

Доказать, что вихрь, помещенный в непроницаемую окружность, движется по концентрической окружности.

?
Задача 5763

Движение в области x>0x > 0, y>0y > 0 вызывается вихрем с интенсивностью Γ\Gamma, помещенным в точке (ξ,η)(\xi ,\eta ). Доказать, что траектория вихря выражается уравнением ξ−2+η−2=C\xi^{-2}+\eta^{-2} = C, а проекции скорости вихря выражаются формулами:

dξdt=Γξ24πη(ξ2+η2);dηdt=−Γη24πξ(ξ2+η2). \frac{d\xi }{dt} = \frac{\Gamma \xi ^{2}}{4\pi \eta (\xi ^{2}+\eta ^{2})}; \quad \frac{d\eta }{dt} = -\frac{\Gamma \eta ^{2}}{4\pi \xi (\xi ^{2}+\eta ^{2})}.
?
Задача 5764

Доказать, что функция движения, вызванного бесконечной цепочкой вихрей, каждого с интенсивностью Γ=2π\Gamma = 2\pi, помещенных в точках z=0,±π,±2π,…z = 0, \pm \pi , \pm 2\pi , \ldots, выражается формулой

w(z)=−iln⁡sin⁡z. w(z) = -i\ln \sin z.
?
Задача 5765

Найти функцию движения, вызванного наличием вихрей двух родов: а) с интенсивностью Γ\Gamma в точках l(n+14)+hi2l\left(n+\dfrac {1}{4}\right)+\dfrac {hi}{2}, б) с интенсивностью −Γ-\Gamma в точках l(n−14)−hi2l\left(n-\dfrac {1}{4}\right)-\dfrac {hi}{2}. Здесь n=0,1,2,3,…n = 0,1,2,3,\ldots.

?
Задача 5766

Найти скорость вихря интенсивности Γ\Gamma, помещенного между параллельными стенками, на расстоянии hh от одной из них, если расстояние между стенками dd.

?
Задача 5767

Найти движение в области −π2<x<π2-\dfrac {\pi }{2} < x < \dfrac {\pi }{2}, если в точке (0,0)(0,0) находится источник мощности QQ.

?
Примечание.
?

Если в равенстве w(z)=u(x,y)+iv(x,y)w(z) = u(x,y)+iv(x,y); z=x+iyz = x+iy ввести новую переменную ζ=ξ+iη\zeta = \xi +i\eta, положив

z=φ(ζ)=p(ξ,η)+iq(ξ,η), z = \varphi (\zeta ) = p(\xi ,\eta )+iq(\xi ,\eta ),

то, обозначив величины w(z)w(z), u(x,y)u(x,y), v(x,y)v(x,y), выраженные через ζ\zeta, ξ\xi и η\eta, через w1(ζ)w_{1}(\zeta ), u1(ξ,η)u_{1}(\xi ,\eta ), v1(ξ,η)v_{1}(\xi ,\eta ), мы получим w1(ζ)=u1(ξ,η)+iv1(ξ,η)w_{1}(\zeta ) = u_{1}(\xi ,\eta )+iv_{1}(\xi ,\eta ). После этого область SS на плоскости zz перейдет в область S1S_{1} на плоскости ζ\zeta, а линии тока v(x,y)=Cv(x,y) = C перейдут в линии тока v1(ξ,η)=Cv_{1}(\xi ,\eta ) = C.

Таким образом, конформное отображение дает возможность по движению в области SS, данному функцией w(z)w(z), находить движение в области S1S_{1} с помощью функции w1(ζ)w_{1}(\zeta ).

Задача 5768

Найти движение в области −π2<x<π2-\dfrac {\pi }{2} < x < \dfrac {\pi }{2} (задача 5767), если источник находится в точке (π2,h)\left(\dfrac {\pi }{2},h\right).

?
Задача 5769

Найти функцию движения при симметричном и непрерывном обтекании цилиндра с круглым основанием ∣z∣=a\left|z\right| = a, если скорость потока на бесконечности равна vv и направлена в сторону отрицательной оси OXOX. (Один из путей решения --- отобразить область ∣z∣>a\left|z\right| > a, Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0 на верхнюю полуплоскость нового переменного.)

?
Задача 5770

Найти функцию движения при обтекании прежним потоком (задача 5769) отрезка между точками z=±iz = \pm i. Обтекание ищется непрерывное и симметричное.

?
Задача 5771

Функция w(z)=a(z+R2z)+Γ2πiln⁡zw(z) = a\left(z+\dfrac {R^{2}}{z}\right)+\dfrac {\Gamma }{2\pi i}\ln z дает несимметричное непрерывное обтекание круга ∣z∣=R\left|z\right| = R. Найти v∞v_{\infty }, циркуляцию вдоль по окружности и точки, где скорость равна нулю.

?
Задача 5772

Найти функцию движения при течении жидкости из полуплоскости y>0y > 0 в полуплоскость y<0y < 0 сквозь отверстие в стенке y=0y = 0 между точками z=±1z = \pm 1. Скорость на бесконечности равна нулю.

?
Задача 5773

Найти функцию течения w(z)w(z) для непрерывного симметричного обтекания эллиптического цилиндра с сечением b2x2+a2y2=a2b2b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2} потоком, имеющим на бесконечности скорость vx=vv_{x} = v; vy=0v_{y} = 0.

?
Задача 5774

Доказать, что функция w=iln⁡(1+z−1)w = i\ln (1+z^{-1}) дает обтекание жидкостью пространства, ограниченного прямой и кругом, при условии v∞=0v_{\infty } = 0.

?
Задача 5775

Найти функцию, дающую обтекание полукруга ∣z+43∣<23\left|z+\dfrac {4}{3}\right| < \dfrac {2}{3}, Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0 при условии на бесконечности vx=−vv_{x} = -v, vy=0v_{y} = 0.

?
Задача 5776

Показать, что функция w=2iδln⁡Rzw = 2i\delta \ln \dfrac {R}{z} определяет электрическое поле вне кругового цилиндра ∣z∣=R\left|z\right| = R, на котором равномерно распределен заряд, равный δ\delta для цилиндра единичной высоты.

?
Примечание.
?

Плоское электростатическое поле при отсутствии непрерывно распределенных зарядов характеризуется аналитической функцией w(z)=u(x,y)+iv(x,y)w(z) = u(x,y)+iv(x,y). При этом

idwdz=Ex−iEy, i\frac{dw}{dz} = E_{x}-iE_{y},

где ExE_{x} и EyE_{y} --- проекции электрической силы на оси координат. Уравнение u(x,y)=Cu(x,y) = C дает силовые линии, а v(x,y)=Cv(x,y) = C --- эквипотенциальные линии. Внутри и на границе проводника потенциал vv должен быть постоянным. Плотность электричества в каком-либо месте контура проводника с точностью до знака дается формулой: σ=14π∣dwdz∣\sigma = \dfrac {1}{4\pi }\left|\dfrac {dw}{dz}\right|.

Задача 5777

Найти силовые и потенциальные линии в предыдущей задаче (задача 5776).

?
Задача 5778

Найти силовое поле между поверхностями двух цилиндров с круглыми основаниями ∣z∣=1\left|z\right| = 1, ∣z−1∣=4\left|z-1\right| = 4, если потенциал на первом равен 11, а на втором --- нулю.

?
Задача 5779

На изолированном цилиндре с круглым сечением ∣z−2i∣=1\left|z-2i\right| = 1 плотность электричества σ=1\sigma = 1. Как она распределяется, если заземлить плоскость, параллельную образующей и пересекающую плоскость XOYXOY по вещественной оси (электростатическая индукция)?

?
Задача 5780

На цилиндре ∣z−5∣=4\left|z-5\right| = 4 потенциал равен 11, а на цилиндре ∣z+5∣=4\left|z+5\right| = 4 он равен нулю. Найти наибольшую и наименьшую плотности электричества на обоих цилиндрах.

?
Задача 5781

В точке z=2z = 2 точечный заряд δ\delta. Мнимая ось заземлена. Чему равен потенциал в точке z=1z = 1?

?
Задача 5782

Представив уравнение параболы y2=2pxy^{2} = 2px в параметрическом виде:

x=2pu2,y=2pu, x = 2pu^{2}, \qquad y = 2pu,

доказать, что функция ww, определяемая равенством z=2p(w2+iw)z = 2p(w^{2}+iw), дает поле вне параболы, в котором потенциал на самой параболе равен нулю и в котором нет зарядов.

?
Задача 5783

Найти поле вне эллипса

x=acos⁡u,y=bsin⁡u, x = a\cos u, \qquad y = b\sin u,

представляющего одну из эквипотенциальных линий поля.

?
Задача 5784

Потенциал равен ν0\nu_{0} в точках прямой z=x+ihz = x+ih и равен нулю на вещественной оси. Найти функцию w(z)w(z), дающую электростатическое поле.

?
Задача 5785

На линии 3x2+4y2=123x^{2}+4y^{2} = 12 потенциал равен единице, а на отрезке между фокусами он равен нулю. Найти потенциал в точке z=iz = i.

?
Задача 5786

Найти наибольшую и наименьшую плотности на эллипсе предыдущей задачи (задача 5785).

?
Задача 5787

На линии z=x>1z = x > 1 потенциал равен ν0\nu_{0}, а на линии z=x<−1z = x < -1 он равен −ν0-\nu_{0}. Найти функцию w(z)w(z), дающую электростатическое поле.

?
Задача 5788

На линии z=iyz = iy, где y>1y > 1, потенциал равен 11, а на вещественной оси равен нулю. Найти плотность распределения электричества на оси OXOX.

?
Задача 5789

Потенциал равен π\pi на ломаной, состоящей из линий:

z=x+πi;x<0иz=iy;y>π. z = x+\pi i; \quad x < 0 \quad \text{и} \quad z = iy; \quad y > \pi .

На оси OXOX потенциал равен нулю. Найти электростатическое поле в области, ограниченной указанными линиями, пользуясь интегралом Кристоффеля--Шварца.

?
Примечание.
?

Если на контуре CC находится заряд qq и если область вне контура отображается конформно на область вне круга ∣ζ∣=1\left|\zeta \right| = 1 аналитической функцией

z=a1ζ+a0+∑n=1∞a−nζ−n, z = a_{1}\zeta +a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty } a_{-n}\zeta ^{-n},

то поле вне CC дается функцией

w=2iqln⁡w0ζ(z), w = 2iq\ln \frac{w_{0}}{\zeta (z)},

где w0w_{0} --- некоторая постоянная.

Задача 5790

Найти поле вне эллипса b2x2+a2y2=a2b2b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}.

?
Задача 5791

Найти поле вне квадрата −1<x<1-1 < x < 1, −1<y<1-1 < y < 1, на котором расположен заряд qq.

?
Задача 5792

На окружности ∣z∣=1\left|z\right| = 1 температура 0°0°, а на окружности ∣z−1∣=52\left|z-1\right| = \dfrac {5}{2} она 100°100°. Найти температуру tt в кольце между кругами.

?
Примечание.
?

Плоская задача установившегося распределения тепла внутри однородного тела дается аналитической функцией

w(z)=u(x,y)+iv(x,y), w(z) = u(x,y)+iv(x,y),

где v(x,y)v(x,y) --- температура в точке (x,y)(x,y). Уравнение v(x,y)=Cv(x,y) = C дает изотермические линии, а u(x,y)=Cu(x,y) = C --- линии тока тепла.

Задача 5793

На окружности ∣z−5i∣=4\left|z-5i\right| = 4 температура 100°100°, а на оси OXOX она нуль. Найти температуру tt в точке z=i+1z = i+1.

?
Задача 5794

Найти распределение температуры в области 0<φ<π0 < \varphi < \pi, r>ar > a, где z=reφiz = re^{\varphi i}, если температура равна нулю на вещественной оси и единице на полукруге z=aeφiz = ae^{\varphi i}, 0<φ<π0 < \varphi < \pi.

?
Задача 5795

Найти распределение тепла внутри полукруга ∣z∣<1\left|z\right| < 1, 0<arg⁡z<π0 < \arg z < \pi, если температура равна нулю на полуокружности и единице на диаметре.

?
Задача 5796

Та же задача (задача 5795), что и для сектора круга: 0<φ<α0 < \varphi < \alpha, 0<r<a0 < r < a, где z=reφiz = re^{\varphi i}, а температура 0°0° на радиусах и 1°1° на дуге круга.

?