Принцип максимума модуля

Применяя интеграл Коши к функции $\left(f(z)\right)^{n}$, где $n$ --- целое и стремится к $\infty$, доказать теорему: если $f(z)$ регулярна внутри контура $C$, а на контуре справедливо неравенство $\left|f(z)\right| \leqslant M$, то оно остается в силе и внутри контура.

Доказать теорему: если $f(z)$ регулярна внутри круга $\left|z\right| \leqslant R$, причем $\left|f(z)\right| < M$, а $f(0) = 0$, то при $\left|z\right| < R$ выполняется неравенство $\left|f(z)\right| < \dfrac {M}{R}\cdot \left|z\right|$, в котором равенство хотя бы в одной точке возможно только тогда, когда $f(z)$ имеет вид $f(z) = \dfrac {M}{R}e^{i\alpha }z$. (Лемма Шварца.)

Доказать теорему: если $f(z)$ регулярна при $r < \left|z\right| < R$, то при $r < \rho < R$ имеется равенство

где $a_{n}$ --- коэффициент ряда Лорана.

Доказать теорему: если $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n}$ сходится при $\left|z\right| < R$ и притом $\left|f(z)\right| \leqslant M$, то $\sum \left|a_{n}\right|^{2}R^{2n} \leqslant M^{2}$.

Доказать, что если равенство $w = \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n}$ дает отображение круга $\left|z\right| < R$ на площадь $S$, то $S = \pi \sum_{n=0}^{\infty } n\left|a_{n}\right|^{2}R^{2n}$.

Доказать теорему: если $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$ и отлична от постоянной, то функция

возрастает вместе с $r$ при $0 < r < R$.

Доказать теорему: из всех функций $f(z)$, регулярных внутри круга $\left|z\right| < R$ и удовлетворяющих условиям $\int_{0}^{2\pi } \left|f(Re^{\varphi i})\right|^{2}\, d\varphi = M$, линейная функция дает наименьшую площадь, в какую отображается круг $\left|z\right| < R$.

Доказать теорему: для функции $f(z)$, регулярной при $r < \left|z\right| < R$, величина

представляет выпуклую функцию $\ln \rho$, т.е. выполняется неравенство (при $m > 0$, $n > 0$):

Доказать теорему: если $f(z)$, кроме прежних условий (задача 5652), отлично от нуля при $r < \left|z\right| < R$, то величина

при любом $\sigma > 0$ есть тоже выпуклая функция $\ln \rho$.

Показать, что от условия $f(z) \neq 0$ в предыдущей задаче (задача 5653) можно освободиться.

Доказать теорему: если $f(z)$ регулярна при $\left|z\right| < R$, то величина $I_{\sigma }(\rho )$ (задача 5653) возрастает вместе с $\rho$.

Доказать теорему: если $f(z)$ регулярна при $r < \left|z\right| < R$, а $M(\rho )$ есть максимум модуля $f(\rho e^{\varphi i})$, то при $r < \rho < R$ величина $M(\rho )$ есть выпуклая функция от $\ln \rho$ (теорема Адамара о трех кругах).

Доказать теорему: если многочлен $f(z)$ степени $n$ в интервале $-1 \leqslant z \leqslant 1$ по модулю не превосходит $M$, то для любого $z$ справедливо неравенство: $\left|f(z)\right| \leqslant M(a+b)^{n}$, где $a$ и $b$ --- полуоси эллипса, проходящего через точку $z$ и имеющего фокусы в точках $z = \pm 1$.

Доказать теорему: если при $\left|z\right| < 1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right| < M$, а $f(\alpha ) = 0$, где $\left|\alpha \right| < 1$, то при $\left|z\right| < 1$ имеет место неравенство:

Доказать теорему: если $f(z)$ регулярна при $\left|z\right| < 1$; $f(0) \neq 0$; $\left|f(z)\right| < M$ и $f(z) = 0$ при $z = z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots$, то бесконечное произведение $\prod_{\nu =1}^{\infty } \left|z_{\nu }\right|$ сходится.

Доказать теорему: если при $\left|z\right| < 1$ функция $f(z)$ регулярна и ограничена, а при $a < \varphi < b$ величина $f(re^{\varphi i})$ при $r \to 1$ равномерно стремится к нулю, то $f(z)$ тождественно равна нулю.

Доказать теорему: если последовательность $f_{n}(z)$ при $\left|z\right| \leqslant 1$ равномерно ограничена и стремится к $0$ при $n \to \infty$ на множестве точек, имеющих точкой сгущения начало, то $f_{n}(z) \to 0$ при $n \to \infty$ в любой внутренней точке круга $\left|z\right| < 1$.

Доказать теорему: если функции $f_{n}(z)$ регулярны внутри контура $C$ и равномерно ограничены на нем, а внутри контура имеется точка сгущения точек, в которых $f_{n}(z) \to 0$ при $n \to \infty$, то и в любой точке внутри контура $f_{n}(z) \to 0$. (Теорема Витали.)

Доказать теорему: если функции $f_{n}(z)$ регулярны в круге $\left|z\right| < 1$, не имеют в нем корней, а по модулю не больше, чем $1$, и, кроме того, $f_{n}(0) \to 0$ при $n \to \infty$, то во всей внутренности круга $\left|z\right| < 1$ функции $f_{n}(z) \to 0$ при $n \to \infty$.

Пусть $z_{\nu }$ --- корни целой функции $f(z)$ и

а для функции $f(z)$ справедливо неравенство:

Доказать, что при $\left|z\right| \leqslant 3R$

Доказать, что при тех же условиях (задача 5664) ряд $\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{1}{\left|z_{\nu }\right|^{n}}$ сходится при $n > \sigma$.

При тех же условиях (задача 5664) доказать разложение в бесконечное произведение Вейерштрасса:

где $g(z)$ --- некоторая целая функция, а

Пусть

удовлетворяет в круге $\left|z\right| \leqslant R$ условию: $\mathrm{Re}\left(f(z)\right) \leqslant M$, где $M > 0$. Тогда

Рассматривая при тех же условиях (задача 5667) функцию

где $\omega = e^{\frac{2\pi i}{n}}$, доказать неравенство:

При прежнем условии относительно роста $f(z)$ (см. задачу 5664) доказать, что при $\left|z\right| \leqslant 2R$, а следовательно, и $\left|z\right| \leqslant R$, имеем:

где в произведении $\left|z_{\nu }\right| \leqslant R$.

Пользуясь тем, что $\ln \psi (z)$ --- регулярная функция $z$ при $\left|z\right| \leqslant R$ (задача 5669), доказать, что при $z = 0$ величина

по абсолютному значению меньше, чем $\dfrac {c}{R^{n-\sigma }}$, где $c$ --- соответствующая постоянная.

Доказать теорему Адамара: если $f(z)$ удовлетворяет при любом $z$ условию $\left|f(z)\right| < Ce^{\left|z\right|^{\sigma }}$, где $\sigma < n$ и $f(0) \neq 0$, то справедливо разложение Вейерштрасса

где $g(z)$ --- многочлен, степень которого меньше $n$.

Доказать теорему Каратеодори: если $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty } a_{n}(z-a)^{n}$ регулярна в круге $\left|z-a\right| \leqslant R$ и в нем имеет место $\mathrm{Re}\left(f(z)\right) < M$, где $M > 0$, то при $\left|z-a\right| = r < R$ справедливо неравенство:

Доказать теорему Линделефа: если $\left|f(z)\right| \leqslant C$ на краях области $-a < x < a$, а внутри этой области $\left|f(z)\right| < e^{\lambda \left|y\right|}$, где $\lambda$ --- некоторая постоянная, то и внутри области $\left|f(z)\right| \leqslant C$, причем знак равенства во внутренней точке возможен только тогда, когда $f(z) \equiv C$.