14.7

Производящие функции и специальные многочлены

[11/0%]
Показать
LaTeX
Задача 5578

Доказать равенство:

tetz−1et−1=∑n=1∞φn(z)n!tn. t\frac{e^{tz}-1}{e^{t}-1} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi _{n}(z)}{n!}t^{n}.

Здесь φn(z)\varphi_{n}(z) --- многочлены Бернулли, для которых

φn(z+1)−φn(z)=nzn−1. \varphi _{n}(z+1)-\varphi _{n}(z) = nz^{n-1}.

При целом z>0z > 0 имеем

1nφn(z)=1n−1+2n−1+…+(z−1)n−1. \frac{1}{n}\varphi _{n}(z) = 1^{n-1}+2^{n-1}+\ldots +(z-1)^{n-1}.
?
Примечание.
?

Функция Φ(z,t)\Phi (z,t) называется для функций φn(z)\varphi_{n}(z) производящей, если

Φ(z,t)=∑n=0∞φn(z)tn. \Phi (z,t) = \sum _{n=0}^{\infty } \varphi _{n}(z)t^{n}.

Если Φ(z,t)\Phi (z,t) сравнительно проста, то из ее свойств можно получить ряд свойств функций φn(z)\varphi_{n}(z).

Далее приводятся примеры производящих функций для некоторых важных классов многочленов с указанием основных свойств этих многочленов, которые требуется доказать, пользуясь производящими функциями, а также и другими путями.

Задача 5579

Доказать, что производящая функция

e−tz−t22=∑n=0∞Hn(z)tn e^{-tz-\frac{t^{2}}{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } H_{n}(z)t^{n}

определяет многочлены Чебышева--Эрмита Hn(z)H_{n}(z), главнейшие свойства которых выражаются равенствами:

Hn(z)=1n!ez22dne−z22dzn;Hn′(z)=−Hn−1(z); H_{n}(z) = \frac{1}{n!}e^{\frac{z^{2}}{2}}\frac{d^{n}e^{-\frac{z^{2}}{2}}}{dz^{n}}; \quad H_{n}'(z) = -H_{n-1}(z); nHn(z)+zHn−1(z)+Hn−2(z)=0; nH_{n}(z)+zH_{n-1}(z)+H_{n-2}(z) = 0; Hn′′(z)−zHn′(z)+nHn(z)=0. H_{n}''(z)-zH_{n}'(z)+nH_{n}(z) = 0. ∫−∞∞e−z22Hn(z)Hm(z) dz={0,если m≠n;2πm!,если m=n. \int _{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{z^{2}}{2}}H_{n}(z)H_{m}(z)\, dz = \begin{cases} 0, & \text{если } m \neq n; \\ \dfrac {\sqrt{2\pi }}{m!}, & \text{если } m = n. \end{cases}
?
Задача 5580

Доказать, что производящая функция

e−zt1−t(1−t)a+1=∑n=0∞Ln(a)(z)tn \frac{e^{-\frac{zt}{1-t}}}{(1-t)^{a+1}} = \sum _{n=0}^{\infty } L_{n}^{(a)}(z)t^{n}

определяет обобщенные многочлены Чебышева--Лагерра Ln(a)(z)L_{n}^{(a)}(z) со свойствами:

Ln(a)(z)=1n!ezz−adnzn+ae−zdzn, L_{n}^{(a)}(z) = \frac{1}{n!}e^{z}z^{-a}\frac{d^{n}z^{n+a}e^{-z}}{dz^{n}}, nLn(a)(z)+(z−2n−a+1)Ln−1(a)(z)+(n+a−1)Ln−2(a)(z)=0, nL_{n}^{(a)}(z)+(z-2n-a+1)L_{n-1}^{(a)}(z)+(n+a-1)L_{n-2}^{(a)}(z) = 0, z(Ln(a)(z))′′+(a+1−z)(Ln(a)(z))′+nLn(a)(z)=0, z\left(L_{n}^{(a)}(z)\right)''+(a+1-z)\left(L_{n}^{(a)}(z)\right)'+nL_{n}^{(a)}(z) = 0, ∫0∞zae−zLn(a)(z)Lm(a)(z) dz={0при m≠n;Γ(a+n+1)n!при m=n. \int _{0}^{\infty } z^{a}e^{-z}L_{n}^{(a)}(z)L_{m}^{(a)}(z)\, dz = \begin{cases} 0 & \text{при } m \neq n; \\ \dfrac {\Gamma (a+n+1)}{n!} & \text{при } m = n. \end{cases}

При a=0a = 0 получаются обычные многочлены Лагерра.

?
Задача 5581

Доказать, что производящая функция

2α+βr(1−t+r)−α(1+t+r)−β=∑n=0∞Pnα,β(x)tn;r=1−2xt+t2 \frac{2^{\alpha +\beta }}{r}(1-t+r)^{-\alpha }(1+t+r)^{-\beta } = \sum _{n=0}^{\infty } P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)t^{n}; \qquad r = \sqrt{1-2xt+t^{2}}

определяет многочлены Якоби Pnα,βP_{n}^{\alpha ,\beta } со свойствами:

(1−x)α(1+x)βPnα,β(x)=(−1)n2n⋅n!dn(1−x)n+α(1+x)n+βdxn. (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{n}^{\alpha ,\beta }(x) = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!}\frac{d^{n}(1-x)^{n+\alpha }(1+x)^{n+\beta }}{dx^{n}}. ∫−11(1−x)α(1+x)βPnα,β(x)Pmα,β(x) dx=0, если m≠n. \int _{-1}^{1} (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)P_{m}^{\alpha ,\beta }(x)\, dx = 0, \text{ если } m \neq n. ∫−11(1−x)α(1+x)β(Pnα,β(x))2 dx=2α+β+1α+β+2n+1⋅Γ(α+n+1)Γ(β+n+1)Γ(n+1)Γ(α+β+n+1); \int _{-1}^{1} (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)\right)^{2}\, dx = \frac{2^{\alpha +\beta +1}}{\alpha +\beta +2n+1}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +n+1)\Gamma (\beta +n+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}; (n+1)(n+α+β+1)(2n+α+β)Pn+1α,β(x)− (n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )P_{n+1}^{\alpha ,\beta }(x)- −12(2n+α+β+1)((2n+α+β+2)(2n+α+β)x+(α2−β2))Pnα,β(x)+ -\frac{1}{2}(2n+\alpha +\beta +1)\left((2n+\alpha +\beta +2)(2n+\alpha +\beta )x+(\alpha ^{2}-\beta ^{2})\right)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)+ +(n+α)(n+β)(2n+α+β+2)×Pn−1α,β(x)=0. +(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)\times P_{n-1}^{\alpha ,\beta }(x) = 0. (1−x2)y′′+(β−α−(α+β+2)x)y′+n(n+α+β+1)y=0;y=Pnα,β(x). (1-x^{2})y''+\left(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x\right)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y = 0; \qquad y = P_{n}^{\alpha ,\beta }(x).
?
Задача 5582

Доказать, что производящая функция

11−2tx+t2=∑n=0∞Pn(x)tn \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^{2}}} = \sum _{n=0}^{\infty } P_{n}(x)t^{n}

определяет многочлены Лежандра Pn(x)P_{n}(x), которые получаются из многочленов Якоби (задача 5581) при α=β=0\alpha = \beta = 0.

?
Задача 5583

Доказать, что производящая функция

4−t24−4tx+t2=∑n=0∞Tn(x)tn \frac{4-t^{2}}{4-4tx+t^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } T_{n}(x)t^{n}

определяет многочлены Чебышева Tn(x)T_{n}(x):

T0(x)=1,Tn(x)=12n−1cos⁡(narccos⁡x)(n=1,2,…). T_{0}(x) = 1, \quad T_{n}(x) = \frac{1}{2^{n-1}}\cos (n\arccos x) \quad (n = 1,2,\ldots ).
?
Задача 5584

Доказать равенство

11−2tx−t2=∑n=0∞un(x)tn, \frac{1}{1-2tx-t^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } u_{n}(x)t^{n},

где

un(x)=(x+x2+1)n+1−(x−x2+1)n+121+x2. u_{n}(x) = \frac{(x+\sqrt{x^{2}+1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^{2}+1})^{n+1}}{2\sqrt{1+x^{2}}}.
?
Задача 5585

Используя разложение (1−2xt+t2)−1/2=∑ν=0∞Pν(x)t−ν−1(1-2xt+t^{2})^{-1/2} = \sum_{\nu =0}^{\infty } P_{\nu }(x)t^{-\nu -1}, доказать для многочленов Лежандра (задача 5582) равенство:

Pn(cos⁡θ)=12πi∫Ctn1−2tcos⁡θ+t2 dt, P_{n}(\cos \theta ) = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} \frac{t^{n}}{\sqrt{1-2t\cos \theta +t^{2}}}\, dt,

где CC --- замкнутый контур, внутри которого обе особые точки подынтегральной функции.

?
Задача 5586

Из предыдущего (задача 5585) получить формулу Дирихле--Мелера:

Pn(cos⁡θ)=2π∫0θcos⁡(n+12)t2(cos⁡t−cos⁡θ) dt. P_{n}(\cos \theta ) = \frac{2}{\pi }\int _{0}^{\theta } \frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right)t}{\sqrt{2(\cos t-\cos \theta )}}\, dt.
?
Задача 5587

Пользуясь разложением

(1−2xt+t2)−12=∑ν=0∞Pν(x)t−ν−1, (1-2xt+t^{2})^{-\frac{1}{2}} = \sum _{\nu =0}^{\infty } P_{\nu }(x)t^{-\nu -1},

получить формулу Лапласа (для многочленов Лежандра, задача 5582):

Pn(z)=1π∫−11(z+σz2−1)ndσ1−σ2. P_{n}(z) = \frac{1}{\pi }\int _{-1}^{1} \left(z+\sigma \sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}\frac{d\sigma }{\sqrt{1-\sigma ^{2}}}.
?
Задача 5588

Применяя производящую функцию (задача 5582) и тождество

1−2tcos⁡θ+t2=(1−teθi)(1−te−θi), 1-2t\cos \theta +t^{2} = (1-te^{\theta i})(1-te^{-\theta i}),

доказать равенство:

Pn(cos⁡θ)=1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯2n× P_{n}(\cos \theta ) = \frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots 2n}\times ×(2cos⁡nθ+12⋅2n2n−1⋅2cos⁡(n−2)θ+1⋅32⋅4⋅2n(2n−2)(2n−1)(2n−3)⋅2cos⁡(n−4)θ+…). \times \left(2\cos n\theta +\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n-1}\cdot 2\cos (n-2)\theta +\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{2n(2n-2)}{(2n-1)(2n-3)}\cdot 2\cos (n-4)\theta +\ldots \right).
?